قانون جيب التمام

من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:

• ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ و${\displaystyle c^{2}}$ هي مساحات لمربع أضلاعه على التوالي ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ و${\displaystyle c}$
• ${\displaystyle ab|\cos \gamma |}$ وهو ل متوازي أضلاع من جهة${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$ يكونان زاوية ${\displaystyle \pi /2-\gamma }$، تغيير إشارة: ${\displaystyle \cos \gamma }$ تصبح الزاوية ${\displaystyle \gamma }$ منفرجة تجعل دراسة الحالات ضرورية.

شكل. 4أ - البرهنة بالنسبة للزوايا الحادة : « طريقة التقسيم ».

الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :

• بالوردي، lالمساحات ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ في اليسار، والمساحات ${\displaystyle 2ab\cos \gamma }$ و${\displaystyle c^{2}}$ في اليمين ;
• بالأزرق، المثلث ABC، في اليمين كما في اليسار ;
• بالرمادي، بعض المثلثات الإضافية، متطابقة مع المثلث ABC وبنفس العدد في التقسيمين.

تساوي المساحات في اليمين واليسار يعطي

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma }$.

شكل. 4ب - البرهنة بالنسبة للزوايا المنفرجة : « طريقة التقسيم ».

الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين

• بالوردي، المساحات ${\displaystyle a^{2}}$, ${\displaystyle b^{2}}$ و${\displaystyle -2ab\cos \gamma }$ في اليسار، والمساحات ${\displaystyle c^{2}}$ في اليمين ;
• بالأزرق، مرتين المثلث ABC، في اليمين كما في اليسار.

تساوي المساحتين يمينا ويسارا يعطي

${\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}}$.

شكل. 5 - البرهنة باستعمال العلاقات المثلثية

الشكل 5 (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع : ${\displaystyle \,c^{2}=(a\sin \gamma )^{2}+(b-a\cos \gamma )^{2}}$

بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة.

حل المثلث الكروي باستخدام قانون جيب التمام

توجد نسخ مشابهة لقانون جيب التمام للمثلثات المستوية أيضًا في كرة الوحدة (نصف قطرها يساوي 1) وفي المستوي الزائدي. في الهندسة الكروية، يعرّف المثلث بثلاث نقاط u وv، و w على كرة الوحدة، وأقواس الدوائر العظمى التي تربط تلك النقاط.  إذا كانت هذه الدوائر العظمى تصنع الزوايا A، B، و C مع الأضلاع المقابة a، b، c فإن القانون الكروي لجيب التمام ينص أن:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}}}$

في الهندسة الزائدية، تُعرف المعادلتين معًا باسم قانون جيب التمام للمثلثات الزائدية. الأولى هي:

${\displaystyle \cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A}$

حيث sinh و cosh هي دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.

والثانية هي:

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.}$

كما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، يمكن للمرء استخدام قانون جيب التمام لتحديد الزوايا A, B, C من معرفة الأضلاع a، b، c. على عكس الهندسة الإقليدية، فإن العكس ممكن أيضًا في كلا المثلثين اللاإقليديين: تحدد الزوايا A، B، C الأضلاع a، b، c.