Comment calculer les mesures des angles

En géométrie, un angle est l'espace délimité au sommet de deux demi-droites (les côtés) sécantes. Un angle se mesure souvent en degrés (°), mais aussi en radians, un cercle entier mesurant 360°. Sur une figure, il est possible de mesurer les angles avec un rapporteur. Pour calculer sur un polygone donné la mesure d'un angle inconnu, vous devez bien identifier le polygone en question en comptant ses côtés, et en déterminant la somme totale de ses angles et la somme des angles connus. Dans le cas du triangle rectangle, pour le même exercice, il faudra mesurer les longueurs de deux des côtés. Ensuite, avec une formule et une calculatrice, vous obtiendrez l'angle recherché.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Calculer les angles intérieurs d'un polygone

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Comptez le nombre de côtés de votre polygone. Avec un exercice portant sur les angles d'un polygone, vous devez dans un premier temps le qualifier, c'est-à-dire compter le nombre de côtés. Un polygone a par définition autant d'angles que de côtés ^{[1]
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- À titre d'illustration, un triangle est une figure à 3 côtés et donc trois angles, tandis que le carré est une figure à 4 côtés et 4 angles.
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Sachez calculer la somme des angles intérieurs d'un polygone. Pour cela, il existe une formule : $(n-2)\times 180$ $(n-2)\times 180$ , $n$ $n$ étant le nombre de côtés du polygone. Partant de cette formule, vous pouvez trouver la somme des angles de certaines figures ^{[2]
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- La somme des angles d'un triangle (polygone à 3 côtés) est de 180°.
- La somme des angles d'un quadrilatère (polygone à 4 côtés) est de 360°.
- La somme des angles d'un pentagone (polygone à 5 côtés) est de 540°.
- La somme des angles d'un hexagone (polygone à 6 côtés) est de 720°.
- La somme des angles d'un octogone (polygone à 8 côtés) est de 1 080°.
3
Sachez calculer les angles d'un polygone régulier. Comme tous les côtés sont égaux en longueur, tous les angles ont la même mesure. En ce cas, divisez la somme totale des angles par le nombre de côtés. Prenons l'exemple du triangle équilatéral, avec 3 côtés égaux, chaque angle mesure 60° ( ${\frac {180^{\circ }}{3}}$ ${\frac {180^{\circ }}{3}}$ ). Pour le carré, dont la mesure totale des angles est de 360°, chaque angle mesure 90°
( ${\frac {360^{\circ }}{4}}$ ${\frac {360^{\circ }}{4}}$ ), une évidence pour qui connait les carrés ^{[3]
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Source de recherche} !
- Les triangles équilatéraux et les carrés sont des polygones réguliers. Le pentagone (comme la forme du ministère de la Défense américain) est aussi un polygone régulier, tout comme les panneaux-stops de forme octogonale.
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Sachez calculer un angle manquant sur un polygone irrégulier. Pour mémoire, un polygone irrégulier est un polygone dont les longueurs des côtés et les mesures des angles ne sont pas égales, certaines peuvent l'être, pas toutes. Si l'on vous donnait toutes les mesures des angles d'un polygone irrégulier, sauf une, pour calculer cette dernière, il faudrait faire la somme des angles connus que vous ôteriez de la somme totale des angles ^{[4]
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- Exemple : vous avez un pentagone et vous savez que 4 des 5 angles mesurent 80, 100, 120 et 140°. Faites la somme de ces angles, ce qui donne 440°. Or, les angles d'un pentagone mesurent ensemble 540°. La conclusion est claire : le dernier angle mesure 100°, valeur obtenue en soustrayant 440 de 540.
Conseil : certains polygones permettent de calculer très vite des angles à cause de la symétrie. Par exemple, un triangle isocèle est un triangle qui a 2 côtés d'égale longueur et deux angles égaux. De même, un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés sont parallèles deux à deux, si bien que les angles vont par paires.

