Comment simplifier des fractions

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Les maths sont difficiles, nous vous l'accordons ! Il y a tant et tant d'axiomes, de règles, d'opérations à retenir qu'on en oublie forcément ! S'agissant de la simplification des fractions, il suffit de réviser les méthodes destinées à faire cette opération pour réussir vos exercices.

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:
Utiliser le plus grand commun diviseur (PGCD)

1
Trouvez les diviseurs du numérateur et du dénominateur. Les diviseurs sont les nombres qu'on multiplie ensemble pour obtenir un autre nombre. Par exemple, 3 et 4 sont les deux diviseurs de 12, parce que vous pouvez les multiplier pour obtenir 12. Pour trouver les diviseurs d'un nombre, il vous suffit de répertorier tous les nombres qui, multipliés entre eux, donnent ce nombre et qui, par définition, sont des diviseurs de ce nombre.
- Listez les diviseurs du plus petit au plus grand, en n'oubliant pas d'inclure le 1 ou le nombre lui-même. Par exemple, voici comment on pourrait lister les diviseurs du numérateur et du dénominateur de la fraction, 24/32 :
  - 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  - 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32
2
Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD). Il s'agit de celui du numérateur et dénominateur. Le PGCD est le plus grand nombre qui divise les deux parties de la fraction. Une fois que vous avez listé tous les diviseurs de ce nombre, tout ce que vous avez à faire est de trouver le plus grand nombre présent dans les deux listes.
- 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- Le PGCD de 24 et 32 est 8, car 8 est le plus grand nombre qui divise à la fois 24 et 32.
3
Divisez le numérateur et le dénominateur par le PGCD. Maintenant que vous avez trouvé votre PGCD, tout ce que vous avez à faire est de diviser le numérateur et le dénominateur par ce nombre pour réduire votre fraction à sa plus simple expression. Voici comment on fait :
- 24/8 = 3
- 32/8 = 4
- la fraction simplifiée est : 3/4
4
Vérifiez votre calcul. Si vous voulez vous assurer que vous avez correctement simplifié la fraction, il vous suffit de multiplier le nouveau numérateur et le nouveau dénominateur par le PGCD pour voir si vous retombez bien sur la fraction originale. Voici comment on fait :
- 3*8 = 24
- 4*8 = 32
- on est bien revenu à la fraction originale : 24/32
  - Vous devez regarder si la fraction ne peut pas encore être simplifiée. Comme 3 est un nombre premier, il n'est divisible que par 1 et par lui-même et quatre n'est pas divisible par 3, donc la fraction ne peut être réduite davantage.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:
Diviser avec un petit chiffre

1
Choisissez un petit chiffre. Avec cette méthode, vous devez choisir un petit chiffre, genre 2, 3, 4, 5 ou 7, pour commencer. Regardez si votre fraction est divisible, au moins une fois, par le chiffre que vous avez choisi. Par exemple, avec la fraction 24/108, on ne choisira pas 5, car il ne divise aucun des deux nombres. Par contre, avec la fraction 25/60, on pourra diviser par 5.
- Pour la fraction 24/32, le nombre 2 marche bien. Comme les deux nombres sont pairs, ils sont divisibles par 2.
2
Divisez le numérateur et le dénominateur d'une fraction par ce chiffre. La nouvelle fraction sera donc composée d'un nouveau numérateur et d'un nouveau dénominateur que vous obtenez après avoir divisé le haut et le bas de 24/32 par 2. Voici comment on fait :
- 24/2 = 12
- 32/2 = 16
- votre nouvelle fraction est : 12/16
3
Répétez l'étape précédente. Comme les deux chiffres sont encore pairs, vous pouvez à nouveau les diviser par 2. Si ça n'avait pas été le cas (un des deux est impair ou les deux), il aurait fallu essayer avec un autre petit chiffre, 3 par exemple. Pour en revenir à notre exemple, 12/16, on divise par 2 :
- 12/2 = 6
- 16/2 = 8
- votre nouvelle fraction est : 6/8
4
Continuez la division jusqu'à ne plus pouvoir le faire. Comme les deux chiffres sont encore pairs, vous pouvez à nouveau les diviser par 2. Ce qui donne :
- 6/2 = 3
- 8/2 = 4
- votre nouvelle fraction est : 3/4
5
Vérifiez que la fraction ne peut pas être réduite davantage. Avec la fraction 3/4, 3 est un nombre premier, de sorte qu'il n'est divisible que par 1 et par lui-même et 4 n'est pas divisible par trois : la fraction a été simplifiée au maximum. Cependant, si vous ne pouvez plus simplifier avec un chiffre, rien ne dit que la fraction n'est pas simplifiable avec un autre.
- Par exemple, avec la fraction 10/40, vous pouvez divise le numérateur et le dénominateur par 5 : vous vous retrouverez avec 2/8. Vous ne pouvez plus simplifier par 5, mais vous le pouvez par 2 et la réponse finale est : 1/4.
6
Vérifiez votre calcul. Multipliez 3/4 par 2/2 et ce, trois fois de suite : vous obtenez la fraction initiale : 24/32. Voici comment on fait :
- 3/4*2/2 = 6/8
- 6/8*2/2 = 12/16
- 12/16*2/2 = 24/32
- vous avez divisé 24/32 par 2, puis par 2, puis par 2, ce qui revient au même que de diviser par 8, le plus grand commun diviseur (PGCD) de 24 et 32
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:
Lister les diviseurs

