Comment factoriser un polynôme du second degré (équation du second degré)

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Un polynôme est composé d'une variable (x) élevée à une certaine puissance appelée le degré du polynôme, et plusieurs autres termes de degrés inférieurs et/ou plusieurs autres constantes. Factoriser un polynôme du second degré (que l’on nomme aussi « équation quadratique ») signifie le réduire l'expression de départ en un produit d'expressions de degrés plus petits que l’on peut ensuite multiplier l’une par l’autre. Ces connaissances relèvent du cours de lycée et plus, c'est pourquoi cet article peut s'avérer être difficile à comprendre si vous n'avez pas encore le niveau requis en mathématiques.

Étapes

Pour commencer

1
Écrivez votre expression. La forme standard d’une équation du second degré est la suivante :

ax² + bx + c = 0
Commencez par ranger les termes de votre équation selon l'ordre des puissances, de la plus grande à la plus petite, comme dans la forme standard. Prenons par exemple :

6 + 6x² + 13x = 0
Nous allons réorganiser cette expression afin de faciliter le travail en déplaçant simplement les termes :

6x² + 13x + 6 = 0.
2
Trouvez la forme factorisée en utilisant une des méthodes expliquées ci-dessous. La factorisation va donner deux expressions plus courtes qui donneront le polynôme initial si on les multiplie l’une par l’autre :

6x² + 13x + 6 = (2x + 3)(3x + 2)
Dans cet exemple, (2x +3) et (3x + 2) sont des facteurs de l’expression initiale, 6x² + 13x + 6.
3
Vérifiez votre travail ! Multipliez les facteurs que vous avez identifiés. Puis combinez les termes similaires et vous aurez terminé. Commencez par :

(2x + 3)(3x + 2)
Commençons à tester cette expression, en multipliant les termes des deux expressions pour obtenir :

6x² + 4x + 9x + 6
À partir de là, nous pouvons additionner 4x et 9x car ce sont des termes de même degré. Nous savons alors que nos facteurs sont corrects car nous retombons bien sur l'expression de départ :

6x² + 13x + 6.

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Méthode 1

Méthode 1 sur 6:
Procéder par essais et erreurs

Si vous avez affaire à un polynôme assez simple, vous devriez être capable de trouver sa décomposition en produit de facteurs au premier coup d’œil. Par exemple, de nombreux mathématiciens sont capables de voir que l’expression 4x² + 4x + 1 donne les facteurs (2x + 1) et (2x + 1) par habitude et avec l’expérience (évidemment, ce n’est pas aussi simple dans le cas des polynômes complexes). Pour cet exemple, prenons une expression moins courante :

3x² + 2x - 8

.

1
Faites une liste des facteurs des coefficients a et c. En utilisant l’expression de la forme ax² + bx + c = 0, identifiez les coefficients a et c et listez les facteurs correspondants. Pour : 3x² + 2x - 8, cela donne :

a = 3 et possède une seule paire de facteurs : 1 * 3
c = -8 et quatre paires de facteurs : -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, et -1 * 8..
2
Écrivez sur votre bout de papier deux paires de parenthèses avec de l'espace pour pouvoir écrire à l'intérieur de ces dernières. Vous inscrirez les constantes pour chaque expression dans l’espace prévu à cet effet :

( x )( x ).
3
Devant les x, écrivez une paire de facteurs possibles pour le coefficient a. Pour le coefficient a de notre exemple, 3x², il n'y a qu'une seule possibilité :

(3x )(1x ).
4
Remplissez ensuite les deux espaces vides restants avec une paire de facteurs pour le coefficient c. Prenez par exemple 8 et 1. Notez-les :

(3x 8)(x 1).
5
Décidez maintenant du signe (plus ou moins) à placer entre le x et le nombre que vous avez placé après lui. Selon le signe de l’expression originale, il est possible de trouver quels devraient être les signes des constantes. Nommons h et k les constantes de nos facteurs :

