Comment savoir si une fonction est paire ou impaire

Coécrit par l'équipe de wikiHow

En mathématiques, lors d'une étude de fonction, il vous arrivera peut-être d'être obligé de déterminer si cette dernière est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Dans les deux premiers cas, ces fonctions ont un graphe symétrique par rapport à un axe ou à un point. La détermination de la parité ou de l'imparité peut se faire par calcul ou visuellement. L'étude d'un tel caractère permet de réduire l'étude à une partie seulement du domaine de définition.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Déterminer la parité d'une fonction par le calcul

1
Sachez ce qu'est l'opposée d'une valeur. L'opposée d'une valeur numérique ou d'une variable s'écrit avec un signe négatif. C'est comme cela que l'opposée de $x$ $x$ est $-x$ $-x$ . Dans ce dernier cas, si $x$ $x$ est affecté d'une valeur négative (-3, par exemple), son opposée est positive (-(-3), soit 3). Pour faire court, l'opposée a le signe… opposé. Voici quelques exemples littéraux ^{[1]
X
Source de recherche} :
- l'opposée de $x$ is $-x$ ,
- l'opposée de $x_{1}$ is $-x_{1}$ ,
- l'opposée de $-x$ is $x$ .
2
Calculez les images d'une valeur et de son opposée. Pour savoir si une fonction est paire ou impaire… ou rien, vous devez faire les calculs des images de certaines valeurs. Prenons l'exemple de trois fonctions différentes ^{[2]
X
Source de recherche} :
- si $f(x)=4x^{2}-7$ , alors $f(-x)=4(-x)^{2}-7$ ,
- si $g(x)=5x^{5}-2x$ , alors $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$ ,
- si $h(x)=7x^{2}+5x+3$ , alors $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ .
3
Simplifiez les équations des images opposées. Il n'est pas question ici de résoudre l'équation pour en trouver les racines, le but est juste de comparer $f(x)$ $f(x)$ et $f(-x)$ $f(-x)$ . Comme il y a ici des puissances, il faut se souvenir qu'une valeur négative élevée à une puissance paire est positive, tandis qu'une valeur négative élevée à une puissance impaire est négative ^{[3]
X
Source de recherche}.
- $f(-x)=4(-x)^{2}-7$ $f(-x)=4(-x)^{2}-7$
  - $f(-x)=4x^{2}-7$
- $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$ $g(-x)=5(-x)^{5}-2(-x)$
  - $g(-x)=5(-x^{5})+2x$
  - $g(-x)=-5x^{5}+2x$
- $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$ $h(-x)=7(-x)^{2}+5(-x)+3$
  - $h(-x)=7x^{2}-5x+3$
4
Comparez les équations des images des valeurs opposées. Pour faire simple, vous devez comparer les équations simplifiées de $f(x)$ $f(x)$ et de $f(-x)$ $f(-x)$ . Comparez les termes de même puissance, ainsi que leurs signes respectifs ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Si les deux équations sont identiques, c'est-à-dire que $f(x)=f(-x)$ $f(x)=f(-x)$ , la fonction est paire. Prenons le premier exemple :
  - nous avons établi que $f(x)=4x^{2}-7$ et que $f(-x)=4x^{2}-7$ ,
  - en ce cas, $f(x)=f(-x)$ , la fonction $f(x)$ est paire.
- Si les termes sont identiques, mais que leurs signes sont opposés, soit $f(x)=-f(x)$ $f(x)=-f(x)$ , alors la fonction est impaire. Prenons le deuxième exemple :
  - nous avons établi que $g(x)=5x^{5}-2x$ , alors que $g(-x)=-5x^{5}+2x$ ,
  - s'il vous prenait l'idée de multiplier chacun des termes de l'équation de départ par -1, vous obtiendriez l'équation de l'image de l'opposée.
- Si les deux équations ne sont ni identiques ni opposées, alors la fonction de départ n'est ni paire ni impaire, elle n'est rien ! Prenons le troisième exemple :
  - $h(x)=7x^{2}+5x+3$ alors que $h(-x)=7x^{2}-5x+3$ . Certes, le premier terme est identique, mais ce n'est pas le cas du deuxième terme. Étant donné que $h(x)\neq h(-x)$ et que $h(x)\neq -h(x)$ , la fonction n'est donc ni paire ni impaire.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Déterminer visuellement la parité d'une fonction