1
Écrivez votre fraction. Laissez un large espace à droite de votre papier, vous en aurez besoin pour écrire les facteurs.
2
Dressez la liste des facteurs du numérateur et du dénominateur. Faites deux listes séparées. Alignez-les l'une au-dessus de l'autre. Commencez par 1 et mettez les autres dans l'ordre.
- Par exemple, si votre fraction est 24/60, commencez avec le 24.
  Vous écrirez : 24 -- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
- Ensuite, passez au 60.
  
  Vous écrivez : 60 -- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
3
Repérez et divisez par le plus grand commun diviseur. C'est le PGCD. Quel est le plus grand nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur ? Quel qu'il soit, divisez les deux nombres par ce PGCD.
- Pour notre exemple, le plus grand nombre commun aux deux nombres est 12. Par conséquent, nous divisons 24 et 60 par 12, ce qui nous donne : 2/5, et notre fraction est simplifiée !
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:
Utiliser un arbre de facteurs premiers

1
Trouvez les facteurs premiers du numérateur et du dénominateur. Un nombre « premier » est un nombre qui ne peut être divisé par aucun autre nombre (sauf 1 et lui-même). 2, 3, 5, 7 et 11 sont des nombres premiers.
- Commencez par le numérateur. À partir de 24, décomposez en 2 et 12. Avec le 2, nombre premier, la branche s'arrête ! Ensuite, 12 se divise en deux : 2 et 6. 2 est un nombre premier, excellent ! Maintenant, divisez 6 en deux : 2 et 3. Vous avez maintenant 2, 2, 2 et 3 : que des nombres premiers !
- Au tour du dénominateur, maintenant ! À partir de 60, décomposez votre arbre en 2 et 30. 30 sera ensuite divisé en 2 et 15. Ensuite, 15 se divise en 3 et 5, tous deux nombres premiers. Vous avez maintenant 2, 2, 3 et 5 : que des nombres premiers !
2
Écrivez la décomposition en nombres premiers de chaque nombre. Pour chaque nombre, dressez la liste des nombres premiers dont vous disposez et écrivez-les avec entre eux le signe de multiplication. Vous n'avez pas besoin de faire le calcul, c'est juste pour bien voir la décomposition.
- Donc, pour 24, on a : 2 x 2 x 2 x 3 = 24.
- Pour 60, on a : 2 x 2 x 3 x 5 = 60.
3
Annulez les facteurs communs. Tous les chiffres que vous voyez apparaitre dans les deux arbres peuvent être éliminés. Dans ce cas, nous avons en commun, deux fois deux et un 3. Byebye à eux !
- Il nous reste est de 2 et 5, soit ou 2/5 ! La même réponse que nous avons obtenue avec la méthode précédente.
- Si le numérateur et le dénominateur dont pairs, il suffit de les diviser par 2 jusqu'à l'obtention de nombres premiers.
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