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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Trouver la mesure d'un angle dans un triangle rectangle

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Sachez qu'un triangle rectangle renferme un angle droit (90°). C'est même la définition exacte, quels que soient les deux autres angles. L'angle droit est matérialisé par un petit carré. Grâce à la trigonométrie et à supposer que vous ayez les longueurs d'au moins deux des côtés, vous trouverez la mesure d'un angle inconnu ^{[5]
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Mesurez les longueurs de 2 des côtés du triangle. Le plus long côté est appelé « hypoténuse ». Le côté qui touche l'angle ( $x$ ) que vous recherchez est appelé « adjacent », tandis que le côté qui se trouve en face de l'angle recherché est dit « opposé ». Mesurez les longueurs de vos côtés afin d'utiliser une des formules ci-dessous ^{[6]
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Conseil : les calculs d'angles se font sans problème avec une calculatrice graphique, mais si vous n'en avez pas, utilisez une table trigonométrique en ligne (avec sinus, cosinus, tangente et cotangente).
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Utilisez la fonction sinus (sin). C'est à faire quand vous avez les longueurs du côté opposé à l'angle inconnu et de l'hypoténuse. Utilisez la formule suivante : $sin(x)={\frac {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ oppos{\acute {e}}}{hypot{\acute {e}}nuse}}$ $sin(x)={\frac {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ oppos{\acute {e}}}{hypot{\acute {e}}nuse}}$ . Supposons que la longueur du côté opposé est de 5 et la longueur de l'hypoténuse de 10. Divisez 5 par 10, soit 0,5. Vous avez donc : $sin(x)=0,5$ $sin(x)=0,5$ , ce qui revient à écrire : $x=sin^{-1}(0,5)$ $x=sin^{-1}(0,5)$ , simple n'est-ce pas ^{[7]
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- Sur une calculatrice scientifique, tapez 0,5, puis appuyez sur la touche $2nd$ , puis sin. En l'absence de calculatrice, allez sur Internet, trouvez une table trigonométrique et vous verrez que : $x=30^{\circ }$ .
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Utilisez la fonction cosinus (cos). C'est à faire quand vous avez les longueurs du côté adjacent à l'angle inconnu et de l'hypoténuse. Utilisez la formule suivante : $cos(x)={\frac {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent}{hypot{\acute {e}}nuse}}$ $cos(x)={\frac {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent}{hypot{\acute {e}}nuse}}$ . Si la longueur du côté adjacent est de 8,66 et la longueur de l'hypoténuse de 10, divisez 8,66 par 10, ce qui vous donne 0,866. Vous avez donc : cos $(x)=0,866$ $(x)=0,866$ , ce qui revient à écrire : $x=cos^{-1}(0,866)$ $x=cos^{-1}(0,866)$ , aussi simple que cela ^{[8]
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- Sur une calculatrice scientifique, tapez 0,866, puis appuyez sur la touche $2nd$ , puiscos. En l'absence de calculatrice, allez sur Internet, trouvez une table trigonométrique et vous verrez que : $x=30^{\circ }$ .
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Utilisez la fonction tangente (tan). C'est à faire quand vous avez les longueurs du côté opposé à l'angle inconnu ( $x$ $x$ ) et du côté adjacent à l'angle inconnu. Servez-vous de la formule suivante : $tan(x)={\frac {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ oppos{\acute {e}}}{c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent}}$ $tan(x)={\frac {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ oppos{\acute {e}}}{c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent}}$ . Si la longueur du côté opposé est de 5 et celle du côté adjacent de 8,66, divisez 5 par 8,66, soit 0,57. Vous obtenez donc : $tan(x)=0,57$ $tan(x)=0,57$ , ce qui revient à écrire :
$x=tan^{-1}(0,57)$ $x=tan^{-1}(0,57)$ , toujours un calcul simple ^{[9]
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- Sur une calculatrice scientifique, tapez 0,57, puis appuyez sur la touche $2nd$ , puistan. En l'absence de calculatrice, allez sur Internet, trouvez une table trigonométrique et vous verrez que : $x=30^{\circ }$ .
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Conseils

Les angles ont tous un qualificatif basé sur leurs mesures. Un angle de 90° est un angle « droit », comme cela a été écrit. Tout angle dont la mesure est comprise entre 0 et 90° est dit « aigu ». Tout angle dont la mesure est comprise entre 90 et 180° est dit « obtus ». Un angle ayant une mesure exacte de 180° est dit « plat ». Tout angle dont la mesure est supérieure à 180° est qualifié de « réflexe» ou « rentrant ».
Deux angles sont dits « complémentaires » lorsque la somme de leurs mesures fait 90°. Dans un triangle rectangle, les deux angles opposés à l'angle droit sont complémentaires. Deux angles sont dits « supplémentaires » si la somme de leurs mesures fait 180°.