Comment calculer la capacité d'un réservoir

Mesurez le rayon du réservoir. Ces réservoirs (ou citernes) sont fréquents pour alimenter les chaudières des maisons. Un réservoir cylindrique a pour base un cercle, et pour connaitre le volume total d'un tel réservoir, vous devez connaitre l'aire de ce cercle, laquelle ne peut se calculer sans connaitre le rayon. Par définition, le rayon est cette distance qui sépare tout point du cercle du centre de ce dernier. Pour la mesure, vous alignez le 0 de votre ruban mesureur sur la périphérie du réservoir et regardez la valeur au niveau du centre du cercle.

• Le rayon n'est pas facile à mesurer. Il vaut mieux mesurer le diamètre (${\displaystyle D}$) qui est la distance qui part d'un point d'un cercle et qui rejoint un autre point du cercle en passant par le centre. Sa valeur est égale à deux fois le rayon (${\displaystyle r}$), ce qui fait que : ${\displaystyle r={\frac {D}{2}}}$.

Calculez l'aire de la base circulaire du réservoir. À partir du rayon, il est très facile de calculer l'aire ${\displaystyle A}$ d'un cercle avec la formule : ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$, ${\displaystyle \pi }$ étant la constante bien connue ayant comme valeur arrondie 3,14. Ces deux disques des extrémités sont en fait les parois verticales du réservoir.

Calculez le volume total du réservoir. Vous pouvez maintenant déterminer le volume total du réservoir en multipliant l'aire de la face verticale par la longueur ${\displaystyle L}$ du cylindre. La formule du volume ${\displaystyle V_{t}}$ d'une citerne est la suivante : ${\displaystyle V_{t}=\pi r^{2}L}$.

Tracez le niveau de remplissage. Sur l'illustration, il est appelé ${\displaystyle D}$ (ligne pointillée). En mathématiques, cette ligne est une « corde » qui, si ses extrémités sont reliées au centre du cercle, constitue avec l'arc de cercle du haut un secteur angulaire d'angle ${\displaystyle \theta }$, comme sur le schéma. Pour le faire apparaitre, tracez deux segments qui partent des extrémités de la corde et rejoignent le centre du cercle. Bien évidemment, l'angle change en fonction du niveau de remplissage.

Déterminez l'aire de ce secteur circulaire. Il existe une formule toute prête pour calculer l'aire ${\displaystyle A_{s}}$ d'un secteur angulaire : ${\displaystyle A_{s}={\frac {\pi \theta r^{2}}{360}}}$, ${\displaystyle \theta }$ devant être en degrés.

Établissez la formule de l'aire du triangle inscrit dans le secteur. Deux de ses côtés sont le rayon, et sa hauteur ${\displaystyle m}$ (figure 4) est la différence entre le rayon et la distance entre le niveau de remplissage et le haut du cercle. Dès lors, l'aire ${\displaystyle A_{t}}$ de ce triangle est donnée par la formule : ${\displaystyle A_{t}=mr\ sin({\frac {\theta }{2}})}$.

Établissez la formule de l'aire du demi-cercle supérieur du réservoir. Cela correspond à la partie vide du réservoir. Pour calculer l'aire de la paroi correspondante (${\displaystyle A_{v}}$), il faut ôter l'aire du triangle de celle du secteur angulaire, soit
${\displaystyle A_{v}=A_{s}-A_{t}}$.

Trouvez $$θ{\displaystyle \theta }. Cet angle est donné par la formule : ${\displaystyle \theta =2arccos({\frac {m}{r}})}$, ${\displaystyle m}$ étant la hauteur du liquide au-dessus de la moitié de la citerne, soit le rayon moins la hauteur de la partie vide du réservoir.

Déterminez le volume restant ($$Vrestant{\displaystyle V_{restant}}). Il n'y a plus qu'à grouper tous les éléments dans la formule : ${\displaystyle V_{restant}=V_{t}-V_{v}}$. Nous n'avons établi que des formules d'aires, si bien que : ${\displaystyle V_{restant}=L(A_{t}-A_{v})}$, ${\displaystyle L}$ étant la longueur du réservoir : il n'y a plus que les calculs à faire !

• Si le réservoir est plus qu'à moitié rempli, utilisez la formule qui vient d'être établie au-dessus : elle est valable tant que la hauteur de vide est inférieure au rayon.
• Si le réservoir est plus qu'à moitié vide, utilisez la formule ${\displaystyle V_{restant}=LA_{v}}$, mais vous remplacerez lors de vos calculs ${\displaystyle m}$ par ${\displaystyle m_{1}=D-h}$, ${\displaystyle D}$ étant le diamètre de la citerne et ${\displaystyle h}$ la hauteur de vide dans le réservoir.