Comment supprimer les racines en dénominateur

En algèbre, il est de convention de présenter une fraction, quand c'est un résultat, réduite à sa plus simple expression et ne contenant aucune racine en dénominateur. Quand une expression radicale apparait en dénominateur, il faut multiplier la fraction par un nombre qui supprimera le radical, en fait, une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont identiques (= 1). Aujourd'hui, les calculatrices font ce travail automatiquement, mais le faire à la main permet de mieux comprendre et les fractions et les racines.

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:
Avec un monôme en dénominateur

1
Étudiez de près la fraction. Une fraction se doit d'être présentée sans racine en dénominateur. Si c'est le cas, vous devez multiplier les deux termes de la fraction par une même valeur qui annule la racine du bas. Ne prêtez aucune attention à la présence ou non de racines en numérateur ^{[1]
X
Source de recherche} !
- Prenons comme exemple la fraction suivante : ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}$ .
- Cette fraction ne peut rester ainsi, il faut faire disparaitre ${\sqrt {7}}$ .
2
Multipliez la fraction par la bonne expression. Dans le cas d'un monôme, multipliez la fraction de départ par une fraction dont les deux termes sont identiques et égaux à la racine en dénominateur. Ce produit ne change rien à la valeur de la fraction, la seconde fraction étant égale à 1 ^{[2]
X
Source de recherche}. Si vous utilisez une calculatrice, n'oubliez pas de mettre chaque fraction entre parenthèses, l'ordre des opérations doit être respecté.
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}$
3
Si c'est possible, simplifiez. Vous obtenez une fraction en quelque sorte brute et il est possible qu'elle puisse être réduite à sa plus simple expression. C'est ainsi que doit être présenté un résultat. La simplification consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ici 7 ^{[3]
X
Source de recherche}.
- ${\frac {7{\sqrt {3}}}{2{\sqrt {7}}}}\times {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {7{\sqrt {21}}}{14}}={\frac {{\cancel {7}}{\sqrt {21}}}{\cancel {14}}}={\frac {\sqrt {21}}{2}}$
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:
Avec un binôme en dénominateur

1
Étudiez de près la fraction. Si vous avez une fraction dont le dénominateur est un binôme, c'est-à-dire une somme, dont l'un des termes est une racine, vous ne pouvez pas appliquer la technique précédente, car vous avez une somme, non un monôme ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple la fraction suivante : ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}$ .
- Un peu de théorie : soit la fraction ${\frac {1}{a+b}}$ , $a$ et $b$ étant des irrationnels. Si, comme précédemment, vous multipliez les deux termes de la fraction par le dénominateur : $(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ , certes les carrés seront rationnels, mais le terme central ( $2ab$ ) sera nécessairement irrationnel.
- Voyons en détail ce qui se passerait si l'on agissait ainsi avec notre exemple :
  - ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\times {\frac {2+{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{4+4{\sqrt {2}}+2}}={\frac {4(2+{\sqrt {2}})}{6+4{\sqrt {2}}}}$
- Comme vous pouvez le constater, il est impossible avec cette méthode de se débarrasser de ${\sqrt {2}}$ .
2
Multipliez votre fraction par l'expression conjuguée du dénominateur. Une conjuguée ressemble au binôme de départ, sauf que le signe a été changé ^{[5]
X
Source de recherche}. Dans notre exemple, la conjuguée de $2+{\sqrt {2}}$ $2+{\sqrt {2}}$ est $2-{\sqrt {2}}$ $2-{\sqrt {2}}$ .
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\times {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}$
- Quel est le rôle de la conjuguée ? On touche ici à une des identités remarquables qui veut que :
  $(a+b)(a-b)=a^{2}-ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}$ . À la différence de ce qui a été vu plus haut, il n'y a pas ici de terme central, mais que des carrés parfaits, donc plus de racine.
3
Si c'est possible, simplifiez. Une fraction en résultat doit être réduite à sa plus simple expression. La simplification consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ici 2 ^{[6]
X
Source de recherche}.
- ${\frac {4}{2+{\sqrt {2}}}}\times {\frac {2-{\sqrt {2}}}{2-{\sqrt {2}}}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{4-2}}={\frac {4(2-{\sqrt {2}})}{2}}=4-2{\sqrt {2}}$
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:
Lors du calcul d'une inverse

