Comment résoudre un carré magique

Informations concernant l'auteur.e

Les carrés magiques sont devenus populaires, avec l'avènement des mathématiques basées sur les jeux tels que Sudoku. Un carré magique est une disposition de nombres dans un carré de telle manière que la somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale donne une constante appelée « constante magique ».

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Résoudre un carré magique d'ordre impair

1
Calculez la constante magique ^{[1]
X
Source de recherche}. Vous trouverez cette constante en utilisant une simple formule mathématique dans laquelle $n$ $n$ (ordre) est le nombre de rangées et de colonnes du carré magique. Alors, par exemple, dans un carré magique de 3 x 3, n = 3. La constante magique (CM) est la suivante :
${\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$ ${\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$ . Donc, voici la solution de l'exemple du carré 3 x 3.
- $CM={\frac {3(3^{2}+1)}{2}}$
- $CM={\frac {3(9+1)}{2}}$
- $CM={\frac {3(10)}{2}}$
- $CM={\frac {30}{2}}=15$
- La constante magique pour un carré 3 x 3 est 15.
- La somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale doit donner cette constante.
2
Placez le nombre 1 dans la case centrale de la rangée supérieure. Il faut toujours commencer de là, si vous avez affaire à un carré magique de côté impair, peu importe la valeur du nombre. Donc si vous avez un carré 3 x 3, placez le nombre 1 dans la deuxième case. Dans un carré 15 x 15, placez le nombre 1 dans la huitième case.
3
Remplissez les autres cases. Suivez le modèle « un vers le haut et un vers la droite ». Vous remplirez les cases dans la séquence (1, 2, 3, 4, etc.) en avançant vers le haut sur la rangée et en vous déplaçant d'une colonne vers la droite. Vous remarquerez immédiatement que pour pouvoir placer le nombre 2, vous devez vous déplacer vers le haut sur la rangée, hors du carré magique. Pas de problème, bien qu'il soit possible de travailler en suivant le modèle « un en haut et un à droite », il y a trois exceptions qui forment aussi un modèle avec des règles prévisibles.
- Si vous vous retrouvez au-dessus de la rangée supérieure du carré magique, restez dans la colonne de cette case, mais placez le nombre dans la rangée inférieure de cette colonne.
- Si vous vous retrouvez à droite de la colonne de droite du carré magique, restez dans la rangée de cette case, mais placez le nombre dans la colonne extrême gauche de cette rangée.
- Si vous vous retrouvez dans une case déjà remplie, retournez à la dernière case que vous avez remplie et placez le nombre suivant juste en dessous.
Publicité

Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Résoudre un carré magique d'ordre pair (pour un carré 6 x 6)

