Comment calculer un grandissement

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En optique, ce qu'on appelle le grandissement, noté « γ » et lu « gamma », d'un système (une lentille, par exemple) est le rapport entre les dimensions d'un objet et celles de son image vue à travers ce système. Ainsi, une lentille qui renvoie une grande image d'un petit objet a un fort grandissement, alors qu'une lentille qui ferait apparaitre un objet plus petit qu'il n'est en réalité aurait un grandissement faible. Le grandissement d'un système optique se calcule grâce à la formule : γ = (h_i / h_o) = - (d_i / d_o), dans laquelle γ = grandissement, h_i = hauteur de l'image, h_o = hauteur de l'objet, d_i = distance de l'image et d_o = distance de l'objet.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Trouver le grandissement d'une lentille simple

Nota bene : une lentille convergente est plus épaisse en son centre que sur ses bords (comme une loupe, par exemple). À l'inverse, une lentille divergente est plus épaisse sur les bords qu'en son centre (en forme de bol). Trouver le grandissement se fait de la même façon pour les deux types de lentilles, à une exception de taille près. Cliquez ici pour découvrir cette différence liée aux lentilles divergentes.

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Prenez votre formule et voyez quelles sont les valeurs que vous avez d'ores et déjà. Comme souvent pour résoudre un problème de physique, il faut partir d'une formule : c'est qu'on va faire avec ce problème de grandissement. Inscrivez la formule de grandissement. Maintenant, voyons quelles sont les données dont nous disposons.
- Admettons qu'on place une figurine de 6 cm de haut à une distance d'un demi-mètre d'une lentille convergente ayant une distance focale (ou « focale ») de 20 centimètres. On vous demande de trouver le grandissement, la taille de l'image et la distance de l'image. Nous devons commencer par écrire la formule suivante :
  γ = (h_i / h_o) = - (d_i / d_o)
- À ce stade, nous avons déjà h_o (la hauteur de la figurine) et d_o (la distance entre la figurine et la lentille). Nous connaissons également la distance focale de la lentille, mais elle ne sert pas pour cette formule. Il nous reste donc à trouver h_i, d_i et bien sûr… γ.
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Pour trouver d_i, il faut utiliser la formule de Descartes. Si vous avez la distance de l'objet à la lentille et la distance focale de ladite lentille, trouvez la distance de l'image est un jeu d'enfant grâce à la formule de Descartes qui établit que : 1 / f = 1 / d_o + 1 / d_i, dans laquelle f = distance focale de la lentille.
- Pour résoudre notre problème, nous allons donc utiliser cette formule pour déterminer d_i. Remplacez f et d_o par leurs valeurs respectives, et faites les calculs :
  
  1 / f = 1 / d_o + 1 / d_i
  
  1 / 20 = 1 / 50 + 1 / d_i
  
  5 / 100 - 2 / 100 = 1 / d_i
  
  3 / 100 = 1 / d_i
  
  100 / 3 = d_i = 33,3 centimètres
- La distance focale d'une lentille est la distance qui va du centre de la lentille au point de convergence (aussi appelé « foyer ») des rayons de lumière qui passeraient à travers elle. Étant petit, vous vous êtes surement « amusé » à bruler des fourmis en concentrant sur elles les rayons du soleil, et ce à travers une loupe. À l'école, on vous donnera le plus souvent cette distance focale. Dans la vie courante, la focale de l'appareil utilisé est précisée sur l'appareil lui-même ^{[1]
  X
  Source de recherche}.
3
Trouvez h_i. Connaissant d_o et d_i, vous allez pouvoir trouver la hauteur de l'image agrandie et le grandissement de la lentille. Notez au passage la double égalité de la formule de grandissement : γ = (h_i / h_o) = - (d_i / d_o)) — cela signifie qu'il y a deux façons de calculer et qu'on peut donc ainsi calculer sans problème γ ou h_i dans l'ordre qu'on veut.
- Dans notre exemple, vous allez pouvoir trouver h_i de la façon suivante :
  
  (h_i / h_o) = - (d_i / d_o)
  
