Comment simplifier les valeurs absolues

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La valeur absolue exprime la distance entre un certain nombre et 0. Elle est dénotée par deux barres verticales de part et d'autre d'un nombre, d'une variable ou d'une expression. Tout ce qui se trouve à l'intérieur des barres de la valeur absolue est ce qu'on appelle « l’argument ». Les barres de la valeur absolue ne fonctionnent pas de la même manière que les parenthèses ou crochets, il est donc essentiel que vous les utilisiez de manière appropriée.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Simplifier lorsque l'argument est un nombre

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Déterminez votre expression. Simplifier un argument numérique est un processus facile : comme le zéro absolu représente la distance entre votre nombre et 0, votre résultat sera toujours positif. Commencez par effectuer toutes les opérations entre les barres de valeur absolue pour déterminer votre expression.
- Disons par exemple que vous essayez de simplifier la valeur absolue de l'expression -6 + 3. Comme l'expression entière est entre les barres de la valeur absolue, commencez par faire l'addition. Le problème est ensuite de simplifier la valeur absolue de -3.
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Simplifiez la valeur absolue. Lorsque vous aurez effectué toutes les opérations à l'intérieur des barres de la valeur absolue, simplifiez la valeur absolue. Le nombre dans votre argument, qu'il soit positif ou négatif, représente la distance à partir de 0. Le résultat est donc ce nombre et ce nombre est positif.
- Dans l'exemple ci-dessus, la valeur absolue simplifiée est 3. Il en est ainsi parce que la distance entre 0 et -3 est 3.
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Utilisez une droite graduée. Vous pouvez également noter votre réponse en utilisant une droite graduée. Cette étape peut vous aider à visualiser les valeurs absolues et à vérifier votre travail.
- Dans l'exemple ci-dessus, votre droite graduée devrait ressembler à ceci.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Simplifier lorsque l'argument inclut une variable

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Traitez un argument qui est uniquement une variable. Si votre argument consiste uniquement en une variable égale à un nombre, la simplification est très facile. Comme la valeur absolue représente la distance à partir de 0, votre variable sera soit le nombre positif auquel elle est égale, soit la version négative de ce nombre. Il n'y a pas moyen savoir de quelle version il s'agit, indiquez donc les deux possibilités dans votre solution.
- Disons par exemple que vous savez que la valeur absolue d'une variable x est égale à 3. Vous ne pouvez pas savoir si x est un nombre positif ou négatif ; vous cherchez les nombres dont la distance à partir de 0 est 3. Par conséquent, votre résultat est soit 3, soit -3.
- Si ceci est le genre d'argument que vous avez besoin de simplifier, vous pouvez vous arrêter ici. Votre travail est achevé. S'il s'agit cependant d'une inéquation, il faut continuer.
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Reconnaissez les inéquations de valeur absolue. Si toutefois on vous a donné un argument qui contient une variable exprimée sous forme d'inéquation, plusieurs étapes sont nécessaires. Interprétez ces inéquations comme vous demandant de trouver tous les numéros possibles qui pourraient marcher.
- Disons par exemple que vous avez l'inéquation suivante.
  Cela peut être interprété comme « Trouvez tous les nombres dont la valeur absolue est inférieure à 7 ». En d'autres termes, trouvez tous les numéros dont la distance à partir de 0 est de 7, à l'exclusion du nombre 7 lui-même. Veuillez noter que l'inéquation est exprimée comme « inférieure à » plutôt que « inférieure ou égale à ». S'il s'agissait de ce dernier, le 7 serait inclus.
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Tracez une droite graduée. Le point de départ avec une inéquation de valeur absolue est de tracer une droite graduée. Insérez des points correspondant aux nombres avec lesquels vous travaillez.
- Dans l'exemple ci-dessus, votre ligne de nombres devrait ressembler à ceci.
  Les cercles ouverts indiquent les nombres qui sont exclus de votre résultat final. Souvenez-vous que si l'inéquation était exprimée en tant que « supérieure ou égale à » ou « inférieure ou égale à », ces chiffres auraient été inclus. Dans ce cas-là, les cercles seraient pleins.
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Considérez les numéros sur le côté gauche de la droite graduée. Comme vous ne savez pas si votre variable est positive ou négative, vous traitez deux gammes possibles de chiffres : ceux du côté gauche de la ligne numérique et ceux du côté droit. Considérons d'abord les nombres sur le côté gauche. Rendez le variable négatif et changez vos barres de la valeur absolue en parenthèses. Résolvez.
- Dans l'exemple ci-dessus, vous devez convertir les barres de la valeur absolue en parenthèses pour montrer que (-x) est inférieur à 7. Multiplier les deux côtés de l'inéquation par -1. Veuillez noter que lorsque vous multipliez par un nombre négatif, vous devez changer le signe de l'inéquation (d'inférieur à à supérieur à ou vice versa). Votre inéquation ressemblerait à ceci.
  Vous savez maintenant qu'en ce qui concerne le côté gauche de la droite graduée, x sera supérieure à -7. Sur une droite graduée, ça devrait ressembler à ceci.
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Considérez les numéros sur le côté droit de la droite graduée. Maintenant, vous pouvez regarder l'autre plage de numéros, ceux qui sont positifs. Ceci est encore plus simple : rendez la variable positive et remplacez les barres de la valeur absolue avec des parenthèses.
- Dans l'exemple ci-dessus, vous remplaceriez les barres de valeur absolue avec des parenthèses pour montrer que (x) est inférieur à 7. Aucun travail supplémentaire n'est nécessaire pour cette étape. Sur une droite graduée, ça ressemblerait à ceci.
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Trouvez l'intersection des deux intervalles. Une fois que vous avez examiné les deux côtés, vous devez déterminer où les solutions se chevauchent. Tracez les deux intervalles sur la même droite graduée pour obtenir un résultat final.
- Dans l'exemple ci-dessus, vous mettriez en évidence les valeurs supérieures à -7 et inférieures à 7 (en excluant -7 et 7). Voilà vos solutions.
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Conseils

Souvenez-vous que les barres de la valeur absolue sont différentes des crochets ou des parenthèses. Vous pouvez les remplacer par des parenthèses à l'étape appropriée, mais ils ne signifient pas forcément la même chose.