انحراف معياري

نفرض أن لدينا المتحولات (أو المتغيرات)${\displaystyle \scriptstyle x_{1},\dots ,x_{N}}$، يعطى الانحراف المعياري لهذه القيم بالعلاقة:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}.}$

حيث أن N هو عدد المتحولات (المتغيرات). ويمكن تبسيط العبارة السابقة إلى التالي:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N{\overline {x}}^{2}\right)}}}$

يمكن البرهنة على ذلك بواسطة العملية الجبرية التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(N{\overline {x}})+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2N{\overline {x}}^{2}+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-N{\overline {x}}^{2}.\end{aligned}}}$

بما أن علم الإحصاء يحلل ويعرض البيانات المتفرقة بحيث تكون ذات معنى معين أو تعطي انطباعا معينًا فان تباين هذه البيانات يمثل مشكلة كبيرة في فهم سلوك البيانات.

الانحراف المعياري لمتغير عشوائي متصل ذي قيم حقيقية X دالة كثافته الاحتمالية هي (p(x هو

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\int _{\mathbf {X} }(x-\mu )^{2}\,p(x)\,dx}},{\rm {\ \ \ \ }}}$ حيث ${\displaystyle \mu =\int _{\mathbf {X} }x\,p(x)\,dx}$