Comment calculer un couple (en physique)

Quand un solide est soumis à une force de poussée ou de traction, il se déplace sur une certaine distance, laquelle dépend de la masse de l'objet et de la force qui lui est appliquée. Si cet objet est arrimé à un point fixe (axe ou point de rotation), à l'aide d'une tige par exemple, il va opérer une rotation autour de cet axe. Un couple (C) s'exprime en newtons-mètres (Nm), car pour le calculer, il faut multiplier la force exprimée en newtons (N) par la distance (en m) à l'axe. Il existe une autre formule pour les objets ayant un volume, laquelle fait intervenir le moment d'inertie et l'accélération angulaire. Calculer un couple suppose un minimum de connaissances en algèbre, en géométrie et en trigonométrie ^{[1]
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Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Avec une force orthogonale à l'axe

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Déterminez la longueur du bras de moment. La distance entre l'axe (ou point de rotation) et le point du solide sur lequel s'exerce une force est appelée « bras de moment ». Cette distance est exprimée en mètres (m), unité du Système international d'unités ^{[2]
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- Le couple pouvant être visualisé comme une force en rotation, cette longueur du bras de moment est une sorte de rayon. Et c'est pour cette raison que, dans les formules, cette distance est aussi notée $r$ (pour rayon).
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Trouvez la force appliquée perpendiculairement au bras de moment. Appliquée à l'extrémité du bras, une force perpendiculaire engendre le plus grand couple possible. La formule de calcul du couple suppose toujours que la force est appliquée perpendiculairement ^{[3]
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- Dans un problème, si la force appliquée ne vous est pas donnée, calculez-la à partir de la masse (en kg) de l'objet en rotation et de son accélération (en m/s²). Conformément à la deuxième loi de Newton, la force équivaut au produit de la masse par l'accélération ( $F=m\times a$ ).
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Multipliez la force par la distance pour trouver le couple. Exprimée mathématiquement, la formule du couple ( $C$ $C$ ) est la suivante : $C=F\times r$ $C=F\times r$ , $F$ $F$ est la force appliquée au système et $r$ $r$ la distance (ou le rayon). À partir du moment où vous avez l'intensité de la force appliquée (en N) et la distance (en m), vous pouvez calculer son couple en newtons-mètres (Nm ^{[4]
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- Soit un système dans lequel un objet subit une force perpendiculaire de 20 N par rapport à un axe de 10 m de long. L'intensité du couple est de 200 Nm :
  $C=20\ N\times 10\ m=200\ Nm$ .
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Indiquez la direction de la force. À ce stade, vous avez la valeur du couple, mais vous ne savez pas s'il est négatif ou positif. Le signe dépend en fait du sens de rotation de l'objet. S'il décrit une rotation dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, le couple est positif, sinon il est négatif ^{[5]
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- Comme l'objet précédent décrit une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre, son couple étant toujours de 200 Nm, il est en fait de -200 Nm. Si le couple avait été positif, il n'aurait été nul besoin de mettre un signe (+200 Nm = 200 Nm).
- Quel que soit le sens de rotation, la force et le rayon étant identiques, la valeur du couple reste la même, seul change le signe. Si l'on vous donne comme exemple un couple négatif, cela signifie que l'objet en question tourne dans le sens des aiguilles d'une montre.
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Faites attention en cas de couple résultant. En effet, sur un système peuvent s'appliquer diverses forces, chacune engendrant un couple. La somme de tous les couples est appelée « couple résultant » ( $\Sigma \ C$ $\Sigma \ C$ ). Ces forces peuvent agir dans le même sens, mais aussi en sens inverse. Dans ce dernier cas, l'objet tournera en fonction du couple le plus important. Le couple résultant peut être nul (= 0) : l'objet ne bouge pas. Dans un problème, il est possible que l'on vous donne le couple résultant et quelques autres renseignements, et vous devez chercher une des variables ^{[6]
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- Admettons que l'on vous donne un système, une barre de 15 m avec axe de rotation situé à 10 m d'une extrémité, deux forces s'exercent aux deux extrémités, en sens contraire, le couple de tout le système est nul (= 0) et l'on vous demande de calculer la force ( $F$ ) sur l'autre bras. On a précédemment déterminé le couple de 200 Nm (bras de 10 m). Une autre force, contraire à la précédente, est exercée au bout du bras de 5 m. La somme des deux couples est égale à 0, vous en connaissez une (200 Nm), vous connaissez aussi la formule du couple (pour l'autre force), vous pouvez donc faire le calcul suivant :
  $200\ Nm+(F\times 5\ m)=0\ Nm$
  $F\times 5\ m=-200\ Nm$
  $F={\frac {-200\ Nm}{5\ m}}$
  $F=-40\ N$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Avec une force non perpendiculaire à l'axe