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Tracez le graphe de la fonction. Si vous utilisez une calculatrice scientifique, entrez la fonction et faites apparaitre le graphe. Sur papier, sélectionnez quelques valeurs pour $x$ $x$ , puis calculez, à l'aide de la fonction, leurs images, c'est-à-dire $y$ $y$ . Placez ces points et reliez-les entre eux pour tracer la courbe ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Au moment de placer les points, faites très attention aux signes. Admettons que vous ayez à tracer le graphe de la fonction $f(x)=2x^{2}+1$ $f(x)=2x^{2}+1$ . Prenez quatre points qui correspondent à $f(1)$ $f(1)$ , $f(2)$ $f(2)$ , $f(-1)$ $f(-1)$ et $f(-2)$ $f(-2)$ , ce qui donne :
  - $f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3$ , le premier point a pour coordonnées $(1,3)$ ,
  - $f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ , le deuxième point a comme coordonnées $(2,9)$ ,
  - $f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3$ , le troisième point a pour coordonnées $(-1,3)$ ,
  - $f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9$ , le quatrième point a comme coordonnées $(-2,9)$ .
2
Vérifiez la symétrie de la fonction par rapport à l'axe des ordonnées. La symétrie dans un repère est facilement visible. Ainsi, certaines fonctions ont un tracé double, mais inversé par rapport à un axe, par exemple. C'est comme cela que, si le graphe d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe des « y »), que ce soit au-dessus, en dessous de l'axe des abscisses, alors vous pourrez affirmer que la fonction est paire ^{[6]
X
Source de recherche}.
- Pour vérifier plus précisément la parité, prenez un point quelconque du graphe, (x,y) par exemple, puis vérifiez que le point (-x,y) est bien sur le graphe. En ce cas, la fonction est paire. Faites le test sur plusieurs points. Précédemment, avec la fonction $f(x)=2x^{2}+1$ $f(x)=2x^{2}+1$ , vous avez trouvé quatre points que l'on va classer ainsi :
  - (1,3) et (-1,3)
  - (2,9) et (-2,9).
- Les valeurs $x=1$ et $x=-1$ ont toutes les deux la même image ( $y=3$ ) et il en va de même de $x=2$ et $x=-2$ ( $y=9$ ) : la fonction est potentiellement paire, mais deux points ne suffisent pas pour établir cette propriété.
3
Repérez une éventuelle symétrie par rapport au point-origine. Ce dernier, aussi appelé « origine du repère » est le point de coordonnées (0,0), à l'intersection des deux axes. Une telle symétrie existe si, prenant un point sur la courbe de coordonnées (x,y), le point de coordonnées (-x,-y) est aussi sur la courbe. Toute fonction symétrique par rapport au point-origine est impaire ^{[7]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, si vous calculez les images de $x$ $x$ et de $-x$ $-x$ , vous obtiendrez des valeurs opposées. Prenez comme exemple la fonction $f(x)=x^{3}+x$ $f(x)=x^{3}+x$ . Vous prendrez deux couples de valeurs opposées (1 et -1, puis 2 et -2), cela donne :
  - $f(1)=1^{3}+1=1+1=2$ , le point a pour coordonnées (1,2),
  - $f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2$ , le point a pour coordonnées (-1,-2),
  - $f(2)=2^{3}+2=8+2=10$ , le point a pour coordonnées (2,10),
  - $f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10$ , le point a pour coordonnées (-2,-10).
- Au vu de ces calculs, vous pouvez établir que : $f(x)=-f(-x)$ et conclure que la fonction est impaire.
4
Vérifiez l'absence de symétrie d'une fonction. Pour terminer, nous prendrons une fonction dont le graphe ne présente aucune symétrie par rapport à l'axe des ordonnées, non plus que par rapport au point-origine. Prenez comme exemple la fonction $f(x)=x^{2}+2x+1$ $f(x)=x^{2}+2x+1$ ^{[8]
X
Source de recherche}.
- Calculez les images de certaines valeurs de $x$ $x$ , opposées deux à deux ( $x$ $x$ et $-x$ $-x$ ) :
  - $f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4$ , le point(1,4) est sur le graphe,
  - $f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2$ , le point (-1,-2) est sur le graphe,
  - $f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10$ , le point (2,10) est sur le graphe,
  - $f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2$ , le point (2,-2) est sur le graphe.
- Il est inutile d'aller plus loin : les points ayant des abscisses opposées n'ont pas d'ordonnées identiques ou opposées. Au vu de ce qui a été dit précédemment, la fonction n'est donc ni paire ni impaire.
- Cette fonction, $f(x)=x^{2}+2x+1$ , est une identité remarquable, puisqu'elle peut être récrite ainsi : $f(x)=(x+1)^{2}$ . Présentée ainsi, cette fonction semble être paire à cause de l'exposant pair, mais nous avons démontré qu'il n'en était rien. Aussi, pour pouvoir démontrer qu'une fonction est paire, impaire ou autre, il faut absolument partir de la fonction dans sa forme développée. Ce n'est qu'une fois la fonction sous cette forme qu'il est possible d'en étudier la symétrie.
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Conseils

Si tous les termes contenant la variable (l'inconnue) de la fonction ont des exposants pairs, alors la fonction est paire. À l'inverse, si tous les exposants sont impairs dans ces termes, la fonction est impaire.

Avertissements

Comme vous avez pu le voir, cet article ne concerne que les fonctions à deux variables ( $x$ et $y$ ), dont les graphes sont tracés dans un repère à deux dimensions (O, I, J).