Comment décomposer un nombre en un produit de facteurs

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Tout chiffre ou nombre qui en divise parfaitement un autre est un facteur de ce dernier. Tout nombre peut donc se présenter sous la forme d’un produit de facteurs. Il est fréquent en mathématiques d'avoir à décomposer un nombre en facteurs, premiers ou non. La décomposition en facteurs n'est pas très compliquée, il suffit de savoir diviser et de ne rien oublier en cours de calculs.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Décomposer un nombre entier

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inscrivez le nombre à décomposer. Tous les nombres, sans exception, peuvent se décomposer en un produit de facteurs. Nous commencerons avec le cas le plus simple : la décomposition d'un entier relatif. Un tel nombre n’a aucune décimale (nombre avec une virgule) et ne se présente pas sous la forme d'une fraction irréductible ( par exemple, ${\frac {7}{13}}$ ${\frac {7}{13}}$ ). Un entier relatif peut être positif (on le dit « naturel ») ou négatif.
- Prenons comme exemple le nombre 12. Inscrivez-le en haut de votre feuille de papier.
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Trouvez deux nombres dont le produit est ce nombre de départ. Tout entier peut s'écrire sous la forme d'un produit (une multiplication) de deux nombres ou plus. Les « nombres premiers » ( 3, 5, 7…) ne se décomposent que d'une seule façon : le produit de 1 et de lui-même. Trouver les facteurs d'un nombre suppose de faire dans sa tête une série de multiplications à deux nombres. Vous devez vous dire : « Quels sont les deux nombres qui, multipliés entre eux, donnent telle valeur ? »
- Revenons à notre exemple. 12 peut se décomposer ainsi :
  $12=12\times 1=6\times 2=3\times 4$ . toutes ces valeurs (1, 2, 3, 4, 6, et 12) sont les facteurs de 12. Pour notre propos, nous ne garderons que $12=6\times 2$ .
- Les nombres pairs sont faciles à décomposer, car ils ont tous comme facteur 2, par définition serait-on tenté de dire. C’est ainsi que : $4=2\times 2$ , $26=2\times 13$ …
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Voyez si vous pouvez faire une décomposition seconde. Vous avez obtenu un premier produit de facteurs, voyez si vous ne pouvez pas décomposer une nouvelle fois chacun de ces facteurs. Cela arrive souvent lorsque vous partez d'un grand nombre. Si un des facteurs peut être à son tour décomposé, faites-le. Ce n'est pas toujours utile, mais dans certains cas, cela vous facilitera les calculs.
- Nous avions gardé la décomposition suivante : $12=2\times 6$ . Or, 6 peut à nouveau être décomposé en : $6=2\times 3$ . Si vous regroupez les deux, vous obtenez : $12=2\times (2\times 3)=2\times 2\times 3$ .
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Arrêtez-vous quand vous n'avez plus que des facteurs premiers. Un nombre premier (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…) se décompose en un seul produit qui comprend 1 et lui-même. Lorsque vous décomposez un nombre en facteurs premiers, arrivé au terme de vos calculs, il est inutile d'aller plus loin. Ainsi, mettre 1 en facteur n'est absolument d'aucune utilité.
- Dans notre exemple, 12 a été réduit à un produit ne contenant que des 2 et un 3, ces nombres étant premiers, la décomposition est terminée. Il serait inutile d'ajouter 1 à liste des facteurs premiers, 1 étant élément neutre pour la multiplication.
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Décomposez un entier relatif négatif. Il se décompose exactement comme un entier naturel, la seule différence est qu'il faut faire attention au signe des facteurs pour bien obtenir l'entier de départ. Quel que soit le nombre de facteurs, vous ne devez pas avoir un nombre pair de facteurs négatifs, car « - » par « - » donne « + ».
- Essayons de décomposer -60 en un produit de facteurs. Une des possibilités est la suivante :
  - $-60=-10\times 6$
  - $-60=(-5\times 2)\times 6$
  - $-60=(-5\times 2)\times (3\times 2)$
  - $-60=-5\times 2\times 3\times 2$ . Vous avez ici trois facteurs premiers (2, 3 et 5) qui ne bougeront pas, mais vous pouvez avoir d'autres décompositions en modifiant les signes. C'est ainsi que :
    $-60=-5\times 2\times -3\times -2$ ,
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Décomposer de grands nombres

