Comment trouver les points d'inflexion

En mathématiques, lors de l'analyse d'une fonction, vous pouvez être amené(e) à déterminer le point d'inflexion afin de tracer la courbe de la fonction. Un point d'inflexion est un point où la courbe change de convexité ^{[1]
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Source de recherche}. Dit comme cela, ce point d'inflexion semble un peu abstrait, mais en fait il sert dans de nombreux domaines, comme la chimie (dosage), l'économie, le génie mécanique (came à rainure)… Trouver un point d'inflexion n'est pas très compliqué… à la condition de savoir dériver une fonction.

Méthode 1

Méthode 1 sur 5:
Bien maitriser la terminologie et les concepts

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Faites la différence entre concavité et convexité. Il faut absolument connaitre ces deux concepts pour comprendre le point d'inflexion. Il est un petit moyen mnémotechnique pour retenir la concavité : la courbe est Creuse comme le C de conCavité ^{[2]
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Source de recherche}.
- Une fonction $f$ , définie et dérivable sur un intervalle $I$ , est concave sur $I$ si sa représentation graphique est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. Sur une courbe, cela se présente sous la forme d'un dôme ou d'une colline.
- À l'inverse, une fonction $f$ , définie, dérivable sur un intervalle $I$ est convexe sur $I$ si sa représentation graphique est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. Sur une courbe, cela se présente sous la forme d'un creux.
- Ci-dessus, la courbe rouge est convexe, tandis que la verte est concave.
- Sur la courbe d'une fonction, si vous avez une partie convexe (sur un intervalle donné), puis une partie concave (sur un intervalle suivant), à la jonction des deux parties, vous avez ce que l'on appelle un point d'inflexion. Celui-ci marque donc un changement de convexité.
2
Appuyez-vous sur les racines de la fonction. Une racine est la valeur de $x$ $x$ qui annule la fonction. Dans l'illustration ci-dessus, il y a deux racines, à savoir $x=-1$ $x=-1$ et $x=3$ $x=3$ . Ce sont les points d'intersection du graphe avec l'axe des abscisses ^{[3]
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Source de recherche}.
- Une fonction peut avoir 1, 2, 3 racines, mais aussi aucune !
3
Cherchez l'inflexion au changement de convexité. Bien entendu, il faut, sur un graphe, être capable de différencier la concavité de la convexité : à la jonction des deux, vous trouverez le point d'inflexion ^{[4]
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Source de recherche}.
- Un point d'inflexion (potentiel) est assez facile à repérer sur une courbe.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 5:
Calculer les dérivées d'une fonction

1
Calculez la dérivée première. Un point d'inflexion ne peut se déterminer qu'à l'aide de la dérivée première de la fonction, ce qui signifie en clair qu'il faut savoir dériver si vous voulez déterminer précisément un point d'inflexion ^{[5]
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Source de recherche}. Une dérivée première est notée $f^{\prime }(x)$ $f^{{\prime }}(x)$ ou ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ .
- Prenons l'exemple de la fonction suivante :
  - $f(x)=x^{3}+2x-1$ .
- Établissez la dérivée de cette fonction :
  - $f^{\prime }(x)=3x^{(3-1)}+2x^{(1-1)}=3x^{2}+2$ .
2
Calculez la dérivée seconde. Celle-ci est la dérivée de la dérivée et est notée $f^{\prime \prime }$ $f^{\prime \prime }$ ou ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}$ ${\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}$ .
- ${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=(2)(3)x^{2-1}=6x\end{aligned}}$
3
Déterminez l'abscisse qui annule la dérivée seconde. L'opération consiste à calculer $f^{\prime \prime }(x)=0$ $f^{\prime \prime }(x)=0$ . La réponse est peut-être un point d'inflexion ^{[6]
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Source de recherche}.
- Ici, on part de $f^{\prime \prime }(x)=0$ , soit $6x=0$ , soit $x=0$ .
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Méthode 3