Si ax² + bx + c alors (x + h)(x + k)
Si ax² - bx - c ou ax² + bx - c alors (x - h)(x + k)
If ax² - bx + c alors (x - h)(x - k)
Dans notre exemple, 3x² + 2x - 8, les signes doivent être placés de la façon suivante :(x - h)(x + k), ce qui nous donne les deux facteurs suivants :

(3x + 8) et (x - 1).
6
Vérifiez votre forme factorisée en la redéveloppant. Un premier test rapide consiste à vérifier si le terme du milieu possède la bonne valeur. Si le terme en x n'a pas la bonne valeur, alors il est possible que vous ayez choisi la mauvaise paire de facteurs pour le coefficient c. Vérifions nos résultats :

(3x + 8)(x - 1)
En faisant une multiplication, nous obtenons :

3x² - 3x + 8x - 8
En additionnant les termes similaires (-3x) et (8x) pour simplifier cette expression, nous obtenons alors :

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8
Nous savons à présent que nous avons probablement identifié les mauvais facteurs :

3x² + 5x - 8 ≠ 3x² + 2x - 8.
7
Si nécessaire, échangez donc vos choix de facteurs. Dans notre exemple, essayons alors 2 et 4 à la place de 1 et 8 :

(3x + 2)(x - 4)
À présent notre coefficient c vaut -8, mais les multiplications (3x * -4) et (2 * x) donnent -12x et 2x, qui en s’additionnant ne donnent toujours pas la valeur initiale de b, soit +2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x.
8
Si nécessaire, inversez l'ordre. On intervertit dans notre exemple la place du 2 et du 4 :

(3x + 4)(x - 2)
À présent, le coefficient c [4 * (-2) = -8] est toujours bon, mais les coefficients des termes en x valent cette fois -6x et 4x. Une fois additionnés cela donne :

-6x + 4x = -2x
2x ≠ -2x Nous somme très proches de la valeur initiale de 2x que nous cherchons à retrouver, mais le signe n’est pas le bon.
9
Vérifiez encore les signes si nécessaire. Nous allons désormais garder le même ordre, mais nous allons échanger les signes :

(3x - 4)(x + 2)
Le coefficient devant c est toujours bon, et les termes en x valent désormais (6x) et (-4x). Puisque :

6x - 4x = 2x
2x = 2x Nous obtenons donc le 2x que nous avions initialement. Nous avons donc probablement trouvé les bons facteurs.

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Méthode 2

Méthode 2 sur 6:
Procéder par décomposition

Cette méthode nous permettra d’identifier tous les facteurs possibles pour obtenir les coefficients a et c et de les utiliser pour identifier quels facteurs sont les bons. Si les nombres sont très grands ou si les autres méthodes par tâtonnements semblent trop longues, vous pouvez utiliser cette méthode. Prenons l’exemple suivant :

6x² + 13x + 6

.

1
Multipliez le coefficient a par le coefficient c. Dans notre exemple, a est égal à 6 et c est aussi égal à 6.

6 * 6 = 36.
2
Trouvez le coefficient b en factorisant puis en testant les facteurs obtenus. Nous cherchons deux nombres qui sont facteurs du produit a * c que nous avons identifié et dont la somme vaut la valeur du coefficient "b" (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13.
3
Introduisez les deux nombres que vous venez d'obtenir dans votre équation ; placez-les devant les x, de sorte à ce que leur somme soit égale au coefficient b. Prenons les lettres k et h pour représenter les deux nombres obtenus, 4 et 9 :

ax² + kx + hx + c
6x² + 4x + 9x + 6.
4
Factorisez votre polynôme en faisant des regroupements. Organisez l’équation de sorte à retrouver le plus grand facteur commun des deux premiers termes et le plus grand facteur commun des deux derniers termes. Vous devriez alors obtenir une somme de deux formes factorisées identiques. Sommez les deux coefficients ensemble et mettez-les entre parenthèses devant votre forme factorisée ; vous obtenez alors vos deux facteurs :

6x² + 4x + 9x + 6
2x(3x + 2) + 3(3x + 2)
(2x + 3)(3x + 2).