  (h_i / 6) = - (33,3 / 50)
  
  h_i = - (33,3 / 50) × 6
  
  h_i = - 3,996 cm
- Une hauteur négative indique que l'image que nous allons voir sera inversée (le bas sera en haut et vice versa).
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Trouvez γ. Pour trouver cette valeur, vous pouvez utiliser soit - (d_i / d_o) soit (h_i / h_o).
- Dans notre exemple, on calculera γ de la façon suivante:
  
  γ = (h_i / h_o)
  
  γ = (- 3,996 / 6) = - 0,666
- On obtiendrait la même réponse en utilisant nos valeurs de d :
  
  γ = - (d_i / d_o)
  
  γ = - (33,3 / 50) = - 0,666
- Notez au passage qu'un grandissement n'a pas d'unité.
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Interprétez cette valeur de γ. Une fois γ calculée, vous devez interpréter ce résultat pour en déduire certains renseignements sur l'image que vous verrez à travers la lentille. Ce sont les indications suivantes.
- Sa taille : plus la valeur absolue de γ est élevée, plus l'objet apparaitra grand. Une valeur de γ comprise entre 0 et 1 indique que l'objet apparait plus petit qu'il n'est en réalité.
- Son orientation : une valeur négative indique que l'image de l'objet est inversée.
- Dans notre exemple, cette valeur de γ (- 0,666) signifie que, dans les conditions qui sont les nôtres, l'image de la figurine apparaitra inversée, avec une taille des deux tiers de sa taille d'origine.
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Avec les lentilles divergentes, il faut utiliser une distance focale négative. Même si, par nature, les lentilles divergentes ne ressemblent en rien aux lentilles convergentes, la formule de calcul du grandissement est la même pour les deux types de lentilles, à la grande différence que les lentilles divergentes auront des distances focales négatives. Dans le problème vu ci-dessus, cela modifiera la valeur de d_i, aussi convient-il d'être attentif à cette histoire de signe.
- On reprend le problème précédent, mais cette fois, on prend une lentille divergente ayant une distance focale de - 20 centimètres. Toutes les autres valeurs restent inchangées.
- On commence par chercher d_i avec la formule de Descartes :
  
  1 / f = 1 / d_o + 1 / d_i
  
  1 / - 20 = 1 / 50 + 1 / d_i
  
  - 5 / 100 - 2 / 100 = 1 / d_i
  
  - 7 / 100 = 1 / d_i
  
  - 100 / 7 = d_i = - 14,29 centimètres
- On peut alors trouver h_i et γ, grâce à d_i :
  
  (h_i / h_o) = - (d_i / d_o)
  
  (h_i / 6) = - (- 14,29 / 50)
  
  h_i = - (- 14,29 / 50) × 6
  
  h_i = 1,71 centimètre
  
  γ = (h_i / h_o)
  
  γ = (1,71 / 6) = 0,285
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Trouver le grandissement de plusieurs lentilles montées en parallèle

Facilement avec deux lentilles

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Trouvez les distances focales des deux lentilles. Quand vous avez affaire à un appareil qui contient deux lentilles alignées (un télescope, des jumelles), pour trouver son grandissement, il suffit de connaitre les deux distances focales des lentilles. La formule est la suivante : γ = f_o/f_oc ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Dans cette formule, f_o est la distance focale de l'objectif et f_oc, la distance focale de l'oculaire. L'objectif est la lentille la plus large placée en partie terminale de l'appareil, tandis que l'oculaire, comme son nom l'indique, est cette lentille contre laquelle on place son œil pour regarder.
2
Remplacez les valeurs littérales de γ = f_o/f_oc par des valeurs chiffrées. Si vous avez les deux distances focales, le calcul de γ est très simple, pour trouver ce rapport de grandissement, il suffit de diviser la distance focale de l'objectif par celle de l'oculaire. Vous aurez alors le grandissement de l'appareil.
- Admettons, par exemple, qu'on ait un petit télescope. Si la distance focale de l'objectif est de 10 centimètres et celle de l'oculaire de 5 centimètres, le grandissement est donc de : 10 / 5 = 2.
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En détail

