Comment multiplier des racines carrées

Les racines carrées se multiplient facilement entre elles, c'est aussi simple que de multiplier des nombres entiers. Il arrive que dans certains exercices ou problèmes vous rencontriez des racines carrées affectées d'un coefficient, celui-ci étant la valeur placée à gauche du signe de la racine. La multiplication de ces racines est un peu plus longue, mais le principe reste le même. Le plus difficile en somme se situe à la fin de l'opération quand il s'agit de simplifier l'écriture de la racine, mais même cette partie est simple si vous savez reconnaitre les carrés parfaits.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Multiplier des racines carrées n'ayant pas de coefficients

1
Multipliez les radicandes. Le radicande est la valeur qui se trouve sous le trait vertical du signe de la racine ^{[1]
X
Source de recherche}. Pour multiplier des radicandes, vous inscrivez un signe radical sous lequel vous mettez le produit des radicandes ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, si vous avez à calculer ${\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}$ , vous devez d'abord faire $15\times 5=75$ , puis vous placez le résultat sous une racine carrée : ${\sqrt {15}}\times {\sqrt {5}}={\sqrt {75}}$ .
2
Si possible, décomposez le radicande est un produit de facteurs. Voyez si parmi les facteurs du radicande, il y a un carré parfait ^{[3]
X
Source de recherche}. Si vous ne pouvez pas décomposer et obtenir un carré parfait comme facteur, alors vous ne pouvez pas simplifier l'écriture de la racine : vous avez votre résultat final. La racine est en quelque sorte « irréductible ».
- Un carré parfait s'obtient en multipliant un entier (positif ou négatif) par lui-même ^{[4]
  X
  Source de recherche}. Ainsi, 25 est l'exemple même d'un carré parfait, car il est le carré de 5 : $5\times 5=25$ .
- Ainsi, la racine ${\sqrt {75}}$ peut être décomposée en plusieurs facteurs dont un carré parfait, à savoir 25 :
  ${\sqrt {75}}$
  = ${\sqrt {25\times 3}}$
3
Sortez le carré parfait de la racine. La racine d'un produit est égale au produit des racines. Sortez le carré parfait de la racine et calculez la racine du carré parfait. Votre résultat est une racine simplifiée.
- Ainsi, ${\sqrt {75}}$ se décompose ainsi : ${\sqrt {25\times 3}}$ . Vous sortez le 25 sous la racine et vous prenez sa racine, soit 5 :
  ${\sqrt {75}}$
  = ${\sqrt {25\times 3}}$ = ${\sqrt {25}}\times {\sqrt {3}}$
  = $5{\sqrt {3}}$
4
Élevez au carré une racine carrée. Dans certains exercices, vous serez peut-être amené à multiplier une racine carrée par elle-même. Prendre la racine d'un nombre et élever au carré une racine sont deux opérations opposées : elles s'annulent quand elles sont combinées. L'élévation d'une racine carrée au carré donne comme résultat le radicande de départ ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, ${\sqrt {25}}\times {\sqrt {25}}=25$ . En effet, on aurait pu faire l'opération suivante : ${\sqrt {25}}\times {\sqrt {25}}=5\times 5=25$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Multiplier des racines carrées ayant des coefficients

1
Multipliez d'abord les coefficients. Le coefficient d'une racine est la valeur qui se trouve à gauche du signe de la racine. Pour l'instant, vous laissez de côté les radicandes et les signes des coefficients : multipliez juste les deux coefficients. Le résultat sera placé à gauche du signe radical définitif.
- Mettez ensuite le signe, positif et négatif, de ce produit. Le produit de deux valeurs de même signe donne un résultat positif. Quand les deux signes sont opposés, le produit est négatif.
- Ainsi, si vous devez calculer $3{\sqrt {2}}\times 2{\sqrt {6}}$ , vous devez d'abord faire $3\times 2=6$ , ce qui vous donne finalement : $6({\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}})$ .
2
Multipliez les radicandes. Multipliez les deux valeurs sous le signe de la racine, c'est une multiplication toute simple. Mettez le résultat sous un nouveau signe radical.
- Ainsi, si vous devez multiplier $6({\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}})$ , vous devez faire le produit des deux radicandes, ce qui donne : $2\times 6=12$ , et vous mettez le tout sous un signe radical : ${\sqrt {2}}\times {\sqrt {6}}={\sqrt {12}}$ . Le résultat final est donc : $6{\sqrt {12}}$ .
3
Si possible, décomposez le radicande est un produit de facteurs. Voyez si parmi les facteurs du radicande, il y a un carré parfait ^{[6]
X
Source de recherche}. Si vous ne pouvez pas décomposer et obtenir un carré parfait comme facteur, alors vous ne pouvez pas simplifier l'écriture de la racine : vous avez votre résultat final.
- Un carré parfait s'obtient en multipliant un entier (positif ou négatif) par lui-même ^{[7]
  X
  Source de recherche}. Ainsi, 4 est un carré parfait, car $2\times 2=4$ .
- Si vous devez réduire la racine suivante : ${\sqrt {12}}$ , vous pouvez décomposer le radicande en sortant le carré parfait 4 :
  ${\sqrt {12}}$
  = ${\sqrt {4\times 3}}$
4
Multipliez la racine carrée du carré parfait et le coefficient. Laissez sous le signe radical le ou les facteurs non utilisés. Votre racine est désormais simplifiée au maximum.
- Ainsi, $6{\sqrt {12}}$ se décompose ainsi $6{\sqrt {4\times 3}}$ . vous sortez le 4 de la racine et devient ainsi 2. Multipliez ce 2 par le 6 déjà existant, ce qui donne :
  $6{\sqrt {12}}$
  = $6{\sqrt {4\times 3}}$
  = $6\times 2{\sqrt {3}}$
  = $12{\sqrt {3}}$
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Conseils

Pour simplifier l'écriture d'une racine, il est souhaitable de connaitre les principaux carrés parfaits (4, 9, 16…), vous irez plus vite.
Lors du produit des coefficients, il faut respecter la règle des signes de la multiplication pour obtenir le bon signe. Le produit d'un coefficient positif et d'un coefficient négatif donne un coefficient négatif. Le produit de deux coefficients positifs ou de deux coefficients négatifs donne un coefficient positif.
Comme les radicandes sont toujours positifs, vous n'avez pas à vous soucier du signe de leur produit : il sera forcément positif.