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Méthode 3

Méthode 3 sur 6:
Le « triple jeu »

Cette méthode est très similaire à la précédente. Celle-ci consiste à examiner les facteurs possibles pour les produits des coefficients a et c, pour ensuite les utiliser pour trouver la valeur de b. Prenons pour exemple l’équation suivante :

8x² + 10x + 2

1
Multipliez le coefficient a par le coefficient c. Comme pour la méthode de décomposition, cela va nous aider à identifier les candidats potentiels pour le coefficient b. Dans notre exemple, a est égal à 8 and c vaut 2.

8 * 2 = 16.
2
Trouvez les deux nombres dont le produit est le nombre trouvé juste précédemment (16) et dont la somme donne le coefficient "b". Cette étape est identique à celle de la méthode de décomposition – c’est-à-dire que nous testons et rejetons les candidats pour les constantes. Le produit des coefficients a et c est égal à 16, et le coefficient c est égal à 10 :

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10.
3
Prenez ces deux nombres et remplacez-les dans la formule « triple jeu ». Prenez les deux nombres de l’étape précédente – appelons-les h et k – et introduisons-les dans l’expression suivante :

((ax + h) (ax + k)) / a

Nous obtenons alors :

((8x + 8) (8x + 2)) / 8.
4
Trouvez laquelle des expressions entre parenthèses au numérateur est divisible par le coefficient a. Dans cet exemple, nous testons si (8x + 8) ou (8x + 2) peuvent être divisés par 8. (8x + 8) est divisible par 8, alors nous allons diviser cette expression par a et laisser l’autre expression telle quelle.

(8x + 8) = 8(x + 1)
L’expression que nous gardons ici est celle qui reste après division par le coefficient a :(x + 1).
5
Trouvez – s’il existe – un plus grand facteur commun dans les deux parenthèses. Dans notre exemple, la seconde expression possède un plus grand facteur commun de 2, puisque 8x + 2 = 2(4x + 1). Combinez cette réponse avec l’expression que vous avez trouvée dans l’étape précédente. Vous avez ainsi trouvé les deux facteurs de votre polynôme.

2(x + 1)(4x + 1).

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Méthode 4

Méthode 4 sur 6:
Différence de deux carrés

Certains coefficients des polynômes peuvent être identifiés comme des « carrés », c’est-à-dire comme les produits de la multiplication de deux nombres. En identifiant ces carrés, vous pourrez factoriser certains polynômes beaucoup plus rapidement. Prenons par exemple l’équation :

27x² - 12 = 0

1
Commencez par factoriser le tout par un plus grand facteur commun si c’est possible. Dans notre exemple, nous voyons que 27 et 12 dont tous deux divisibles par 3, alors nous pouvons « éclater » l’expression initiale de la façon suivante :

27x² - 12 = 3(9x² - 4).
2
Identifiez si les coefficients de votre équation sont des nombres au carrés. Pour utiliser cette méthode, vous devriez être capable de trouver des racines carrées pour vos coefficients (notez que nous ne tenons pas compte des signes négatifs – dans la mesure où nous avons affaire à des carrés, ils peuvent être le produit de deux nombres positifs ou négatifs)

9x² = 3x * 3x and 4 = 2 * 2.
3
En utilisant les racines carrées que vous avez trouvées, écrivez vos facteurs. Prenez les valeurs de a et de c trouvées précédemment – a = 9 et c = 4 – avant de trouver leur racine carrée – √a = 3 et √c = 2. Ce seront les coefficients de nos expressions factorisées :

27x² - 12 = 3(9x² - 4) = 3(3x + 2)(3x - 2)

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Méthode 5

Méthode 5 sur 6:
Utiliser la formule quadratique

Si toutes les méthodes précédentes ont échoué et que vous ne parvenez pas à trouver les facteurs corrects pour votre équation, servez-vous alors de la formule quadratique. Prenez l’exemple suivant :

x² + 4x + 1 = 0

1
Prenez les valeurs des coefficients "a", "b" et "c" et remplacez-les dans la formule quadratique suivante :

x = -b ± √(b² - 4ac)
---------------------
2a
Nous obtenons alors l’expression :

x = -4 ± √(4² - 4•1•1) / 2 .
2
Résolvez l’équation pour trouver x. Comme vous pouvez le voir ci-dessus, vous devriez obtenir deux valeurs de x :

x = -2 + √(3) or x = -2 - √(3).
3
Utilisez la valeur de x pour trouver les facteurs. Introduisez les valeurs de x obtenues précédemment comme constantes des deux expressions polynomiales. Celles-ci constitueront vos facteurs. Appelons h et k les valeurs de x, et écrivons les deux formes factorisées :