Méthode 3 sur 5:
Trouver un point d'inflexion

1
Voyez si la dérivée seconde change de signe en ce point. Si c'est le cas, alors la courbe contient un point d'inflexion. Par contre, si ce n'est pas le cas, alors il n'y a pas de point d'inflexion : c'est aussi simple que cela ^{[7]
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Source de recherche} !
- Dans cette partie de l'analyse, vous n'allez pas vous intéresser à la valeur obtenue, mais bien au signe du résultat. Parfois, la dérivée seconde est compliquée et la recherche de son signe sur tel ou tel intervalle est complexe. Essayez alors de voir si à vue d'œil certains termes ne seraient pas ou toujours positifs ou toujours négatifs, ce qui vous faciliterait bien la tâche.
- Avec $f^{\prime \prime }(x)=6x$ , chaque fois que vous prenez un $x$ négatif, $f^{\prime \prime }(x)$ est aussi négatif et pour tout $x$ positif, vous avez $f^{\prime \prime }(x)$ positif. La conséquence en est que le point d'abscisse $x=0$ est le point d'inflexion de la courbe de la fonction
  $f(x)=x^{3}+2x-1$ . Vous le voyez, il n'est nul besoin, dans ce cas très précis, de prendre des valeurs de $x$ particulières.
2
Cherchez l'ordonnée du point d'inflexion. Cela revient à calculer l'image de $x$ $x$ par la fonction de départ ^{[8]
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Source de recherche}.
- $f(0)=(0)^{3}+2(0)-1=-1$
3
Vérifiez sur le graphe. Les coordonnées du point d'inflexion sont en théorie les suivantes : $(x,f(x))$ . Dans notre exemple, le point d'inflexion a été déterminé en $(0,-1)$ , ce qui se voit sur le graphe de la fonction, lequel n'est pas forcément très juste, mais le calcul est là pour obtenir une réponse précise ^{[9]
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Source de recherche}.

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Méthode 4

Méthode 4 sur 5:
Vérifier l'existence d'un point d'inflexion

1
Vérifiez la racine 0 de la dérivée seconde. Si vous obtenez cette racine, soyez prudent(e), car c'est un point particulier. Il faut bien étudier la convexité des deux intervalles qui le cernent et vérifier qu'il y a bien un changement de signe à cet endroit ^{[10]
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Source de recherche}.
- Admettons que vous ayez trouvé un point d'inflexion dont l'abscisse est $x=0$ . Vous devez vérifier qu'entre les intervalles $]-\infty ,0[$ et $]0,+\infty [$ la dérivée seconde change de signe. Alors, seulement, vous pourrez en conclure que 0 est l'abscisse de votre point d'inflexion.
2
Ne commettez pas d'erreur. Nous avons dit que l'abscisse d'un point d'inflexion était donnée par l'annulation de la dérivée seconde, mais elle peut aussi être une valeur pour laquelle la dérivée seconde n'est pas définie. Si vous rencontrez ce cas et que vous passez outre, parce que la réponse n'est pas dans le domaine de définition, vous aurez une réponse fausse ^{[11]
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Source de recherche}.
- Dans un exercice, vous devez étudier la fonction $f(x)=x^{2}+4x$ et surtout de voir si son graphe présente un ou plusieurs points d'inflexion. C'est bien la dérivée seconde, $f^{\prime \prime }(x)$ , de la fonction qui vous renseignera sur l'existence ou non d'un point d'inflexion, la dérivée première, $f^{\prime }(x)$ , vous permettant seulement de calculer le minimum de la fonction, ce qui ne nous intéresse pas ici.
3
Analysez la dérivée seconde, non la dérivée première. C'est toujours la dérivée seconde qui permet de statuer sur l'existence ou non d'un ou de plusieurs points d'inflexion (nous ne rentrerons pas dans la distinction qu'il y a entre l'inflexion analytique et géométrique ^{[12]
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Source de recherche}).
- Admettons qu'une courbe présente deux points d'inflexion, l'un en $x=-1$ et l'autre en $x=7$ . Prenez une valeur dans chacun de ces intervalles définis par ces deux points ( $]-\infty ,-1[$ , $]-1,7[$ et $]7,+\infty [$ ), déterminez le signe de la dérivée seconde sur chacun, puis vérifiez qu'il y a changement de signe d'un intervalle à l'autre. Alors seulement, vous pourrez en conclure que ces deux abscisses, $x=-1$ et $x=7$ , sont celles de vos 2 points d'inflexion.
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Méthode 5

