Comment décomposer un vecteur selon deux axes orthogonaux

Coécrit par l'équipe de wikiHow

Un vecteur peut être la représentation graphique de certaines forces physiques. Ainsi un avion volant en direction du nord-est à une vitesse de 640 km/h peut être représenté par un vecteur. Une balle qui roulerait sur un plan incliné et qui ensuite serait en chute libre peut être représentée par un vecteur oblique, la vitesse et la trajectoire de la balle étant fonction de sa vitesse initiale. Sachez que tout vecteur peut se décomposer en deux composantes perpendiculaires, et c'est souvent bien pratique dans certains problèmes. Ainsi, on peut savoir quelle force (ou vitesse ou tout autre phénomène physique représentée par le vecteur) est appliquée dans le sens horizontal aussi bien que vertical. Cette décomposition peut être faite graphiquement, mais si vous voulez des résultats plus précis, vous devrez en passer par la trigonométrie.

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:
Identifier graphiquement les composantes d'un vecteur

1
Commencez par choisir une échelle. Pour dessiner un vecteur et ses deux composantes, vous devez prioritairement choisir une échelle. Le choix de cette dernière doit tenir compte de la précision que vous voulez et du fait que le vecteur doit tenir sur votre feuille de papier ^{[1]
X
Source de recherche}.
- Pour être plus explicite, prenons comme exemple un vecteur qui représente une vitesse de 300 km/h dans la direction du nord-est. Si vous utilisez du papier millimétré, qui sera bien précis pour évaluer les composantes, vous pouvez, par exemple, prendre comme échelle 1 cm (dans les deux sens) pour 30 km/h. Si vous prenez plus grand, la lecture sera beaucoup moins précise.
- Pour une décomposition en deux vecteurs perpendiculaires, il n'est pas nécessaire, ici, de tracer un axe des abscisses (axe horizontal des « x ») et un axe des ordonnées (axe vertical des « y »). Seuls nous intéressent ici la longueur, le sens et secondairement, la direction du vecteur en question. En fait, nous ne ferons que mesurer le vecteur et ses composantes, ce qui nous dédouane d’autres éléments, peu importe que le vecteur soit linéaire (dans le plan) ou euclidien (dans l'espace).
2
Tracez votre vecteur à l'échelle. Il est très important de tracer précisément votre vecteur si vous voulez que les longueurs des composantes, et donc leurs normes, soient à leur tour précises. Ce qui compte ici est de tracer la bonne longueur dans la bonne direction ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Servez-vous d'une règle précise, un réglet, par exemple. Ainsi, dans notre exemple, nous devons tracer un vecteur avec une échelle de 1 cm pour 30 km/h. Le vecteur représentant une vitesse de 300 km/h aura donc une longueur de 10 carreaux, soit 10 cm.
- Pour la direction du vecteur, le plus pratique et le plus juste est d'utiliser un rapporteur. Si votre vecteur est défini comme un déplacement vers le nord-est (à mi-chemin donc entre le nord et l'est), l'angle par rapport à l'horizontale, mais aussi à la verticale, sera de 45°.
- La direction d'un vecteur donne des indications très différentes les unes des autres en fonction du phénomène étudié. Pour un avion qui rejoint une destination, sur une carte, le vecteur représentera son trajet. En physique newtonienne, on utilise le vecteur pour indiquer la direction de déplacement d'un objet dans le vide ou sur un plan. En physique nucléaire, on se sert de vecteurs pour indiquer les trajectoires des particules, petites et grandes.
3
Tracez un triangle rectangle. Le vecteur de départ en sera l'hypoténuse. À l'aide de votre règle, tracez une ligne qui part du point de départ du vecteur (son origine) et qui va à peu près à l'aplomb du point d'arrivée du vecteur (son extrémité). Au bout de cette ligne, vous mettrez une flèche qui indique le sens : ce trait orienté est une des composantes du vecteur de départ. Tracez ensuite une ligne verticale vers le bas qui part de l'extrémité du vecteur de départ en direction de la ligne précédemment tracée. Mettez une flèche au haut de cette ligne ^{[3]
X
Source de recherche}.
- Vous devriez avoir devant les yeux un triangle rectangle parfait, fait de trois vecteurs. Le vecteur de départ en serait l'hypoténuse, la base du même triangle rectangle serait alors la composante horizontale du vecteur, quant à la hauteur, elle en serait la composante verticale.
- Il y a deux exceptions à la décomposition d'un vecteur en deux composantes, et donc à la construction d'un triangle rectangle : c'est lorsque le vecteur d'origine est horizontal (premier cas) ou vertical (second cas). S'il est horizontal, sa composante verticale est nulle et si c'est un vecteur vertical, sa composante horizontale est nulle.
4
Donnez un nom à chacune des deux composantes. En fonction de la nature du vecteur de départ, vous devez être capable de qualifier les deux composantes de ce vecteur. Ainsi, si vous avez un vecteur qui est dirigé vers le nord-est, sa composante verticale indiquera le nord et sa composante horizontale, l'est ^{[4]
X
Source de recherche}.
- En fonction de la nature du vecteur, vous auriez pu les appeler haut et droite ou bas et gauche, ou toute combinaison du même genre.
5
Mesurez les composantes. Pour connaitre les normes des deux composantes, vous pouvez utiliser soit les petits carreaux du papier millimétré soit une règle. Si vous utilisez une règle, mesurez chacune des composantes du vecteur, puis convertissez ces mesures à l'aide de l'échelle adoptée pour le croquis. Si, par exemple, vous avez une composante qui fait 3,2 cm de long et que l'échelle est de 1 cm pour 30 km/h, alors votre composante représentera 96 km/h (3,2 x 30) ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Si vous travaillez sur du papier millimétré, la mesure est un peu plus approximative. Admettons que vous ayez une composante dont la longueur est de trois grands carreaux et cinq petits carreaux (en fait, 3 carreaux et demi). Si votre échelle est de 1 cm (1 carreau) pour 30 km/h, alors votre composante représentera une vitesse de : 3,5 x 30 km/h, soit 105 km/h.
- Mesurez comme vous voulez les deux composantes, faites les calculs d'échelle et marquez les résultats sur les deux composantes.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:
Calculer les composantes d'un vecteur grâce à la trigonométrie