1
Étudiez de près l'expression donnée. On vous a donné comme exercice de donner l'inverse d'une expression (monôme ou binôme) contenant une racine. Inévitablement, vous allez vous retrouver avec une racine en dénominateur qu'il va falloir… faire disparaitre ^{[7]
X
Source de recherche} !
- Prenons comme exemple le binôme suivant : $2-{\sqrt {3}}$ .
2
Notez l'inverse sans rien faire pour l'instant. L'inverse d'une expression s'obtient en inversant la fraction qu'est votre expression à traiter ^{[8]
X
Source de recherche}. Dans notre exemple, $2-{\sqrt {3}}$ $2-{\sqrt {3}}$ est, même si elle n'en a pas l'air, une fraction : ${\frac {2-{\sqrt {3}}}{1}}$ ${\frac {2-{\sqrt {3}}}{1}}$ .
- L'inverse de $2-{\sqrt {3}}$ est ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}$ .
3
Multipliez-la par la bonne expression. Là est la difficulté ! Le but est de faire disparaitre la racine du bas. Il faut donc multiplier par une fraction dont les deux termes sont identiques (fraction égale à 1) et dans le cas présent, égaux à l'expression conjuguée ^{[9]
X
Source de recherche}.
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\times {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}$
4
Si c'est possible, simplifiez. Une fraction en résultat doit être réduite à sa plus simple expression. La simplification consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ici il faut seulement garder le numérateur ^{[10]
X
Source de recherche}.
- ${\frac {1}{2-{\sqrt {3}}}}\times {\frac {2+{\sqrt {3}}}{2+{\sqrt {3}}}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{4-3}}={\frac {2+{\sqrt {3}}}{1}}=2+{\sqrt {3}}$
- Vous noterez que dans cet exemple, l'inverse, mais ce n'est qu'une coïncidence, est la conjuguée de l'expression de départ.
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:
Avec une racine cubique

1
Étudiez de près la fraction. Il n'y a pas que des racines carrées dans la vie, vous serez parfois face à des racines cubiques ou nièmes. La méthode décrite ici fonctionne pour toutes les racines, à condition que le dénominateur soit un monôme ^{[11]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple la fraction suivante : ${\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}$ .
2
Modifiez l'écriture du dénominateur. Pour résoudre ce type d'exercices, il faut transformer la racine en un exposant. Il n'y a, hélas !, pas de méthode plus simple ^{[12]
X
Source de recherche} !
- ${\frac {3}{\sqrt[{3}]{3}}}={\frac {3}{3^{\frac {1}{3}}}}$
3
Multipliez par la bonne fraction. Le principe reste le même : multiplier par une fraction dont les deux termes sont identiques. Avec une racine d'ordre supérieur à 2, il faut multiplier par la même valeur dont l'exposant est le complément à 1 de l'exposant de départ. Dans notre exemple, multipliez par la fraction ${\frac {3^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {2}{3}}}}$ ${\frac {3^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {2}{3}}}}$ . Grâce à la propriété $a^{b}a^{c}=a^{b+c}$ $a^{b}a^{c}=a^{b+c}$ , ce qui était un produit se transforme en une addition ^{[13]
X
Source de recherche}.
- ${\frac {3}{3^{\frac {1}{3}}}}\times {\frac {3^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {2}{3}}}}$
- Prenons de la hauteur. Le principe pour une racine nième est le suivant : avec une fraction ${\frac {1}{a^{\frac {1}{n}}}}$ , vous devez multiplier par ${\frac {1}{a^{1-{\frac {1}{n}}}}}$ . En dénominateur, l'exposant sera ainsi toujours 1.
4
Si c'est possible, simplifiez ^{[14]
X
Source de recherche}.
- ${\frac {3}{3^{\frac {1}{3}}}}\times {\frac {3^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {2}{3}}}}={\frac {3\times 3^{\frac {2}{3}}}{3^{1}}}={\frac {{\cancel {3}}\times 3^{\frac {2}{3}}}{\cancel {3}}}=3^{\frac {2}{3}}$
- S'il vous est demandé de présenter le résultat sous forme d'une racine, mettez l'exposant sous la forme ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {1}{n}}$ .
  - $3^{\frac {2}{3}}=(3^{2})^{\frac {1}{3}}=9^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{9}}$
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