1
Tracez deux colonnes. Placez votre grand nombre au-dessus. Autant il est facile de décomposer en facteurs premiers un petit nombre de tête et d'écrire les différents produits au fur et à mesure, autant le faire avec un grand nombre risque d'entrainer des oublis. Avec un tableau, le risque est beaucoup plus limité, voire nul. La colonne de gauche servira aux facteurs premiers, celle de droite au facteur restant.
- Pour illustrer notre démarche, nous prendrons comme exemple le nombre 6 552.
2
Divisez votre nombre par le plus petit facteur premier possible. Vous n'inscrirez, à gauche, que ceux qui sont vraiment des facteurs premiers, quand bien même un facteur apparaitrait plusieurs fois de suite. Ce facteur premier doit diviser exactement le nombre de départ. Le quotient de cette division sera inscrit à droite sur la même ligne que son facteur. Cela a été dit, et c'est le cas ici, la décomposition des nombres pairs est facile, elle commence toujours par 2. Quant aux nombres impairs, il faut essayer les facteurs premiers dans l'ordre jusqu'à en trouver un.
- Dans notre exemple, le nombre choisi est pair, il est donc divisible par 2. Vous l'inscrivez donc à gauche et vous notez dans l'autre colonne sur la même ligne, le quotient de 6 552 par 2, soit 3 276.
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Continuez ainsi jusqu'à la fin. Pour le deuxième facteur, vous devez partir du quotient précédent et trouver un nouveau facteur qui peut par ailleurs être le même que le précédent. Comme dit plus haut, vous alignez verticalement les facteurs premiers à gauche et vous notez le quotient trouvé dans la colonne de de droite. Le nombre situé à droite décroit progressivement jusqu'à 1.
- Nous en étions restés à 3 276 qui est divisible à nouveau par 2. Vous inscrivez un autre 2 sous le 2 précédent et en face, vous notez le quotient de 3 276 par 2, soit 1 638. Ce dernier nombre est pair, il est donc encore divisible par 2 : un troisième 2 est noté à gauche, et 819, quotient de 1 638 par 2, est noté à droite.
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Décomposez un nombre impair. La tâche est un peu plus rude, mais avec l'habitude et l'intuition, vous irez vite. Il faut tester les nombres premiers suivants qui, tous, sont impairs. Essayez avec 3, 5, 7, 11… Là, deux cas de figure se présentent : ou vous en trouvez un et le tour est joué, ou vous n'en trouvez pas et votre dernier quotient est un nombre premier.
- Dans notre exemple, nous en sommes arrivés à 819 qui est impair. Essayez de voir s'il est divisible par 3 : il l'est, car 18 (= 8 + 1 + 9) l'est. En effet, en divisant 819 par 3, vous obtenez 273. Inscrivez 3 sous les trois 2 de la colonne de gauche et 273 sous 819.
- Il est une petite astuce quand il s'agit de chercher un facteur premier d'un nombre impair : il est inutile de tester un facteur premier dont le carré serait supérieur au quotient à décomposer. Ainsi, pour 163, ne cherchez pas plus loin que 13, car 13 x 13 = 169. Votre décomposition est finie : un nombre qui n'a pas de diviseurs, autres que 1 ou lui-même, est un nombre premier.
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Continuez la décomposition jusqu'à avoir 1 à droite. Alignez les facteurs premiers dans un ordre croissant. Quand le dernier quotient n'a plus de diviseur, inscrivez-le à gauche : c'est votre dernier facteur premier, et le quotient est donc 1, noté à droite.
- Reprenons la décomposition du dernier quotient trouvé, soit 273.
  - Divisez à nouveau par 3, car le quotient de 273 par 3 est 91 : notez 3 à gauche et 91 à droite.
  - Essayez à nouveau 3 : 91 n'est pas divisible par 3, c'en est fini des 3. Passez à 5 : 91 ne se termine ni par 0 ni par 5, il n'est pas divisible par 5. Passez à 7 : 91 est un multiple de 7, car 91 = 7 x 13. Notez 7 à gauche et 13 à droite.
  - Voyez si 7 divise 13, mais ce n'est pas le cas. Le facteur premier suivant, 11, ne le divise pas non plus. En fait, et vous finirez par le retenir au fil du temps, 13 est un nombre premier. Notez 13 dans la colonne des facteurs et 1 dans celle de droite : vous avez termine la décomposition de 6 552 en facteurs premiers.
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Sachez ce que renferme la colonne de gauche. Quand vous aurez trouvé 1 dans la colonne de droite, toutes les valeurs de la colonne de gauche sont les facteurs du nombre de départ. Si vous les multipliez entre eux, vous retombez sur le nombre choisi au départ. Si vous devez présenter la décomposition sous forme de produit et qu'un facteur premier apparait plusieurs fois, vous réduirez la liste en mettant une puissance : au lieu de mettre $2\times 2\times 2$ $2\times 2\times 2$ comme c'est le cas ici, vous écrirez $2^{3}$ $2^{3}$ .
- Dans notre exemple, présentez la décomposition de 6 552 ainsi :
  $6\ 552=2^{3}\times 3^{2}\times 7\times 13$ . Vous n'avez que des nombres premiers et ils sont classés par ordre croissant, ce qui n'est pas obligatoire, mais conventionnel.
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Conseils