1
Tracez approximativement le vecteur. Comme vous allez calculer les composantes, votre croquis n'a pas besoin d'être précis au dixième de millimètre, puisque vous n'allez pas vous servir d'une échelle. Tracez juste votre vecteur en lui donnant sa direction et son sens. Plus important, vous devez indiquer sa norme, c'est-à-dire sa valeur, et l'angle qu'il fait avec l'horizontale ^{[6]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple une fusée qui décollerait du sol sous un angle de 60° par rapport à l'horizontale et à une vitesse de 1 500 m/s. Tracez un vecteur qui fait à peu près un angle de 60° par rapport à l'horizontale. Marquez « 1500 m/s » sur le vecteur et indiquez que l'angle fait 60°.
- Sur l'illustration, nous avons tracé un vecteur qui représente une force (de traction, par exemple) de 5 N (= newtons) qui s'exerce dans une direction qui fait 37° par rapport à l'horizontale.
2
Tracez les composantes du vecteur. Tracez un trait horizontal qui part de l'origine du vecteur qui va dans la même direction (à droite ou à gauche) que le vecteur de départ. Vous venez de tracer la composante horizontale du vecteur. Tracez un trait vertical qui part de l'extrémité du vecteur, va vers le bas et doit aller couper la composante horizontale précédemment tracée. Ceci est la composante verticale du vecteur de départ. Marquez « horizontal » et « vertical » sur ces composantes ^{[7]
X
Source de recherche}.
- Vous venez d'opérer la décomposition d'un vecteur force en deux forces perpendiculaires ou orthogonales. Vous auriez pu faire cette décomposition avec ce jeu célèbre des années 60 qu'on appelait « l'écran magique ». Il était doté de deux boutons qui traçaient, sur un écran doré, pour l’un des lignes horizontales et pour l'autre, verticales. Pour aller d'un point à un autre, vous pouviez soit tracer une verticale puis une horizontale, sinon vous pouviez aller en ligne droite en tournant en même temps les deux boutons. Cet exemple permet de mieux comprendre la décomposition d'un vecteur.
3
Utilisez la fonction sinus pour calculer la composante verticale. En traçant les deux composantes du vecteur, vous avez dessiné un triangle rectangle. Dès lors, vous pouvez vous servir de la trigonométrie pour calculer précisément les deux composantes. Pour la verticale, utilisez la formule suivante ^{[8]
X
Source de recherche} :
- $\sin \theta ={\frac {composante\ verticale}{hypot{\acute {e}}nuse}}$ ,
- reprenons l'exemple de la fusée qui décollait. Remplacez dans la formule les inconnues par leurs valeurs, puis faites les calculs. Cela donne les opérations suivantes :
  - $\sin \theta ={\frac {composante\ verticale}{hypot{\acute {e}}nuse}}$
  - $\sin(60)={\frac {composante\ verticale}{1\ 500}}$
  - $composante\ verticale=1\ 500\times \sin(60)$
  - $composante\ verticale=1\ 500\times 0,866$
  - $composante\ verticale=1\ 299$
- mettez la bonne unité. Comme l'unité de départ était une unité de vitesse, le m/s, votre réponse est exprimée dans la même unité : 1 299 m/s,
- sur l'illustration avec la force de 5 N sous un angle de 37°, faites exactement de même, ce qui donne après calculs, une composante verticale de 3 N ( $5\times \sin(37)=5\times 0,6=3$ ).
4
Utilisez la fonction cosinus pour calculer la composante horizontale. Vous êtes toujours avec un triangle rectangle et la composante horizontale s'obtient, cette fois, avec la fonction cosinus. Utilisez la formule suivante ^{[9]
X
Source de recherche} :
- $\cos \theta ={\frac {composante\ horizontale}{hypot{\acute {e}}nuse}}$ ,
- reprenons l'exemple de la fusée. Remplacez dans la formule les inconnues, puis faites les calculs. Cela donne :
  - $\cos \theta ={\frac {composante\ horizontale}{hypot{\acute {e}}nuse}}$
  - $\cos(60)={\frac {composante\ horizontale}{1\ 500}}$
  - $composante\ horizontale=1\ 500\cos(60)$
  - $composante\ horizontale=1\ 500\times 0,5$
  - $composante\ horizontale=750$
- mettez la bonne unité. Comme l'unité de départ était une unité de vitesse, le m/s, votre réponse est donc une vitesse exprimée dans la même unité : 750 m/s,
- sur l'illustration avec la force de 5 N, faites exactement de même, ce qui donne après calculs, une composante horizontale de 4 N après arrondissement ( $5\times \cos(37)=5\times 0,8=4$ ).
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:
Utiliser les composantes des vecteurs pour les additionner