(x - h)(x - k)
Dans ce cas, le résultat final est :

(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3)) = (x + 2 - √(3))(x + 2 + √(3)).

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Méthode 6

Méthode 6 sur 6:
En utilisant une calculatrice

Si vous êtes autorisé(e) à utiliser une calculatrice graphique, sachez que cela vous facilitera grandement la tâche, en particulier lors des examens. Ces instructions ne sont valables que pour les calculatrices graphiques de la marque Texas Instrument. Prenons par exemple l’équation suivante :

y = x² − x − 2

1
Entrez votre équation dans la calculatrice. Vous devrez utiliser le « résolveur d'équation », c’est-à-dire l'écran [Y = ].
2
Faites une représentation graphique de votre équation sur la calculatrice. Après avoir entré l’équation, appuyez sur [GRAPH] – vous devriez alors voir la représentation graphique de la courbe apparaître (plus précisément, vous obtiendrez un « arc » car vous travaillez sur des polynômes).
3
Trouvez les points d'intersection de l’arc avec l'axe des abscisses (x). Puisque les équations polynomiales sont traditionnellement écrites sous la forme : ax² + bx + c = 0, il s’agit des deux valeurs de x pour lesquelles l’expression est égale à zéro :

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2.
- Si vous ne pouvez pas lire les valeurs des endroits où votre courbe croise l’axe des x, appuyez sur [2nd] puis sur [TRACE]. Appuyez sur [2] ou bien sélectionnez « zero ». Déplacez le curseur à gauche d'une des intersections et pressez sur [ENTER]. Puis déplacez le curseur à droite de cette intersection et pressez à nouveau sur [ENTER]. Ensuite, rapprochez le curseur le plus près possible de l'intersection et appuyez de nouveau sur [ENTER]. La calculatrice se chargera de trouver la valeur de x. Faites la même chose ensuite pour l'autre intersection.
4
Enfin, introduisez les valeurs de x obtenues au cours de l’étape précédente dans une expression à deux facteurs. Si nous appelons h et k nos deux valeurs de x, nous utiliserons alors l’expression suivante :

(x - h)(x - k) = 0
Et donc, nous obtiendrons les deux facteurs suivants :

(x - (-1))(x - 2) = (x + 1)(x - 2).

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Conseils

Si vous possédez une TI-84 (graphique), il existe un programme qui s'appelle SOLVER et qui est capable de résoudre les équations du second degré. Ce même programme peut aussi résoudre des équations d'un degré plus grand ou plus petit.
Si un terme n'existe pas, alors son coefficient vaut 0. Il sera utile de réécrire l'équation si cela se produit. Exemple : x² + 6 = x² + 0x + 6.
Si vous avez factorisé votre équation en vous servant de votre équation du second degré elle-même et que vous avez obtenu une réponse comprenant une racine carrée, vous pouvez transformer votre valeur de x en fraction pour vérifier votre réponse.
Si un terme n'a pas de coefficient écrit devant lui, c'est que le coefficient 1 est assigné à ce terme. Exemple : x² = 1x².
Avec de l'entrainement vous serez capable d’effectuer de tête la méthode par essais et erreurs. En attendant, assurez-vous de toujours l'écrire sur un bout de papier pour ne pas vous tromper.

Avertissements

Si vous êtes en train d'apprendre à résoudre ces équations en classe, faites attention à ce que votre professeur vous conseille et n'appliquez pas juste la méthode que vous préférez. Il peut arriver qu'un professeur demande une méthode particulière le jour du contrôle ou bien que les calculatrices soient interdites.