Comment simplifier une fraction

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Il est plus facile de travailler avec une fraction simplifiée et le processus de simplification est assez direct. Trouvez le plus grand commun diviseur (PGCD) des deux côtés de la fraction et divisez l’expression par cette quantité.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Simplifier les fractions simples

1
Regardez la fraction. Une fraction est une expression utilisée pour comparer deux quantités. Une fraction simplifiée peut être prise telle quelle, mais si elle n’a pas déjà été simplifiée, vous devriez le faire pour que les quantités soient plus faciles à comparer et à comprendre. Pour simplifier une fraction, vous devrez diviser les deux côtés par le même nombre.
- Exemple : 15:21
  - Notez qu’aucun des deux nombres de cet exemple n’est un nombre premier. Dans ce cas-là, vous devrez factoriser les deux nombres pour déterminer si les deux termes ont des facteurs communs pouvant être utilisés dans le processus de simplification.
2
Factorisez le numérateur. Un facteur est un nombre entier que vous pouvez utiliser pour diviser ce nombre afin d’obtenir un autre nombre entier. Les deux termes de la fraction doivent partager au moins un facteur (autre que le nombre 1), mais avant de pouvoir déterminer si les deux termes partagent un facteur, vous devez découvrir les facteurs de chaque terme.
- Exemple : le nombre 15 a quatre facteurs : 1, 3, 5, 15
  - 15 / 1 = 15
  - 15 / 3 = 5
3
Factorisez le dénominateur. Listez tous les facteurs du dénominateur de la fraction. Pour le moment, ne vous préoccupez pas des facteurs du numérateur et concentrez-vous sur la factorisation du dénominateur.
- Exemple : le nombre 21 a quatre facteurs : 1, 3, 7, 21
  - 21 / 1 = 21
  - 21 / 3 = 7
4
Trouvez le plus grand dénominateur commun. Regardez les facteurs des deux termes de votre fraction. Entourez, listez ou identifiez comme vous le souhaitez tous les nombres qui apparaissent dans les deux listes. Si le seul facteur commun est 1, cela signifie que la fraction est déjà exprimée dans sa forme simplifiée et vous n’avez rien à faire de plus. Si les deux termes du ratio ont d’autres facteurs communs, classez-les et identifiez le nombre le plus élevé. Ce nombre est votre plus grand dénominateur commun (PGCD).
- Exemple : 15 et 21 partagent deux facteurs communs : 1 et 3
  - Le PGCD des deux côtés de votre fraction est 3.
5
Divisez les deux côtés par le plus grand dénominateur commun. Les deux termes de votre fraction partagent le PGCD, vous devriez pouvoir diviser les deux côtés séparément et obtenir des nombres entiers. Les deux nombres doivent être divisés par le PGCD : ne divisez pas qu’un seul côté.
- Exemple : 15 et 21 doivent être divisés par 3.
  - 15 / 3 = 5
  - 21 / 3 = 7
6
Écrivez votre réponse finale. Vous devriez avoir de nouveaux termes de chaque côté de la fraction. Votre nouvelle fraction est équivalente à la fraction d’origine, ce qui signifie que les quantités de ces deux formes ont la même proportion ^{[1]
X
Source de recherche}. Notez aussi que les quantités de chaque côté de la nouvelle fraction ne devraient pas avoir le moindre facteur commun.
- Exemple : 5:7
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Simplifier des fractions algébriques simples