Méthode 5 sur 5:
Trouver un point d'inflexion avec une calculatrice

1
Accédez à l'écriture de la fonction. Appuyez sur la touche verte (troisième ligne du haut et à droite) présentant un losange, puis sur la touche du haut
F1. Là, vous pouvez entrer 7 fonctions ^{[13]
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Source de recherche}.
- Nous prendrons l'exemple de la TI-89. Sur d'autres calculatrices, la procédure est différente : consultez la notice de votre machine pour savoir comment faire.
2
Entrez votre fonction en y1. S'il y en a déjà une en cet endroit, supprimez-la, puis tapez votre fonction, laquelle viendra s'inscrire après le signe $=$ $=$ . Si parenthèses il y avait, vous les transcririez telles quelles ^{[14]
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Source de recherche}.
- Prenons comme exemple la fonction suivante : $y1=x^{3}-9/2x^{2}-12x+3$ .
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Tracez la courbe représentative. Pour cela, appuyez sur le losange, puis sur la touche F3. Si la courbe n'apparait pas bien, appuyez sur le losange, puis sur F2 afin de sélectionner 6:Zoomstd (zoom standard ^{[15]
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Source de recherche}).
- Ne vous affolez pas si la courbe n'est pas entièrement apparente, cela peut facilement s'arranger par la suite !
4
Réglez la fenêtre d'affichage. Il s'agit de voir l'ensemble de la courbe. Il est fréquent que la courbe n'apparaisse pas dans son entier. Aussi allez-vous régler l'affichage en appuyant sur le losange, puis la touche F2. Avec les touches de navigation, déplacez-vous verticalement dans les différents agrandissements jusqu'à afficher celui qui vous intéresse ^{[16]
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Source de recherche}.
- Il n’est pas toujours très simple, surtout avec le manque d'habitude, d'utiliser cette fonction. Ce n'est pas grave dans la mesure où vous pouvez toujours revenir en arrière.
5
Affichez le menu Math. Appuyez sur le losange, puis sur la touche F5. À l'aide des flèches de navigation, descendez jusqu'à 8 : Inflexion ^{[17]
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Source de recherche}.
- Cette fonction est très sympathique, mais elle suppose que vous connaissiez la position du point d'inflexion : la machine a ses limites !
6
Déterminez les bornes du point d'inflexion. Cette opération suppose que vous connaissiez la position, même très approximative, du point d'inflexion. Amenez le curseur sur un point de la courbe qui est à droite du point d'inflexion, puis validez avec ↵ Enter. Faites la même chose avec un point de la courbe situé à gauche du point d'inflexion et validez. Si tout s'est bien passé, vous allez voir apparaitre en bas et à gauche de l'écran, les coordonnées du point d'inflexion supposé ^{[18]
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Source de recherche}.
- Si vous pensez qu'il y a un ou plusieurs autres points d'inflexion (sinusoïde), vous recommenceriez la même opération avec les bornes d'un autre supposé point d'inflexion.
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Conseils

Il est possible de vérifier la réalité d'un point d'inflexion avec la dérivée tierce
( $f^{\prime \prime \prime }$ ). Encore faut-il, entre autres conditions, que la fonction de départ soit dérivable trois fois et avec certaines fonctions, cela relève du casse-tête !
Les fonctions linéaires n'ont pas de point d'inflexion et cela provient du fait que ces fonctions ont toujours la même pente. Ainsi donc, il n'y a pas de changement de pente, condition minimale pour avoir un point d'inflexion.