Comment calculer la vitesse de libération

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La vitesse de libération est la vitesse minimale que doit avoir un objet s’il veut sortir de la zone d’attraction gravitationnelle d’un astre duquel il est parti ^{[1]
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Source de recherche}. Ainsi, une fusée dont la mission consisterait à aller dans l’espace devra avoir à un moment donné une certaine vitesse pour échapper à la gravitation de la Terre : c’est la vitesse de libération.

Partie 1

Partie 1 sur 2:
Comprendre la vitesse de libération

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Sachez définir la vitesse de libération. C’est la vitesse qu’un objet doit atteindre afin de s’affranchir de l’attraction gravitationnelle de l’astre d’où il est parti. ^{[2]
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Source de recherche}. Sortir du champ gravitationnel d’une grosse planète nécessite une plus grande vitesse de libération que sortir du champ d’une planète plus petite ^{[3]
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Source de recherche}.
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Commencez avec la conservation de l’énergie. C’est un principe de thermodynamique qui établit que l’énergie d’un système fermé ne change pas dans le temps. Pour nos calculs, nous prendrons l’exemple d’une fusée qui quitte la Terre. Nous poserons que l’ensemble Terre-fusée est un système fermé.
- Selon le principe de la conservation de l’énergie, on peut établir que : $K_{1}+U_{1}=K_{2}+U_{2}$ , dans laquelle $K$ est l’énergie cinétique et $U$ , l’énergie potentielle.
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Sachez définir les énergies cinétique et potentielle.
- L’énergie cinétique est, pour simplifier, l’énergie qu’un corps possède lorsqu’il est en mouvement. Dans le cas de la fusée, la formule de son énergie cinétique est la suivante : ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ , $m$ étant la masse de la fusée et $v$ , sa vitesse.
- L’énergie potentielle est l’énergie emmagasinée qu’un objet possède en raison de sa position ou de sa forme. Cette énergie potentielle était égale à 0 à une distance infinie de la Terre. La force gravitationnelle ramenant les objets sur Terre, l’énergie potentielle de la fusée sera négative (et sera de plus en plus faible aux abords de la Terre). L’énergie potentielle du système Terre-fusée peut donc s’exprimer ainsi : $-{\frac {GMm}{r}},$ dans laquelle $G$ est la constante de Newton, c’est-à-dire la constante de gravitation, $M$ , la masse de la Terre et $r$ , la distance entre les deux centres de ces masses.
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Récrivez la formule de la conservation de l’énergie. Quand la fusée atteint la vitesse minimale qui lui permet d’échapper à la gravitation de la Terre, on peut dire qu’elle ne s’arrêtera qu’à une distance infinie de la terre, si bien que : $K_{2}=0.$ $K_{{2}}=0.$ . Comme la fusée ne sera plus jamais attirée par la Terre, on peut écrire que $U_{2}=0$ $U_{{2}}=0$ .
- ${\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {GMm}{r}}=0$
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Trouvez v.
- ${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}mv^{2}&={\frac {GMm}{r}}\\v^{2}&={\frac {2GM}{r}}\\v&={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}\end{aligned}}$
- Dans cette formule, $v$ est la vitesse de libération de la fusée, c’est-à-dire la vitesse minimale nécessaire pour échapper à l’attraction de la Terre.
- Notez au passage que la vitesse de libération est totalement indépendante de la masse $m$ de la fusée. En fait, cette masse a déjà été prise en compte dans la formule de l’énergie potentielle liée à la gravité de la Terre et dans la formule de l’énergie cinétique issue du mouvement de la fusée.
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Partie 2

Partie 2 sur 2:
Calculer une vitesse de libération

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Inscrivez la formule de la vitesse de libération.
- $v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$
- Cette formule suppose que la planète est une sphère parfaite et que sa densité est uniforme ^{[4]
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  Source de recherche}. En fait, la vitesse de libération dépend de l’endroit sur Terre où vous vous trouvez. En effet, à cause de sa rotation, la Terre est légèrement renflée à l’équateur et sa densité n’est pas homogène, car sa composition ne l’est pas.
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Comprenez bien les différents éléments de la formule.
- $G=6,67\times 10^{-11}{\rm {\ N.m^{2}.kg^{-2}}}$ $G=6,67\times 10^{{-11}}{{\rm {\ N.m^{{2}}.kg^{{-2}}}}}$ est ce qu’on appelle la constante de gravitation de Newton. En soi, cette force d’attraction n’est pas si importante que cela. C’est Henry Cavendish qui, en 1798, a trouvé la valeur exacte de cette constante ^{[5]
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  Source de recherche}, mais il a aussi affirmé que cette valeur n’était pas absolue à cause de la difficulté à la mesurer.
  - $G$ a pour valeur approchée : $6,67\times 10^{-11}{\rm {\ m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}}}$ , sachant que $1{\rm {\ N}}=1{\rm {\ kg.m.s^{-2}}}$ ^{[6]
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    Source de recherche}.
- La masse $M$ et le rayon $r$ dépendent de l’astre sur lequel vous faites l’expérience.
- Vous devez utiliser des unités du Système international des unités (SI). La masse est exprimée en kilogrammes (kg) et la distance, en mètres (m). Si vous travaillez avec d’autres unités de longueur, il vous faudra les convertir en unités du SI.
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Déterminez la masse et le rayon de la planète que votre objet va quitter. Pour la Terre, nous postulerons que le décollage se fait au niveau de la mer, $r=6,38\times 10^{6}{\rm {\ m}}$ $r=6,38\times 10^{{6}}{{\rm {\ m}}}$ et $M=5,98\times 10^{24}{\rm {\ kg}}$ $M=5,98\times 10^{{24}}{{\rm {\ kg}}}$ ^{[7]
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Source de recherche}.
- Vous trouverez sans difficulté toutes les masses et tous les rayons des planètes (ou des satellites) sur Internet.
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Faites l’application numérique à partir de la formule. Une fois en possession de toutes les données, vous pouvez commencer les calculs.
- $v={\sqrt {\frac {2(6,67\times 10^{-11}{\rm {\ m^{3}.kg^{-1}.s^{-2}}})(5,98\times 10^{24}{\rm {\ kg}})}{(6,38\times 10^{6}{\rm {\ m}})}}}$
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Utilisez les bonnes unités. À chaque stade du calcul, vérifiez vos unités, certaines vont même disparaitre par simplification et comme il y a une fraction, il faut être très vigilant pour obtenir la bonne réponse.
- ${\begin{aligned}v&={\sqrt {{\frac {2(6,67)(5,98)}{(6,38)}}\times 10^{7}{\rm {\ m^{2}.s^{-2}}}}}\\&\approx 11\ 200{\rm {\ m.s^{-1}}}\\&=11,2{\rm {\ km.s^{-1}}}\end{aligned}}$
- Dans cette dernière étape, nous avons simplement transformé les mètres par seconde en kilomètres par seconde ( ${\rm {\ km.s^{-1}}}$ ) en multipliant par ${\frac {\text{1 km}}{\text{1000 m}}}.$
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Conseils

La constante de gravitation de Newton étant très difficile à mesurer exactement, on utilise la constante géocentrique de la gravitation ( $\mu =GM)$ $\mu =GM)$ et c’est elle dont on se sert habituellement pour calculer les vitesses de libération.
- La constante géocentrique de la gravitation (GM) de la Terre est : $\mu =3,986\times 10^{14}{\rm {\ m^{3}s^{-2}}}$ .