1
Comprenez ce que c'est qu'un carré magique. Nous tous savons qu'un nombre pair est un nombre divisible par 2, mais en ce qui concerne les carrés magiques, il existe différentes méthodes pour résoudre les carrés d'ordre pair et doublement pair.
- Le carré magique d'ordre pair comporte un nombre de cases par côté, nombre qui est divisible par 2, mais pas par 4 ^{[2]
  X
  Source de recherche}.
- Le plus petit carré magique d'ordre pair est de 6 x 6, car il est impossible d'avoir un carré magique de 2 x 2.
2
Calculez la constante magique. Utilisez la même méthode comme pour les carrés magiques d'ordre impair. La constante magique (CM) est égale à : ${\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$ ${\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$ , $n$ $n$ étant l'ordre du carré, soit son nombre de lignes et de colonnes. Donc, voici la solution de l'exemple d'un carré 6 x 6.
- $CM={\frac {6(6^{2}+1)}{2}}$
- $CM={\frac {6(36+1)}{2}}$
- $CM={\frac {6(37)}{2}}$
- $CM={\frac {222}{2}}=111$
- La constante magique pour un carré 6 x 6 est 111.
- La somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale doit donner cette constante.
3
Divisez le carré magique en 4 quadrants de même taille : 3 x 3 cases. Libellez-les A (quadrant supérieur gauche), C (quadrant supérieur droit), D (quadrant inférieur gauche) et B (quadrant inférieur droit).
- Pour un carré de 6 x 6, chaque quadrant va donc être de 3 x 3.
4
Assignez à chaque quadrant un intervalle de nombres. Le quadrant A obtient un quart des nombres, le quadrant B le second quart, le quadrant C le troisième quart et le quadrant D le dernier quart de l'intervalle total de nombres pour le carré magique de 6 x 6.
- Dans l'exemple d'un carré 6 x 6, le quadrant A est résolu avec les nombres allant de 1 à 9, le quadrant B avec les nombres allant de 10 à 18, le quadrant C avec des nombres allant de 19 à 27 et le quadrant D avec des nombres allant de 28 à 36.
5
Résolvez chaque quadrant. Pour cela, utilisez la méthode pour les carrés magiques d'ordre impair. Le quadrant A sera simple à remplir puisqu'il commence par le numéro 1, comme les carrés magiques le font usuellement. Les quadrants B-D, cependant, commenceront avec des nombres étranges : 10, 19 et 28 respectivement, dans notre exemple.
- Considérez le premier nombre de chaque quadrant comme si c'était le numéro 1. Placez-le dans la case centrale de la rangée supérieure de chaque quadrant.
- Considérez chaque quadrant comme son propre carré magique. Même si une case est disponible dans un quadrant adjacent, ignorez-la et passez à la règle « d'exception » qui correspond à votre situation.
6
Mettez A et D en évidence. Si vous essayez de remplir les colonnes, lignes et diagonales tout de suite, vous vous rendrez compte qu'il ne suffit pas d'utiliser la constante magique. Vous devez déplacer certaines cases entre le haut à gauche et le bas à gauche dans les quadrants pour terminer le carré. Nommons ces zones de modifications « évidence A » et « évidence D ».
- Prenez un crayon à papier et marquez toutes les cases de la ligne supérieure jusqu'à arriver à la case centrale du quadrant A. Si vous avez un carré de 6 x 6, vous ne devez donc marquer que la 1re case (avec un 8), mais si vous avez un carré de 10 x 10, vous marquerez la 1re et 2e case (les numéros 17 et 24 respectivement).
- Définissez un carré avec les cases que vous venez de marquer sur la ligne supérieure. Si vous n'avez marqué qu'une case, votre carré est simplement cette case, et vous allez la nommer évidence A1.
- Pour un carré magique de 10 x 10 cases, l'évidence A1 sera composée de la 1re et 2e case dans la 1re et 2e ligne, ce qui créera un carré de 2 x 2 en haut à gauche du quadrant.
- Dans la ligne située sous l'évidence A1, sautez le nombre de la 1re colonne et marquez autant de cases que vous avez marquées dans l'évidence A1. Nommez cette zone A2.
- Créez la zone A3 de la même manière que la zone A1, mais en bas à gauche du quadrant.
- Les évidences A1, A2 et A3 forment ce que nous appelons « évidence A ».
- Recommencez dans le quadrant D en créant des zones d'évidences identiques et nommez-la zone « évidence D ».
7
Intervertissez les évidences A et D. « Soulevez » et remplacez les cases entre le quadrant A et le D sans en changer l'ordre. Une fois que vous avez fait cela, toutes les colonnes, lignes et diagonales de votre carré magique devraient s'additionner à la constante magique que vous avez calculée.
8
Faites un nouveau déplacement. Faites une nouvelle inversion pour les carrés magiques de plus de 6 x 6 cases. En plus d'invertir les quadrants A et D comme mentionné ci-dessus, vous devez également invertir les quadrants C et B. Mettez en évidence les colonnes de la droite du carré en allant vers celui de la gauche moins le nombre de colonnes en évidences pour A1. Intervertissez les valeurs du quadrant C avec celles du quadrant B pour ces colonnes en utilisant la même méthode (une par une).
- Voici deux images de carrés magiques de 14 x 14 avant et après avoir effectué les changements. Le quadrant A est mis en évidence en bleu, le quadrant D est en vert. Le quadrant C est mis en évidence en jaune et le B en orange.
  - Carré magique de 14 x 14 avant d'intervertir (6^e, 7^e et 8^e étapes).
  - Carré magique de 14 x 14 après intervertir (6^e, 7^e et 8^e étapes).
Publicité

Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Résoudre un carré magique doublement pair

1
Comprenez ce que c'est qu'un carré magique doublement pair. Un carré d'ordre pair a un nombre de cases par côté divisible par 2. Un carré doublement pair a un nombre de cases par côté divisible par le double de 2 et donc 4 ^{[3]
X
Source de recherche}.
- Le plus petit carré doublement pair possible à créer est le carré 4 x 4.
2
Calculez la constante magique. Utilisez la même méthode comme vous le feriez pour les carrés magiques d'ordre pair ou impair. La constante magique (CM) est égale à : ${\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$ ${\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$ , $n$ $n$ étant l'ordre du carré, soit son nombre de lignes et de colonnes. Donc, voici la solution de l'exemple d'un carré 4 x 4.
- $CM={\frac {4(4^{2}+1)}{2}}$
- $CM={\frac {4(16+1)}{2}}$
- $CM={\frac {4(17)}{2}}$
- $CM={\frac {68}{2}}=34$
- La constante magique d'un carré 4 x 4 est 34.
- La somme des nombres dans chaque rangée, colonne et diagonale doit donner cette valeur.
3
Créez des zones de surbrillance A-D. Dans chaque coin du carré magique, marquez un petit carré avec des côtés d'une longueur de n/4, où n = la longueur d'un côté du carré magique entier ^{[4]
X
Source de recherche}. Libellez-les Surbrillance A, B, C et D dans le sens contraire de l'aiguille d'une montre.
- Dans un carré 4 x 4, vous marquerez simplement les quatre cases des coins.
- Dans un carré 8 x 8, chaque zone de surbrillance sera un carré 2 x 2 dans les coins.
- Dans un carré 12 x 12, chaque zone de surbrillance serait un carré 3 x 3 dans les coins et ainsi de suite.
4
Créez la zone de surbrillance centrale. Marquez toutes les cases au centre du carré magique dans une zone carrée de longueur n/2, où n = la longueur d'un côté du carré magique entier. La zone de surbrillance centrale ne doit en aucun cas chevaucher les zones A-D, mais peut toucher chacune d'elles dans les coins.
- Dans un carré 4 x 4, la zone de surbrillance centrale serait un carré 2 x 2 au centre.
- Dans un carré 8 x 8, la zone de surbrillance centrale serait un carré 4 x 4 au centre et ainsi de suite.
5
Remplissez uniquement les zones en surbrillance. Commencez à remplir le carré de la gauche vers la droite, mais écrivez uniquement le nombre si la case se trouve dans une zone en surbrillance. Donc, dans le carré 4 x 4, vous remplirez les cases de la manière suivante :
- 1 dans la case supérieure gauche et 4 dans la case supérieure droite,
- 6 et 7 dans les cases centrales de la deuxième rangée,
- 10 et 11 dans les cases centrales de la troisième rangée,
- 13 dans la case inférieure gauche et 16 dans la case supérieure droite.
6
Remplissez le reste du carré magique en faisant un décompte. C'est l'inverse de l'étape précédente. Commencez de nouveau par la case supérieure gauche, mais cette fois, sautez toutes les cases se trouvant dans la zone en surbrillance et remplissez les cases qui ne sont pas mises en surbrillance, en comptant en arrière. Commencez avec le plus grand nombre dans votre intervalle de nombres. Donc, dans un carré magique 4 x 4, vous remplirez les cases de la manière suivante :
- 15 et 14 dans les cases centrales de la première rangée,
- 12 dans la case extrême gauche et 9 dans la case extrême droite dans la deuxième rangée,
- 8 dans la case extrême gauche et 5 dans la case extrême droite de la troisième rangée,
- 3 et 2 dans les cases centrales de la quatrième rangée,
- à ce niveau, la somme des nombres dans chaque colonne, rangée et diagonale serait égale à la constante que vous avez calculée,
- voici une image de cette méthode appliquée sur un carré magique de 8 x 8.
Publicité