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Trouvez la distance entre les lentilles et l'objet. Admettons que vous ayez cette fois deux lentilles centrées en face d'un objet. Il est également possible, dans ce cas, de déterminer le grandissement de l'image finale à la condition de connaitre les distances entre les lentilles, celles entre ces dernières et l'objet observé, la taille dudit objet et la distance focale de chacune des lentilles. Avec ces données, vous pourrez tout calculer.
- Admettons, par exemple, que vous partiez du même dispositif que celui vu dans la méthode 1, à savoir une figurine de 6 cm de haut, placée à 50 centimètres d'une lentille convergente ayant une distance focale de 20 centimètres. Installons une seconde lentille convergente d'une distance focale de 5 centimètres, placée 50 centimètres derrière la première lentille (soit à 100 centimètres de la figurine). Nous allons utiliser toutes ces informations pour calculer le grandissement de l'image finale.
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Commencez par trouver la distance de l'image, sa hauteur et son grandissement par rapport à la première lentille. Toute résolution d'un problème de grandissement avec deux lentilles commence toujours par la recherche du grandissement engendré par la première lentille. On commence toujours par la lentille la plus proche de l'objet. À l'aide de la formule de Descartes, trouvez la distance de l'image, puis utilisez la formule de grandissement pour calculer sa hauteur et son grandissement. Cliquez ici pour revoir comment on procède avec une seule lentille.
- Reprenons les résultats trouvés dans la méthode 1. Nous avons vu que cette première lentille produisait une image de - 3,996 centimètres de haut, à 33,3 centimètres derrière la lentille, et ce avec un grandissement de - 0,666.
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Prenez maintenant cette image comme objet pour la seconde lentille. Pour trouver le grandissement et la hauteur de « l'objet-image », on applique tout simplement la même méthode que précédemment, sauf que l'objet est l'image produite par cette lentille. Vous l'aurez compris, la distance de l'image à la seconde lentille est différente de la distance de l'objet à la première lentille.
- Dans notre exemple, l'image est à 33,3 centimètres derrière la première lentille, donc, elle est à : 50 - 33,3 = 16,7 centimètres devant la seconde lentille. Servez-vous de ce résultat et de la distance focale de la nouvelle lentille pour trouver les caractéristiques de la seconde image.
  
  1 / f = 1 / d_o + 1 / d_i
  
  1 / 5 = 1 / 16,7 + 1 / d_i
  
  0,2 - 0,0599 = 1 / d_i
  
  0,14 = 1 / d_i
  
  d_i = 1 / 0,14 = 7,14 centimètres
- On peut alors déterminer h_i et γ pour la seconde lentille :
  
  (h_i / h_o) = - (d_i / d_o)
  
  (h_i/- 3,996) = - (7,14/16,7)
  
  h_i = - (0,427) × - 3,996
  
  h_i = 1,71 centimètre
  
  γ = (h_i / h_o)
  
  γ = (1,71 / - 3,996) = - 0,428
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S'il y a d'autres lentilles dans votre système optique, procédez de la même façon. On opère toujours ainsi, que vous ayez 3, 4, 5… 100 lentilles. À chaque nouvelle lentille, on prend l'image créée par la lentille précédente comme objet. Utilisez toujours les formules de Descartes et du grandissement pour résoudre ces problèmes d'optique.
- N'oubliez pas les éventuelles inversions d'image avec toutes ces lentilles successives. Ainsi, la valeur de grandissement qu'on a obtenue (- 0,428) indiquait que l'image obtenue avait une taille qui était les quatre dixième de la taille de l'image créée par la première lentille. Par contre, comme la première image était inversée, la seconde image est dans le bon sens (γ est négatif).
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Conseils

Sur toutes les jumelles, on trouve inscrit un nombre « fois (x) » un autre nombre. Ainsi, on peut lire des mentions comme 8 x 25 ou 8 x 40. En ce cas, le premier nombre indique le grossissement des jumelles. Pour les deux exemples donnés, le grossissement est le même (8). Quant au deuxième nombre, il indique le diamètre des objectifs. Plus il est élevé, plus le champ de vision est grand, plus les objets sont visibles.
Avec un dispositif n'ayant qu'une seule lentille, le grandissement pourrait être négatif si la distance à l'objet est supérieure à la distance focale de la lentille. En ce cas, l'objet n'apparaitrait pas réduit, il y aurait grandissement, mais l'image, quant à elle, serait renversée pour celui qui la regarde.