Comment trouver l’équation d’une droite tangente

Coécrit par Jake Adams

Contrairement à une droite, la pente d'une courbe change constamment lorsque vous vous déplacez le long de son graphique. Les mathématiques initient les élèves à l'idée que chaque point sur ce graphique peut être décrit comme une pente ou un taux de variation instantané. La droite tangente est une droite avec cette pente, passant par ce point exact du graphique. Pour trouver l'équation d'une droite tangente, vous devez trouver la dérivée de l'équation originale.

Partie 1

Partie 1 sur 2:
Trouver l'équation d'une droite tangente

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Représentez la fonction et la droite tangente (recommandé). Un graphique vous permettra de comprendre facilement le problème et vérifier si votre réponse a un sens. Représentez la fonction sur un papier graphique en utilisant une calculatrice graphique comme référence, si nécessaire. Représentez la droite tangente en la faisant passer par le point donné (souvenez-vous que la droite tangente passe par ce point et a la même pente que le graphique en ce point).
- Exemple : représentez le graphique de la parabole $f(x)=0,5x^{2}+3x-1$ . Tracez la droite tangente passant par le point (-6, -1).
  Vous ne connaissez pas encore l'équation de la tangente, mais vous pouvez remarquer déjà que cette pente est négative et que son ordonnée à l'origine est négative (bien en dessous du sommet de la parabole avec -5,5 comme valeur de y). Si votre réponse finale ne correspond pas à ces détails, vous saurez trouver l'erreur.
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Trouvez la première dérivée pour déterminer l'équation de la pente de la droite tangente. Pour la fonction f(x), la première dérivée f'(x) représente l'équation de la pente de la droite tangente à n'importe quel point de f(x). Il existe plusieurs manières de calculer la dérivée. Ci-dessous, un exemple de calcul de la dérivée en utilisant la règle de calcul des puissances ^{[1]
X
Source de recherche}.
- Exemple : le graphique est décrit par la fonction $f(x)=0,5x^{2}+3x-1$ .
  Souvenez-vous de la règle de calcul des puissances lors du calcul de la dérivée : ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$ .
  La première dérivée de la fonction est : f'(x) = (2)(0,5)x + 3 - 0.
  f'(x) = x + 3. Insérez n'importe quelle valeur a pour x dans l'équation et le résultat sera la pente de la droite tangente de f(x) au point où x = a.
3
Entrez la valeur de x pour le point que vous avez choisi. Lisez le problème pour déterminer les coordonnées du point pour lequel vous recherchez la droite tangente. Entrez la coordonnée x de ce point dans f'(x). Le résultat est la pente de la droite tangente en ce point.
- Exemple : le point mentionné dans le problème est (-6, -1). Utilisez la coordonnée x = -6 comme donnée pour f'(x) :
  f'(-6) = -6 + 3 = -3.
  La pente de la droite tangente est -3.
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Écrivez l'équation de la droite tangente sous la forme pente-point. La forme pente-point d'une équation linéaire est $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ , où m est la pente et $(x_{1},y_{1})$ $(x_{1},y_{1})$ est un point sur la droite ^{[2]
X
Source de recherche}. Vous avez maintenant toutes les informations dont vous avez besoin pour écrire l'équation de la droite tangente sous cette forme.
- Exemple : $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ .
  La pente de la droite est -3, donc $y-y_{1}=-3(x-x_{1})$ .
  La droite tangente passe par (-6, -1), donc l'équation finale est $y-(-1)=-3(x-(-6))$ .
  Simplifiez en $y+1=-3x-18$
  $y=-3x-19$ .
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Confirmez l'équation sur votre graphique. Si vous avez une calculatrice graphique, représentez la fonction originale et la droite tangente pour vérifier si vous avez la bonne réponse. Si vous travaillez sur une feuille, référez-vous à votre graphique précédent pour vérifier qu'il n'y a pas d'erreur dans votre réponse.
- Exemple : la représentation initiale a montré que la pente de la droite tangente est négative et le point y bien en dessous de -5,5. L'équation de la droite tangente que nous avons trouvée est y = -3x - 19 sous la forme pente-intercepte, ce qui veut dire que -3 est la pente et -19 est l'ordonnée à l'origine. Ces deux attributs correspondent aux prédictions initiales.
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Essayez un problème plus difficile. Voici un autre problème. Cette fois-ci, il s'agit de trouver la droite tangente de $f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1$ $f(x)=x^{3}+2x^{2}+5x+1$ où x = 2.
- En utilisant la règle de calcul des puissances, la première dérivée est $f'(x)=3x^{2}+4x+5$ . Cette fonction nous donnera la pente de la tangente.
- Puisque x = 2, trouvez $f'(2)=3(2)^{2}+4(2)+5=25$ . C'est la pente en x = 2.
- Notez que nous n'avons pas de point, juste une coordonnée x. Pour trouver la coordonnée y, remplacez x = 2 dans la fonction initiale : $f(2)=2^{3}+2(2)^{2}+5(2)+1=27$ . Les coordonnées du point sont (2, 27).
- Écrivez l'équation de la droite tangente sous la forme pente-point : $y-y_{1}=m(x-x_{1})$
  $y-27=25(x-2)$ .
  Si nécessaire, simplifiez pour obtenir y = 25x - 23.
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Partie 2

Partie 2 sur 2:
Résoudre les problèmes connexes

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Trouvez les points extrêmes sur un graphique. Ce sont les points où le graphique atteint un point maximum (un point supérieur aux points sur chaque côté). La droite tangente a toujours une pente de 0 en ces points ( une ligne horizontale), mais une pente 0 seule ne garantit pas un point extrême. Voici comment trouver ces points.
- Calculez la première dérivée de la fonction pour obtenir f'(x), l'équation de la pente de la droite tangente.
- Résolvez f'(x) = 0 pour trouver les points extrêmes possibles.
- Calculez la seconde dérivée pour obtenir f''(x), l'équation qui indique la rapidité à laquelle la pente de la droite tangente change.
- Pour chaque point extrême possible, insérez la coordonnée x = a dans f''(x). Si f''(a) est positif, alors il y a un point minimum en a. Si f''(a) est négatif, alors il y a un point maximum en a. Si f''(a) est 0, donc il y a un point d'inflexion et non un point extrême.
- S'il y a un maximum ou un minimum en a, trouvez f(a) pour obtenir la coordonnée y.
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Déterminez l'équation de la normale. La normale à une courbe en un point particulier passe par ce point, mais a une pente perpendiculaire à la tangente. Pour trouver l'équation de la normale, exploitez l'équation suivante : (pente de la droite tangente)(pente de la normale) = -1, où les deux passent par le même point sur le graphique ^{[3]
X
Source de recherche}. En d'autres mots :
- trouvez f'(x), la pente de la droite tangente,
- si le point est en x = a, trouvez f'(a) pour trouver la pente de la droite tangente en ce point,
- calculez ${\frac {-1}{f'(a)}}$ pour trouver la pente de la normale,
- écrivez l'équation de la pente sous la forme pente-point.
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