Vous vous devez de comprendre très vite ce qu'est un nombre premier, car ils jouent un rôle-clé dans les décompositions. Un nombre premier est, rappelons-le, un nombre qui n'a pour facteurs que 1 et lui-même, c'est le cas, par exemple, de 3. Les autres nombres sont dits « composés », d'où le terme de décomposition souvent cité dans cet article. Le chiffre 1 est un peu à part, il n'est ni premier ni composé, il est autre chose. Quant à 0…
Les dix ou douze nombres premiers sont à retenir : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23.
Vous devez aussi saisir rapidement ce qu'est un facteur. C'est un chiffre ou un nombre qui divise parfaitement un autre chiffre ou nombre, le reste de la division est égale à 0. C'est comme cela qu'on peut dire que 6 est un facteur de 24 (24 = 6 x 4), mais non de 25 (25 = (6 x 4) + 1).
Il existe d'autres façons de décomposer, notamment par le jeu des décompositions partielles, mais cette méthode du tableau présente l'avantage d'être sure et d'obtenir les facteurs dans l'ordre croissant.
Nous avons surtout évoqué la décomposition des entiers naturels, positifs donc, et rapidement les entiers négatifs. Pour ces derniers, un autre article serait nécessaire, et ce serait également le cas de la décomposition des valeurs rationnelles (fractions), non pas que le principe diffère, mais la mise en œuvre est plus délicate pour ces nombres.
Il est une petite astuce pour savoir si un nombre est divisible par 3 : vous additionnez ces chiffres et si cette somme est divisible par 3, alors le nombre l'est aussi. 819 est divisible par 3, car 18 (= 8 + 1 + 9) l'est.

Avertissements

Ne travaillez pas inutilement ! Avec cette méthode du tableau, il est inutile de tester une nouvelle fois un facteur qui l'a déjà été : si un facteur n'est pas valide au début de la décomposition, il ne le sera pas davantage au milieu ou à la fin. 819 n'était pas divisible par 2, les quotients suivants ne l'étaient pas davantage.