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Comprenez bien ce qu'est l'addition de vecteurs. Autant additionner en algèbre est un concept simple, autant avec des vecteurs, la chose est plus compliquée. Un vecteur isolé représente la force, la vitesse ou tout autre phénomène qui s'applique à un objet. Mais quand le même objet est soumis en même temps à deux forces ou deux vitesses totalement différentes en direction, en norme et en sens, on comprend bien que les choses se compliquent. Cependant, il est possible d'ajouter ces deux forces (voire plus) qui s'exercent sur un même objet : on obtient alors ce qu'on appelle un vecteur résultant.
- Prenons l'exemple d'une balle de golf lancée par un joueur. Sur cette balle en l'air, s'exerce d'abord la force de la frappe qui donne à la balle une vitesse initiale. Sur cette même balle s'exerce aussi la force du vent qui a une direction, un sens et une norme propres. La trajectoire réelle de la balle est issue de l'action (de l'addition) de ces deux forces : elle en est la résultante.
2
Décomposez chacun des vecteurs vitesse en deux. Avant de pouvoir additionner les deux vecteurs, vous devez les décomposer en composantes perpendiculaires. Le travail consiste donc à faire comme précédemment afin d'avoir deux triangles rectangles.
- Admettons que cette balle de golf décolle à une vitesse de 210 km/h sous un angle de 30° par rapport à l'horizontale. Grâce aux formules trigonométriques, les deux composantes de la vitesse initiale sont les suivantes :
  - $composante\ verticale=210\sin(30)=105\ {\text{km/h}}$
  - $composante\ horizontale=210\cos(30)=181,9\ {\text{km/h}}$
- Prenons en compte à présent le vecteur vitesse du vent. On supposera que ce dernier exerce une force vers le bas selon un angle de 10° par rapport à l'horizontale et qu'il a une vitesse de 16 km/h. On admettra aussi qu'aucune autre force ne s'exerce sur la balle en question. Décomposez ce vecteur vitesse du vent en deux composantes :
  - $composante\ verticale=16\sin(-10)=-2,7\ {\text{km/h}}$ ,
  - $composante\ horizontale=16\cos(-10)=15,8\ {\text{km/h}}$ ,
  - notez au passage que l'angle du vent est négatif, car il souffle en sens inverse (vers le bas) de la trajectoire de la balle (vers le haut).
3
Additionnez les composantes. Les composantes des vecteurs peuvent s'additionner à condition qu'elles soient de même nature (horizontale ou verticale), quand bien même certaines seraient négatives. C'est pourquoi, comme il y a deux composantes, vous devez veiller à bien additionner les composantes de même nature.
- Dans le cas de la balle, les deux composantes du vecteur résultant s'obtiennent ainsi :
  - $composante\ verticale=105+(-2,7)=102,3$
  - $composante\ horizontale=181,9+15,8=197,7$
- Sachez à quoi correspondent ces deux normes. La force qui s'applique sur la balle de golf, toutes forces confondues (celle de la frappe initiale plus celle du vent), peut se décomposer en deux composantes, dont l'une agit verticalement donnant une vitesse de 102 km/h, et l'autre, horizontalement avec une vitesse de 197 km/h.
