Comment placer des points dans un plan cartésien

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Placer des points dans un plan cartésien n'est pas très compliqué. Il faut bien comprendre ce qu'est un plan cartésien et comment on place des points dont les coordonnées se présentent sous la forme (x, y). Ce sont ces deux aspects que vous aborderez en lisant cet article. On fera aussi une petite incursion dans le monde des courbes qui ne sont jamais qu'une succession de points !

Partie 1

Partie 1 sur 3:
Explications générales sur le plan cartésien

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Un plan cartésien comprend deux axes. Pour placer un point dans un tel plan, il faut connaitre ses coordonnées x et y qu'on note (x, y). Voici quelques éléments de base :
- la première coordonnée est sur l'axe des abscisses ou axe des x (ce dernier est horizontal) ;
- la seconde coordonnée est sur l'axe des ordonnées ou axe vertical des y (ce dernier est vertical) ;
- les coordonnées positives sont en haut (pour les abscisses) et à droite (pour les ordonnées). Les coordonnées négatives sont respectivement en bas et à gauche.
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Passons aux quadrants. Un plan cartésien compte 4 quadrants (qu'on numérote avec des chiffres romains). Un point se situe forcément dans un quadrant. Les voici :
- le quadrant I (+, +) est au-dessus de l'axe des x et à droite de l'axe des y ;
- le quadrant IV (+, -) est au-dessous de l'axe des x et à droite de l'axe des y ;
- Ainsi (5,4) est dans le quadrant I, (-5,4) est dans le quadrant II, (-5, -4) est dans le quadrant III, (5, -4) est dans le quadrant IV.
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Partie 2

Partie 2 sur 3:
Apprendre à placer un point

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Commencez toujours au point (0, 0), dit point-origine. Partez de (0, 0), l'intersection des deux axes x et y, en plein milieu du plan ^{[1]
X
Source de recherche}.
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Déplacez-vous de x unités vers la droite ou vers la gauche. Soit le point P de coordonnées (5, -4). L'abscisse de x est 5, soit un chiffre positif. Déplacez-vous de 5 unités vers la droite. Si elle avait été négative, vous auriez dû vous déplacer de 5 unités vers la gauche.
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Déplacez-vous de y unités vers le haut ou vers le bas. On garde le même point P de coordonnées (5, -4). Démarrez de là où vous étiez, c'est-à-dire sur l'axe des x à 5 unités du point-origine. Comptez maintenant 4 unités, mais vers le bas, car vous avez -4. Si ç'avait été 4, vous vous seriez déplacé de 4 unités vers le haut.
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Faites un point. Là où vous êtes arrivé, 5 unités à droite et 4 en bas, marquez le point P. Ce dernier est dans le 4e quadrant. C'est terminé !

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Partie 3

Partie 3 sur 3:
Apprendre à tracer une courbe (niveau avancé)

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Passons aux courbes de fonctions. Il est rare qu'on ait un point seul à mettre, le plus souvent on a affaire à des fonctions ayant pour équation quelque chose comme y = ax + b ou y = ax². Dans ce cas, on ne vous donne pas de points, c'est à vous de les calculer en donnant une valeur à x et en calculant ce que vaut y. Vous aurez alors plein de points à mettre que vous relierez pour faire apparaitre la courbe (ou graphe) de la fonction. Nous allons aborder deux types de courbes : la droite (y = ax + b) et la parabole (y = ax²).
- Placez les points d'une droite. Soit l'équation : y = x + 4. Choisissez un nombre au hasard pour x, prenez 3 et calculez y. Cela nous donne : y = 3 + 4 = 7 - vous avez un premier point de coordonnées (3, 7).
- Placez les points issus d'une équation du second degré. Soit l'équation : y = x² + 2. Choisissez un nombre au hasard pour x, prenez 0 (facile, non ?) et calculez y. Cela nous donne : y = 0² + 2, soit y = 2 - vous avez un premier point de coordonnées (0, 2).
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Reliez les points. Selon l'équation, en reliant les points, on voit apparaitre des droites, des cercles, des paraboles. Si vous avez une équation linéaire, tracez avec une règle la droite reliant deux des points, les autres seront forcément alignés. Si vous avez une équation du second degré, reliez dans l'ordre les points à la main.
- À moins que vous n'ayez à placer qu'un seul point, il vous faudra au moins deux points pour tracer une courbe. Si c'est une droite, deux points suffisent.
- Un cercle requiert deux points si on a le centre, sinon trois (à moins que votre professeur vous ait donné le centre du cercle, prenez trois points).
- Une parabole requiert trois points, l'un étant soit le minimum soit le maximum, les deux autres points doivent être opposés.
- Une hyperbole requiert six points, trois sur chaque axe.
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Comprenez bien que si vous modifiez l'équation un tant soit peu, vous modifiez la courbe. Voici quelques exemples de modifications.
- Modifiez x et vous déplacez la courbe vers la gauche ou la droite.
- Ajoutez une constante et la courbe se déplace soit vers le haut soit vers le bas.
- Multipliez le coefficient de x ou de x² par -1 et voilà que vous obtenez respectivement une droite ou une parabole symétrique par rapport à l'axe des x.
- Multipliez le coefficient de x ou de x² par un chiffre supérieur à 1 et la pente de votre courbe augmentera ou diminuera.
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Pour être plus concret, on va prendre une équation que l'on va modifier pour voir comment évolue la courbe associée. Soit l'équation y = x² ; la courbe de cette équation est une parabole avec le minimum en (0,0). Voici maintenant les changements de la courbe quand on modifie l'équation.
- y = (x-2)² aura pour graphe la même parabole, sauf qu'elle est décalée de 2 unités vers la droite. Le minimum est alors au point (2,0).
- y = x² + 2 aura pour graphe la même parabole, sauf qu'elle est décalée de 2 unités vers le haut. Le minimum est alors au point (0,2).
- y = -x² (y est toujours négatif) a une courbe parabolique symétrique (par rapport à l'axe des x) à la parabole d'équation y = x². Le maximum est alors au point (0,0).
- y = 5x² aura pour graphe une parabole, plus effilée avec une pente plus forte.
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Conseils

Comment se souvenir dans quel sens aller ? Tentons une image : la construction d'une maison et d'une cave. Vous vous rendez à l'endroit où la maison va être construite - vous « marchez » sur l'axe des x, puis vous construisez vos murs - sur l'axe des y. Vous voulez construire une cave ? Pareil : vous « marchez » sur l'axe des x et là, vous creusez votre cave vers le bas - axe des y négatifs !
Petit moyen mnémotechnique pour se rappeler où se trouve l'axe des y : tracez mentalement un petit trait oblique sur chacun des axes. Si vous visualisez un Y, c'est que c'est l'axe des… Y.
Les axes sont deux droites graduées, l'une horizontale, l'autre verticale. Toutes deux acceptent des valeurs positives et négatives et toutes deux se croisent à angle droit au point (0,0). Tout point est placé par rapport à ce « point-origine ».