Comment faire la somme d'une suite arithmétique

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Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même. Pour faire la somme des termes d’une suite, il y a la méthode de base qui consiste à additionner chacun des termes, sauf que si la série contient un grand nombre de termes, la tâche devient vite fastidieuse. Il existe une autre méthode qui consiste à trouver la moyenne de la somme du premier et du dernier terme, puis à la multiplier par le nombre de termes de la suite.

Partie 1

Partie 1 sur 3:
Analyser une suite arithmétique

1
Vérifiez que vous avez bien affaire à une suite arithmétique. Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est toujours la même : c’est ce qu’on appelle la « raison ^{[1]
X
Source de recherche} ». La méthode qui suit ne marche que si la suite est arithmétique.
- Pour savoir si votre suite est arithmétique, calculez la différence entre deux termes consécutifs du début et la différence entre deux termes consécutifs de la fin : la différence doit toujours être la même.
- Ainsi, la suite (10, 15, 20, 25, 30) est bien une suite arithmétique, puisque la différence entre chaque terme consécutif est toujours le même, à savoir 5.
2
Déterminez le nombre de termes de votre suite. Chacun des nombres de la suite est appelé « terme ». Si votre suite est courte, il vous suffira de compter directement les termes. Si elle est plus longue et si vous connaissez le premier terme ( $u_{1}$ $u_{{1}}$ ), le dernier ( $u_{n}$ $u_{{n}}$ ) et la raison ( $r$ $r$ ), utilisez la formule : $n={\frac {u_{n}-u_{1}}{r}}+1$ $n={\frac {u_{{n}}-u_{{1}}}{r}}+1$ , $n$ $n$ étant le nombre de termes de la suite.
- Ainsi, si vous avez à étudier la suite (10, 15, 20, 25, 30), $n=5$ , puisqu’il n’y a que cinq termes, faciles à dénombrer d’un simple coup d’œil.
3
Repérez le premier et le dernier terme de la suite. Pour calculer la somme des termes d’une suite, vous avez besoin de connaitre ces deux termes extrêmes. Le premier terme est souvent 0 ou 1, mais ce n’est pas systématique. Par convention, on appelle $u_{1}$ $u_{{1}}$ le premier terme d’une suite et $u_{n}$ $u_{{n}}$ , le dernier.
- Ainsi, dans la suite (10, 15, 20, 25, 30), le premier terme est $u_{1}=10$ et le dernier, $u_{n}=30$ .
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Partie 2

Partie 2 sur 3:
Calculer la somme des termes d’une suite arithmétique

1
Inscrivez la formule de la somme des termes d’une suite arithmétique. Elle est la suivante : $S_{n}=n({\frac {u_{1}+u_{n}}{2}})$ $S_{{n}}=n({\frac {u_{{1}}+u_{{n}}}{2}})$ , formule dans laquelle $S_{n}$ $S_{{n}}$ est la somme des termes de la suite ^{[2]
X
Source de recherche}.
- En la détaillant, vous vous apercevez que cette somme est égale à la moyenne du premier et du dernier terme, multipliée par le nombre de termes de la suite ^{[3]
  X
  Source de recherche}.
2
Faites l’application numérique. Remplacez $n$ $n$ , $u_{1}$ $u_{{1}}$ et $u_{n}$ $u_{{n}}$ par leurs vraies valeurs. Ne vous trompez pas dans ces valeurs !
- Ainsi, si vous avez une suite de 5 termes, dont le premier est 10 et le dernier, 30, la formule théorique devient la suivante : $S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})$ .
3
Calculez la moyenne de ces deux termes. Rien de plus simple : vous les additionnez et vous divisez le tout par 2.
- Reprenons notre exemple. On a :
  $S_{n}=5({\frac {40}{2}})$ ;
  $S_{n}=5(20)$ .
4
Multipliez cette moyenne par le nombre de termes de la suite. Vous obtiendrez ainsi la somme des termes de la suite.
- Reprenons notre exemple. On a :
  $S_{n}=5(20)$ ;
  $S_{n}=100$ .
  En conséquence, la somme des termes de la suite (10, 15, 20, 25, 30) est 100.
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Partie 3

Partie 3 sur 3:
Résoudre des exercices de suites arithmétiques

1
Calculez la somme de tous les nombres entre 1 et 500. Cette suite, de raison 1, ne comporte que des nombres entiers.
- Déterminez le nombre de termes ( $n$ ) de cette suite. Comme la raison est 1, le nombre de termes est : $n=500$ .
- Repérez le premier terme ( $u_{1}$ ) et le dernier ( $u_{n}$ ). Ici, c’est facile, car la suite débute en 1 et s’achève en 500, donc : $u_{1}=1$ et $u_{n}=500$ .
- Faites la moyenne de $u_{1}$ et de $u_{n}$ : ${\frac {1+500}{2}}={\frac {501}{2}}=250,5$ .
- Multipliez cette moyenne par $n$ : $250,5\times 500=125\ 250$ .
2
Faites la somme de tous les termes de la suite suivante. La suite à étudier est un peu atypique, puisqu’elle commence avec 3 et s’achève avec 24 et la raison est 7.
- Déterminez le nombre de termes ( $n$ ) de la suite. Compte tenu des renseignements précédents, la suite est la suivante : 3, 10, 17, 24. Vérifiez que la raison (différence entre deux termes consécutifs) est bien 7 ^{[4]
  X
  Source de recherche}. En conséquence, $n=4$ .
- Repérez le premier terme ( $u_{1}$ ) et le dernier ( $u_{n}$ ). La suite débute avec 3, donc $u_{1}=3$ et s’achève avec 24 : $u_{n}=24$ .
- Faites la moyenne de $u_{1}$ et de $u_{n}$ : ${\frac {3+24}{2}}={\frac {27}{2}}=13,5$ .
- Multipliez cette moyenne par $n$ : $13,5\times 4=54$ .
3
Résolvez ce nouvel exercice. Chaque semaine, Marie met de côté 5 euros de plus que la semaine précédente pour se faire un grand plaisir en fin d’année. Elle commence la première semaine de janvier. Quelle somme aura-t-elle épargnée au 31 décembre ?
- Déterminez le nombre de termes ( $n$ ) de la suite. Comme Marie économise chaque semaine de l’année, $n=52$ (il y a 52 semaines dans une année).
- Repérez le premier terme ( $u_{1}$ ) et le dernier ( $u_{n}$ ) de la suite. La première épargne est de 5 euros, donc $u_{1}=5$ . Lors de la dernière semaine, elle mettra de côté 260 € ( $5\times 52=260$ ). Dans ce cas, $u_{n}=260$ .
- Faites la moyenne de $u_{1}$ et de $u_{n}$ : ${\frac {5+260}{2}}={\frac {265}{2}}=132,5$ .
- Multipliez cette moyenne par $n$ : $135,5\times 52=6\ 890$ . En fin d’année, elle aura mis de côté 6 890 €, de quoi se faire très plaisir !
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