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Servez-vous du théorème de Pythagore. Grâce à lui, vous allez pouvoir calculer la norme de la résultante des deux forces. C'est elle qui vous intéresse pour savoir à quelle vitesse va la balle sous l'effet conjugué de la frappe et du vent. Ce vecteur vitesse est la résultante des deux composantes calculées.
- Ces deux composantes représentent les côtés adjacents de plusieurs triangles rectangles, la résultante étant invariablement le côté opposé à l'angle droit. Or, dans un triangle rectangle de côtés a, b et d'hypoténuse c, selon le théorème de Pythagore, on a : $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ , ce qui donne ici :
  - $r{\acute {e}}sultante^{2}=102,3^{2}+197,7^{2}$
  - $r{\acute {e}}sultante^{2}=10\ 465,3+39\ 085,3=49\ 550,6$
  - $r{\acute {e}}sultante={\sqrt {49\ 550,6}}$
  - $r{\acute {e}}sultante=222,6$
- En conclusion, la balle se déplace à une vitesse d'un peu plus de 222 km/h et vous noterez que cette vitesse est supérieure à la vitesse initiale (210 km/h), ce qui s'explique aisément, car elle est de surcroit partiellement poussée par le vent, même si elle tend à chuter.
5
Calculez l'angle de la trajectoire de la balle. Vous vous servirez à nouveau des formules trigonométriques. Cet angle est celui de la vitesse résultante. La vitesse étant trouvée, il faut à présent trouver l'angle de la trajectoire. La balle suivait une trajectoire de 30° vers le haut, tandis que le vent la rabattait vers le bas de 10°. Il vous faut donc trouver l'angle (par rapport à l'horizontale) de la vitesse résultante.
- Tracez un triangle rectangle en détaillant les composantes. Faites un dessin proportionnel. La base horizontale du triangle, orientée vers la droite, sera donc de 197,7, la verticale, orientée vers le haut, de 102,3 et l'hypoténuse, c'est-à-dire la résultante, orientée vers la droite et le haut, de 222,6.
- Pour trouver l'angle, prenez au choix la fonction sinus avec la composante verticale, ou la fonction cosinus, avec la composante horizontale, le résultat sera obligatoirement le même.
  - $\sin \theta ={\frac {102,3}{222,6}}$
  - $\sin \theta =0,459$
  - $\theta =\arcsin(0,459)$ (fonction réciproque de la fonction sinus)
  - $\theta =27,32$
- En conséquence, la balle sous l'action de la frappe et du vent a une trajectoire inclinée de 27,32° par rapport à l'horizontale. Ce nombre est logique dans la mesure où il était de 30° au départ, le vent ayant légèrement rabattu la balle vers le bas (d’environ 3°). Comme la force issue de la frappe est très largement supérieure à la force du vent, il est aussi logique que l'angle n'ait que faiblement varié.
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Présentez votre résultat. Donnez, avec les unités, l'angle et la vitesse de votre balle. Partie à 210 km/h sous un angle, elle a rapidement poursuivi sa trajectoire à une vitesse de 222,6 km/h sous un angle de 27,32° au-dessus de l'horizontale.