1
Regardez la fraction. Ce type de fraction compare toujours deux quantités, mais des variables sont introduites dans un ou deux côtés. Vous devrez simplifier à la fois les termes numériques et les variables lorsque vous essaierez d’obtenir une fraction dans sa forme simplifiée.
- Exemple : 18x²:72x
2
Factorisez les deux termes. Rappelez-vous que les facteurs sont des membres entiers qui divisent exactement une quantité donnée. Regardez les valeurs numériques des deux côtés du ratio. Écrivez tous les facteurs pour les deux termes numériques dans deux listes séparées.
- Exemple : pour résoudre ce problème, vous devrez trouver les facteurs de 18 et 72.
  - Les facteurs de 18 sont : 1, 2, 3, 6, 9, 18
  - Les facteurs de 72 sont: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72
3
Trouvez le plus grand dénominateur commun. Parcourez les deux listes de facteurs et entourez, soulignez ou identifiez comme vous le souhaitez les facteurs partagés par les deux listes. Identifiez le nombre le plus élevé de cette nouvelle sélection de nombres. Cette valeur est le plus grand dénominateur commun (PGCD) des deux termes numériques. Notez que cette valeur ne représente qu’une partie du vrai PGCD de la fraction.
- Exemple : 18 et 72 partagent plusieurs facteurs : 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Parmi ces facteurs, 18 est le plus élevé.
4
Divisez les deux côtés de la fraction par le plus grand dénominateur commun. Vous devriez être en mesure de diviser les deux termes numériques de votre fraction par le PGCD et d’obtenir des nombres entiers. Faites-le et écrivez les nombres entiers que vous obtenez. Ces nombres seront utilisés dans votre fraction simplifiée.
- Exemple : 18 et 72 doivent être divisés par 18.
  - 18 / 18 = 1
  - 72 / 18 = 4
5
Factorisez la variable, si possible. Regardez si la variable est présente des deux côtés de la fraction. Si c’est le cas, elle peut être factorisée.
- Regardez la puissance à laquelle la variable est élevée des deux côtés. La puissance la plus faible doit être soustraite de la puissance la plus élevée. Comprenez qu’en soustrayant une puissance de l’autre, vous divisez la variable la plus grande par la plus petite.
- Exemple : lorsqu’elle est examinée séparément, la fraction des variables est : x²:x
  - Vous pouvez factoriser un x des deux côtés. La puissance du premier x est de 2 et la puissance du deuxième x est de 1. Ainsi, un x peut être factorisé des deux côtés, le numérateur conservera un x et le dénominateur n’aura plus de x.
  - x * (x:1)
  - x:1
6
Calculez votre vrai plus grand dénominateur commun. Combinez le PGCD de vos valeurs numériques avec le PGCD de vos variables pour trouver votre vrai PGCD. Ce vrai PGCD est le terme qui devra être factorisé de votre fraction.
- Exemple : le plus grand dénominateur commun de ce problème est 18x.
  - 18x * (x:4)
7
Écrivez votre réponse finale. Après avoir enlevé le PGCD, la fraction restante est la forme simplifiée du problème d’origine. Cette nouvelle fraction devrait être équivalente en proportion à la fraction d’origine et les termes des deux côtés de la fraction ne devraient pas avoir le moindre facteur en commun.
- Exemple : x:4
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Simplifier des fractions polynomiales

1
Regardez la fraction. Les fractions polynomiales sont plus compliquées que les autres types de fractions. C’est toujours la comparaison de deux quantités, mais les facteurs de ces quantités ne sont pas aussi évidents et le problème peut prendre un peu plus de temps à résoudre. Néanmoins, le principe de base et les étapes restent les mêmes.
- Exemple : (x² - 8x + 15) : (x² - 3x - 10)
2
Séparez le numérateur en facteurs. Vous devrez factoriser le polynôme du numérateur. Il y a plusieurs méthodes pour effectuer cette étape, vous aurez besoin d’utiliser votre connaissance des équations quadratiques et des autres polynômes complexes pour déterminer la meilleure méthode à utiliser.
- Exemple : pour ce problème, vous pouvez utiliser la factorisation par décomposition.
  - x² - 8x + 15
  - Multipliez les termes a et c ensemble : 1 * 15 = 15
  - Trouvez deux nombres égaux à ce nombre lorsqu’ils sont multipliés entre eux et égaux à b lorsqu’ils sont additionnés: -5, -3 [-5 * -3 = 15; -5 + -3 = -8]
  - Substituez ces deux nombres dans l’équation d’origine : x² - 5x - 3x + 15
  - Factorisez en groupant : (x - 3) * (x - 5)
3
Séparez le dénominateur en facteurs. Le dénominateur doit également être décomposé en.
- Exemple : utilisez la méthode de votre choix pour décomposer le dénominateur en facteurs :
- x² + 5x - 10
- (x - 5) * (x + 2)
4
Annulez les facteurs communs ^{[2]
X
Source de recherche}. Comparez les deux formes factorisées de votre expression d’origine. Notez qu’un facteur est ici une expression entre parenthèses. Si l'un des facteurs est identique des deux côtés de votre fraction, il peut être annulé.
- Exemple : la forme factorisée de la fraction est : [(x-3)(x-5)] : [(x-5)(x+2)]
  - Le facteur commun entre le numérateur et le dénominateur est : (x-5)
  - Lorsque le facteur commun est enlevé, la fraction peut être réécrite de la façon suivante : (x-5)*[(x-3) : (x+2)]
5
Écrivez votre réponse finale. La fraction ne devrait pas contenir de facteurs identiques et devrait être équivalente en proportion à la fraction d’origine.
- Exemple : (x – 3) : (x + 2)
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