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Commencez par déterminer la norme du vecteur de position. Celui-ci (ou bras de moment), noté ${\vec {d}}$ ${\vec {d}}$ , a pour norme la distance entre le point de rotation et le point d'application de la force. Cette distance est celle de la largeur d'une porte qui pivote sur ses charnières ou de l'aiguille d'une pendule. Ainsi donc, si vous deviez mesurer ce vecteur, il faudrait le faire entre l'axe et le point où est appliquée la force qui va faire bouger l'objet ^{[7]
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- Le plus souvent dans les exercices scolaires, la distance est donnée en mètres.
- Assez bizarrement, cette distance est notée $r$ (pour rayon). Le point d'application de la force décrit en fait un cercle, d'où le terme « rayon ».
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Calculez la force réellement appliquée à l'axe. Contrairement à une force appliquée perpendiculairement à l'axe, une force appliquée selon un certain angle a une composante perpendiculaire (en N) inférieure à la force appliquée. Dans ce cas, la vitesse de rotation de l'objet est moindre, car la force appliquée est moindre ^{[8]
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- Si la force appliquée ne vous était pas donnée d'emblée, mais que vous avez la masse de l'objet et son accélération, il suffirait de les multiplier entre elles pour avoir la force. À l'inverse, le couple peut vous être donné et l'on vous demandera de trouver la force en jeu.
- Dans la formule du couple, $F$ représente la force.
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Mesurez l'angle entre le vecteur force et le vecteur de position. L'angle à mesurer est celui situé à droite du vecteur force. Si l'angle ne vous est pas donné et que vous avez un croquis du système, vous le mesurerez avec un rapporteur. Si la force est appliquée à l'extrémité du vecteur de position, prolongez en pointillés ce vecteur pour pouvoir mesurer l'angle ^{[9]
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- Dans la formule du couple, cet angle est symbolisé par la lettre grecque $\theta$ (thêta). Habituellement en trigonométrie, l'angle s'appelle $\alpha$ , mais dans le cas d'une rotation, c'est $\theta$ .
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Utilisez votre calculatrice pour calculer le sinus de l'angle θ. D'après la formule du couple, vous allez multiplier la distance du vecteur de position par la valeur de la force et par le sinus de l'angle trouvé. Sur votre calculatrice, entrez la mesure de l'angle, appuyez sur la touche sin et vous obtenez la valeur du sinus de l'angle ^{[10]
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- Si le sinus de l'angle ne vous était pas donné, vous le calculeriez en divisant la longueur du côté opposé à l'angle par celle de l'hypoténuse. Quant à la précision du sinus, vous devriez l'avoir dans l'énoncé du problème : dans un exercice sur les couples, la valeur arrondie du sinus n'a qu'une faible incidence face aux deux autres paramètres.
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Multipliez la distance par la force, puis par le sinus de l'angle. C'est le produit qui donne le couple $C$ $C$ . Vous avez toutes les données, il faut à présent utiliser la formule suivante : $C=r\times F\times sin\ \theta$ $C=r\times F\times sin\ \theta$ . Le résultat est alors exprimé en newtons-mètres (Nm ^{[11]
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- Prenons le cas d'un objet dont la norme du vecteur de position est de 10 m. Admettons également qu'une force de 20 N soit appliquée au bout de ces 10 m sous un angle de 70°. Vous allez faire le calcul suivant :
  $C=10\times 20\times sin(70^{\circ })=10\times 20\times 0,94=188$ . Le couple est alors de 188 Nm.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Avec le moment d'inertie et l'accélération angulaire

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Trouvez le moment d'inertie. Pour calculer la valeur du couple en cas d'objet qui se déplace avec une accélération angulaire, il vous faut la répartition de la matière de l'objet, ce que l'on appelle son « moment d'inertie », exprimé en kg∙m². Pour connaitre la formule de calcul d'un moment d'inertie, il suffit d'aller sur Internet et de taper la requête appropriée ^{[12]
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- Imaginons que l'on vous demande de calculer le moment d'inertie ( $I$ ) d'un disque épais en rotation autour de son centre. Il se calcule ainsi : $I={\frac {1}{2}}mr^{2}$ . Dans cette formule, $m$ est la masse du disque et $r$ le rayon. Si la masse du disque est de 5 kg et le rayon de 2 m, le moment d'inertie est le suivant :
  $I={\frac {1}{2}}(5\times 2^{2})={\frac {1}{2}}(5\times 4)={\frac {1}{2}}(20)=10$ , un moment de 10 kg∙m².
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Déterminez l'accélération angulaire. Pour le calcul d'un couple, il peut vous être donné l'accélération angulaire de l'objet. Cette dernière s'exprime en rad/s², et mesure la variation de vitesse de l'objet au cours de sa rotation ^{[13]
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- Pour rappel, l'accélération angulaire d'un objet se déplaçant à vitesse constante est nulle, ni elle diminue, ni elle augmente. Normal ! Elle est constante !
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Multipliez le moment d'inertie par l'accélération angulaire. La formule du couple à partir du moment d'inertie et de l'accélération angulaire est la suivante : $C=I\alpha$ $C=I\alpha$ , dans laquelle $C$ $C$ est le couple, $I$ $I$ le moment d'inertie et $\alpha$ $\alpha$ l'accélération angulaire. Vous le voyez, le calcul du couple est le produit du moment d'inertie et de l'accélération angulaire. Comme toutes les formules, celle-ci peut être utilisée sous n'importe quell forme, moyennant arrangement pour trouver une des trois valeurs ^{[14]
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- Un exercice vous a été donné dans lequel il vous est demandé de trouver l'accélération angulaire d'un système sachant que le moment d'inertie du solide impliqué est de 10 kg∙m² et le couple de 20 Nm. La formule de départ est la suivante : $C=I\alpha$ , mais arrangée pour votre calcul, elle devient : $\alpha ={\frac {C}{I}}$ . Il ne reste alors plus qu'à faire l'application numérique que voici : $\alpha ={\frac {20}{10}}=2$ . L'accélération angulaire de l'objet est de 2 rad∙s^-2.
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Conseils

La formule du couple est assez proche de celle du travail (la force nécessaire au déplacement d'un objet). Cependant, avec le travail, le vecteur force est parallèle au vecteur distance (l'objet se déplace selon un mouvement rectiligne), tandis qu'avec un couple, c'est la composante perpendiculaire au vecteur distance qui entre en ligne de compte ^{[15]
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Avertissements

Calculer un couple nécessite d'avoir quelques notions d'algèbre, de géométrie et de trigonométrie. Au cas où vous auriez de petites lacunes en cours de résolution, il serait bon, sinon essentiel, de faire quelques petites révisions ponctuelles.