فضاء إقليدي

المسافة (وبالتحديد المسافة الإقليدية) بين نقطتين اثنتين في فضاء إقليدي هي معيار المتجهة التي تعرف الإزاحة التي تربط نقطة بنقطة ثانية ؛ أي أن :

${\displaystyle d(P,Q)=\|{\overrightarrow {PQ}}\|.}$

انظر إلى متباينة المثلث وإلى فضاء كامل.

${\displaystyle d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).}$

انظر إلى زاوية قائمة.

كل فضاء متجي إقليدي يملك قاعدة ممنظمة متعامدة (فعليا، عدد هذه القواعد غير منته عندما يكون عدد الأبعاد أكبر من الاثنين، وعددهن يساوي الاثنين عندما يكون عدد الأبعاد مساويا لواحد). تتمثل هذه القاعدة في مجموعة من المتجهات ${\displaystyle (e_{1},\dots ,e_{n})}$ كلهن متجهات وحدة (أي أن ${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$)، وحيث كل متجهتين منهن متعامدتين الواحدة منهما مع الأخرى (أي أن ${\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=0}$ عندما يتوفر i ≠ j).

عادة ما تشير الهندسة غير الإقليدية إلى هندسات حيث تكون موضوعة التوازي خاطئة. من بين هذه الهندسات، الهندسة الإهليلجية حيث مجموع زوايا مثلث تزيد عن المائة وثمانين درجة والهندسة الزائدية حيث مجموع زوايا مثلث تقل عن المائة وثمانين درجة. شكل المجيء بهن خلال النصف الثاني من القرن التاسع عشر ثم البرهان على أن نظريتهن متماسكة (إذا لم تكن الهندسة الإقليدية هي بدورها متناقضة) واحدا من المفارقات اللائي انبثقت منهن أزمة أسس الرياضيات خلال بداية القرن العشرين.