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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:
Réviser les notions de vecteur et de composantes

1
Rappelez-vous de la définition d'un vecteur. Un vecteur est un outil mathématique dont se servent souvent les physiciens pour indiquer, entre autres, des forces qui s'exercent sur un objet. Il se définit par son sens, sa direction et sa norme ^{[10]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, un objet en mouvement peut être défini, outre son centre de gravité, par sa vitesse de déplacement et sa direction. Vous pouvez dire, par exemple, d'un avion qu'il se déplace vers le nord-est (sa direction) à une vitesse moyenne de 800 km/h (sa norme).
- Un chien qui tire sur sa laisse développe une force le long de cette dernière. Cette force de traction peut se représenter par un vecteur qui part en diagonale, qui est orienté vers le propriétaire (sens) et dont la norme est fonction de la force du chien. L'angle de la laisse donne donc la direction, et la force générée par le chien qui tire est sa norme.
2
Utilisez les bons termes liés aux vecteurs. Quand vous tracez un vecteur, que ce soit de façon précise sur du papier millimétré ou de façon sommaire sur une page blanche, vous devez utiliser le bon vocabulaire ^{[11]
X
Source de recherche}.
- Un vecteur se représente graphiquement par une flèche. Celle-ci est un segment de droite qui commence en un point donné du plan ou de l'espace, a une certaine longueur proportionnelle à la norme du vecteur et se termine par une flèche. C'est un segment orienté.
- L'origine d'un vecteur est son point de départ. C'est généralement lui qui symbolise le centre de gravité de l'objet qui est soumis à un phénomène (ou un ensemble de phénomènes) physique donné.
- L’extrémité d'un vecteur montre sa limite. Un segment est limité des deux côtés, une droite est illimitée des deux côtés, un vecteur ressemble au segment à la différence près que la norme limite le vecteur, mais la direction du vecteur est, elle, illimitée. Vu sous cet angle, un vecteur est un segment si l'on s'en tient à sa seule norme, mais est aussi une droite si l'on prend en considération sa seule direction. En géométrie, la longueur d'une droite n'a pas de sens. Par contre, si vous tracez un vecteur, sa longueur a tout son sens.
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Revoyez les éléments de base de la trigonométrie. Pour déterminer les composantes d'un vecteur, vous devez maitriser quelques notions de trigonométrie concernant les triangles rectangles. Tout segment de droite peut devenir l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Pour cela, il suffit de tracer d'une extrémité une droite verticale et de l'autre extrémité (et du même côté), une droite horizontale. Quand les deux droites se rencontrent, elles forment un angle droit et les traits, un triangle rectangle ^{[12]
X
Source de recherche}.
- L'angle d'un vecteur se mesure toujours par rapport à l'horizontale, c'est celui qui existe entre la base du triangle rectangle (composante horizontale) et l'hypoténuse (vecteur).
- Le sinus d'un angle s'obtient en divisant la longueur du côté opposé à l'angle droit par la longueur de l'hypoténuse.
- Le cosinus d'un angle s'obtient en divisant la longueur du côté adjacent à l'angle droit (le plus proche de l'angle) par la longueur de l'hypoténuse.
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Avertissements

Mesurer les composantes d'un vecteur sur un croquis à l'échelle est très pratique, mais ne lui demandez pas une grande précision, quand bien même vous seriez très appliqué. Si vous vous satisfaisiez de valeurs arrondies, cette méthode conviendrait. Si, au contraire, vous devez rendre des résultats très précis, vous devrez en passer par la trigonométrie.