Comment factoriser un polynôme du troisième degré

Informations concernant l'auteur.e

Les polynômes du troisième degré, contenant donc une inconnue à la puissance 3, sont toujours un peu délicats à manipuler, mais en groupant les termes d’une certaine façon, il est possible de les factoriser afin de résoudre plus facilement des équations.

Partie 1

Partie 1 sur 2:
Factoriser par regroupement

1
Partagez le polynôme en deux parties. Classez-le par puissance décroissante, puis séparez les deux premiers termes des deux suivants ^{[1]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple l’équation $x^{3}+3x^{2}-6x-18=0$ que l’on présentera ainsi : $(x^{3}+3x^{2})+(-6x-18)=0$ .
2
Voyez s’il y a des facteurs communs dans chacune des parties.
- Dans $x^{3}+3x^{2}$ , on peut à l’évidence mettre $x^{2}$ en facteur.
- Dans $-6x-18$ , c’est sans difficulté que $-6$ peut être mis en facteur.
3
Factorisez les deux parties. Sortez les facteurs communs et groupez le reste.
- En mettant $x^{2}$ en facteur, $x^{3}+3x^{2}$ devient $x^{2}(x+3)$ .
- En mettant $-6$ en facteur, $-6x-18$ devient $-6(x+3)$ .
4
Voyez s’il est encore possible de factoriser. Après les factorisations, voyez s’il n’existe pas encore une expression qui puisse se mettre en facteur ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Ici, $(x+3)$ est commun aux deux parties et est donc mis en facteur :
  $(x+3)(x^{2}-6)$ .
5
Résolvez l’équation. Pour qu’un produit soit égal à 0, l’un des termes doit être égal à 0. Avec une inconnue élevée au carré, il y a deux racines ayant la même valeur absolue, mais l’une est positive, l’autre négative ^{[3]
X
Source de recherche}.
- Ici, les racines sont : $-3,{\sqrt {6}}$ et $-{\sqrt {6}}$ .
Publicité

Partie 2

Partie 2 sur 2:
Factoriser en trouvant des racines évidentes

1
Récrivez le polynôme sous sa forme développée simplifiée. La présentation est comme suit : $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple l’équation $x^{3}-4x^{2}-7x+10=0$ .
2
Trouvez tous les diviseurs de $d$ . Dans un polynôme, la constante est cette valeur numérique qui n’est pas accolée à l’inconnue.
- Le facteur d’une valeur est un nombre capable de diviser exactement cette valeur. Dans notre exemple concret, $d=10$ est divisible par 1, 2, 5 et 10.
3
Trouvez une racine évidente du polynôme. Parmi les facteurs de la constante, tentez d’en trouver un qui satisfasse l’équation. Remplacez l’inconnue $x$ $x$ par chacun des facteurs de $d$ $d$ .
- Remplacez $x$ par le premier facteur. Cela nous donne donc l’égalité suivante :
  $(1)^{3}-4(1)^{2}-7(1)+10=0$ .
- Tous calculs faits, nous obtenons : $1-4-7+10=0$ , soit $0=0$ .
- L’égalité étant vérifiée, 1 est donc une solution (ou une racine) de l’équation.
4
Récrivez le polynôme. Vous venez de démontrer que 1 vérifiait l’équation. Aussi est-il possible de mettre $x-1$ $x-1$ en facteur !
- Concrètement, cela signifie que :
  $x^{3}-4x^{2}-7x+10=(x-1)(Ax^{2}+Bx+C)$ (l'emploi de majuscules est là pour éviter la confusion avec les coefficients et la constante déjà rencontrés).
5
Déterminez le polynôme du second degré. Nous avons donc un binôme, $(x-1)$ $(x-1)$ , et il nous faut trouver le polynôme du second degré dont le produit avec $(x-1)$ $(x-1)$ donne le polynôme de départ.
- Par quoi multiplier le $x$ de $(x-1)$ pour obtenir le $x^{3}$ de
  $x^{3}-4x^{2}-7x+10$ ? Il n'y a qu'une solution : il faut multiplier le $x$ de
  $(x-1)$ par $x^{2}$ : donc le $A$ de $(Ax^{2}+Bx+C)$ vaut 1 ( $A=1$ ).
- Par quoi multiplier le $-1$ de $(x-1)$ pour obtenir le $10$ de
  $x^{3}-4x^{2}-7x+10$ ? Là encore, il n'y a qu'une solution : il faut multiplier le $1$ de $(x-1)$ par $-10$ : donc, $C=-10$ . Nous avons à ce stade,
  $x^{3}-4x^{2}-7x+10=(x-1)(x^{2}+Bx-10)$ .
- Il faut à présent trouver $B$ , ce qui va pouvoir se faire en développant d'abord le membre de droite, puis en comparant les termes en $x^{2}$ et en $x$ :
  $(x-1)(x^{2}+Bx-10)=x^{3}+Bx^{2}-10x-x^{2}-Bx+10$ , soit
  $x^{3}+(B-1)x^{2}-(10+B)x+10$ .
- En comparant terme à terme, il faut trouver un $B$ tel que : $(B-1)=-4$ et
  $10+B=7$ . Il n'y a qu'une solution : $B=-3$ et on obtient finalement
  $x^{3}-4x^{2}-7x+10=(x-1)(x^{2}-3x-10)$ .
6
Factorisez le polynôme. La factorisation n'est peut-être pas terminée, reste à vérifier si le polynôme $x^{2}-3x-10$ $x^{2}-3x-10$ ne peut pas lui aussi se laisser factoriser.
- Le réflexe le plus commun consiste à calculer le discriminant ( $\Delta =b^{2}-4ac$ ) afin de trouver les éventuelles racines (solutions) de l'équation), mais il faut toujours vérifier au préalable qu'il n'y a pas une racine évidente, comme -2, -1, 0, 1, 2.
- Or, $-2$ est une racine évidente de $x^{2}-3x-10$ , ce qui fait que :
  $(x^{2}-3x-10)=(x+2)(ax+b)$ . Assez facilement, vous en déduisez que : $(x^{2}-3x-10)=(x+2)(x-5)$ .
7
Déterminez les racines de l’équation. Le polynôme du troisième degré a été décomposé en un triple produit, et chacune des expressions admet une solution, et une seule. Il ne vous reste plus qu’à les vérifier, l’une après l’autre, en les replaçant dans l’équation de départ.
- L’équation $x^{3}-4x^{2}-7x+10=(x-1)(x+2)(x-5)=0$ admet trois solutions : 1, -2 et 5.
- Pour vérifier, faites l’application avec $x=-2$ :
  $(-2)^{3}-4(-2)^{2}-7(-2)+10=-8-16+14+10=0$ .
- Pour vérifier, faites l’application avec $x=5$ :
  $(5)^{3}-4(5)^{2}-7(5)+10=125-100-35+10=0$ .
Publicité

Conseils

Certains polynômes du troisième degré ne peuvent pas se factoriser, car il n’y a ni racine évidente ni racine réelle tout court. À titre d’exemple, le polynôme
$x^{3}+x+1$ n’est pas factorisable, ce qui ne l’empêche pas d’admettre une solution pour le moins extravagante et surtout peu facile à trouver. Ces polynômes sont dits « irréductibles » et vous vous en rendrez vite compte en constatant l’impossibilité d’appliquer les méthodes vues ici.
Un polynôme du troisième degré peut être le produit de trois polynômes du premier degré, le produit d’un polynôme du premier degré et d’un autre du second degré ou enfin être irréductible. Dans le deuxième cas, vous devrez trouver les racines du polynôme du second degré en utilisant la méthode du discriminant.