Comment transposer une matrice

Transposer une matrice est une opération simple qui permet, entre autres choses, de mieux comprendre sa structure. Certaines matrices, celles carrées ou symétriques, ont des transposées particulières. La transposition de matrices sert, par exemple, pour les algorithmes ou pour résoudre des systèmes linéaires. Elle sert aussi beaucoup en calcul vectoriel ^{[1]
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Source de recherche}. Quant aux matrices avec des nombres complexes, on parle plutôt pour elles de transposée conjuguée ou de transposée adjointe.

Partie 1

Partie 1 sur 3:
Transposer une matrice

1
Partez d'une matrice quelconque. Vous pouvez transposer n'importe quelle matrice, quel que soit son nombre de lignes et de colonnes. Les matrices carrées, celles qui ont autant de lignes que de colonnes, sont peut-être plus faciles à transposer quand on débute : c'est pourquoi nous commencerons avec une matrice de ce type ^{[2]
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Source de recherche}.
- Prenons comme exemple la matrice A de dimension (3,3) :
  A = ${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$ .
2
Inversez les lignes et les colonnes de la matrice. Ainsi, la première ligne de la matrice devient la première colonne de sa transposée. Notez sous forme de colonne cette première ligne.
- La transposée de la matrice A est conventionnellement notée ^tA.
- C'est ainsi que la première colonne de ^tA est : ${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$ .
3
Faites la même chose avec les lignes suivantes. La deuxième ligne de la matrice de départ devient la deuxième colonne de sa transposée. Continuez ainsi autant de fois qu'il y a de lignes.
- La matrice transposée de A est donc :
  ^tA = ${\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{pmatrix}}$ .
4
Exercez-vous sur une matrice non carrée. Le principe de la transposition reste le même que pour les matrices carrées. La première ligne devient la première colonne, la deuxième ligne, la deuxième colonne… Pour mieux mettre en évidence les lignes et les colonnes de la matrice Z évoquée ci-dessous, nous avons utilisé des couleurs.
- Matrice Z = ${\begin{pmatrix}\color {blue}{4}&\color {blue}{7}&\color {blue}{2}&\color {blue}{1}\\\color {green}{3}&\color {green}{9}&\color {green}{8}&\color {green}{6}\end{pmatrix}}$
- Matrice ^tZ = ${\begin{pmatrix}\color {blue}{4}&\color {green}{3}\\\color {blue}{7}&\color {green}{9}\\\color {blue}{2}&\color {green}{8}\\\color {blue}{1}&\color {green}{6}\end{pmatrix}}$
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Exprimez la transposée de façon théorique. Ne prenez pas peur, c'est très simple ! Et il n'y a pas besoin de vocabulaire très complexe. Tout n'est qu'une question de lignes et de colonnes.
- Si la matrice B est une matrice de dimension (m,n) avec m lignes et n colonnes, sa matrice transposée, ^tB, est une matrice de dimension (n x m) avec n lignes et m colonnes ^{[3]
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  Source de recherche}.
- Tout élément b_ij (i-ème ligne, j-ème colonne) d'une matrice B se retrouve comme élément b_ji (j-ème ligne, i-ème colonne) dans la matrice transposée ^tB.
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Partie 2

Partie 2 sur 3:
Résoudre des cas particuliers de transposition de matrices

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Sachez que ^t(^tM) est égale à M. La transposée d'une transposée n'est rien d'autre que la matrice originelle ^{[4]
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Source de recherche}. Cette propriété est quasi évidente, dans la mesure où la transposition consiste à intervertir lignes et colonnes. Si vous faites cela deux fois, vous retombez sur la matrice de départ.
2
Servez-vous de la diagonale comme axe de transposition. Dans une matrice carrée, et uniquement dans ce cas, la transposition des éléments se fait par rapport à la diagonale qui part du coin supérieur gauche de la matrice au coin inférieur droit. Les éléments de cette diagonale demeurent inchangés et tous les autres sont intervertis par rapport à cette diagonale.
- Si vous ne comprenez pas bien ce qui se passe, faites une matrice carrée sur un bout de papier, faites la matrice transposée sur un autre papier. Pliez les deux papiers le long des diagonales principales. Passant de l'une à l'autre, observez la position des éléments par rapport à la diagonale, et vous devriez vite comprendre ce qu'est la transposition.
3
Transposez une matrice symétrique. Une telle matrice est symétrique par rapport à la diagonale principale. Si vous refaites l'opération de pliage vue précédemment, vous vous apercevrez qu'il n'y a aucune modification. Comme les éléments sont en quelque sorte « en miroir », rien ne sert de les bouger, même si en théorie, il faut les intervertir ^{[5]
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Source de recherche}. Cette observation permet d'ailleurs de définir une matrice symétrique. L'axiome est donc le suivant : si matrice A = ^tA, alors la matrice A est symétrique.

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Partie 3

Partie 3 sur 3:
Trouver la conjuguée d'une matrice de nombres complexes

1
Partez d'une matrice contenant des nombres complexes. Une telle matrice contient aussi bien des nombres réels que complexes. Bien sûr, il est possible d'établir la transposée d'une telle matrice, mais il faut auparavant établir une matrice dite transposée conjuguée (ou transposée adjointe) ^{[6]
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Source de recherche}.
- Prenons comme exemple la matrice C = ${\begin{pmatrix}2+i&3-2i\\0+i&5+0i\end{pmatrix}}$ .
2
Établissez la matrice adjointe. Tous les signes devant la composante complexe sont changés, les signes des nombres réels, quant à eux, demeurent inchangés. Faites ce changement pour tous les éléments de la matrice.
- Dans notre exemple, la matrice adjointe de C est : ${\begin{pmatrix}2-i&3+2i\\0-i&5-0i\end{pmatrix}}$ .
3
Transposez les éléments de la matrice adjointe. Transposez-les comme pour une matrice classique. La matrice obtenue est la transposée adjointe de la matrice de départ.
- Dans notre exemple, la matrice transposée adjointe de C est : ${\bar {C}}={\begin{pmatrix}2-i&0-i\\3+2i&5-0i\end{pmatrix}}$ .
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Conseils

Pour cet article, nous avons utilisé la notation ^tA pour figurer la transposée de la matrice A. D'autres utilisent d'autres notations, comme notation A^t, ^TA, A^Tou encore A' ^{[7]
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Source de recherche}.
En algèbre linéaire, la transposée adjointe de la matrice A est notée ${\bar {A}}$ . En mécanique quantique, on utilise la notation A^† (lisez « A dague »). Vous pourrez également trouver la notation A⁺, mais cette dernière désigne plutôt le pseudo-inverse de Moore-Penrose ^{[8]
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Source de recherche}.