Comment dériver une fonction polynôme

Coécrit par l'équipe de wikiHow

Dériver une fonction polynôme est fondamental pour étudier une fonction (tracer sa courbe, par exemple). Pour dériver une fonction polynôme, tout ce que vous avez à faire est de multiplier les coefficients de chaque variable par leurs exposants respectifs, d'abaisser chaque exposant d'un degré et de supprimer toutes les constantes.

Étapes

1
Identifiez les variables et les termes constants dans l'équation. Une variable est un terme qui comprend l'inconnue et une constante est un terme qui ne dispose que d'un nombre sans inconnue. Trouvez les variables et les constantes dans cette fonction polynomiale : y = 5x³ + 9x² + 7x + 3.
- Les variables sont 5x³, 9x² et 7x
- Le terme constant est 3
2
Multipliez les coefficients de chaque variable par leurs exposants respectifs. Ces produits vont former les nouveaux coefficients de l'équation dérivée. Une fois trouvés les produits, placez les résultats devant leurs variables respectives. Voici comment on fait :
- 5x³ = 5 x 3 = 15
- 9x² = 9 x 2 = 18
- 7x = 7 x 1 = 7
3
Diminuez chaque exposant d'une unité. Pour ce faire, il suffit de soustraire 1 à chaque exposant dans chaque variable. Voici comment on fait :
- 5x³ = 5x²
- 9x² = 9x¹
- 7x = 7
4
Remplacez les anciens coefficients et les anciens exposants par les nouveaux. Pour finir de dériver l'équation polynôme, il suffit de remplacer les anciens coefficients par les nouveaux et de remplacer les anciens exposants avec les mêmes exposants diminués d'une unité. La dérivée d'une constante est égale à 0, donc, ici, cela revient à supprimer le 3.
- 5x³ devient 15x²
- 9x² devient 18x
- 7x devient 7
- La dérivée du polynôme y = 5x³ + 9x² + 7x + 3 est donc y = 15x² + 18x + 7
5
Passez à l'application numérique avec un « x » quelconque. Pour trouver la valeur de « y » avec un « x » quelconque, remplacez « x » par la valeur que vous voulez et faites les calculs. Par exemple, si vous voulez trouver la valeur de l'équation avec x = 2, il suffit de remplacer x par 2 dans l'équation. Voici comment on fait :
- 2 --> y = 15x² + 18x+ 7 = 15 x 2² + 18 x 2 + 7 =
- y = 60 + 36 + 7 = 103
- Pour x = 2, y = 103. Voilà !
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Conseils

La règle de dérivation établit que : d/dx[axⁿ]=nax^n-1
Trouver l'intégrale d'un polynôme se fait de la même façon, mais en sens inverse. Supposons que vous ayez : 12x² + 4x¹ +5x⁰ + 0. Vous ajoutez 1 à chaque exposant et vous divisez le coefficient par le nouvel exposant. Cela donne : 4x³ + 2x² + 5x¹ + C, où C est une constante, dont vous ne connaissez pas encore la valeur.
Souvenez-vous que le nombre dérivé de f en x est : lim as h-->0 of [f(x+h)-f(x)]/h
Souvenez-vous, cette méthode ne fonctionne que lorsque l'exposant est une constante. Par exemple, d/dx x^x n'est pas x(x^(x-1))=x^x, mais plutôt x^x(1+ln(x)). La règle de dérivation s'applique à xⁿ si n est constant.
Si vous avez des exposants négatifs ou fractionnaires, ne vous inquiétez pas ! ils suivent la même règle. Si, par exemple, vous avez x^-1, la dérivée sera -x^-2 et x^1/3 deviendra (1/3)x^-2/3.