Cómo calcular una raíz cuadrada

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Antes de que existieran las calculadoras, los maestros y estudiantes tenían que calcular las raíces cuadradas a mano. Desde entonces, han evolucionado varios métodos para resolver raíces cuadradas, en algunos se obtiene una aproximación de la raíz, mientras que en otros se obtiene el valor exacto. Continúa leyendo para aprender a encontrar manualmente la raíz cuadrada de un número utilizando operaciones sencillas.

Método 1

Método 1 de 2:
Utilizando la descomposición en factores primos

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Divide el número en sus factores cuadrados perfectos. Este método utiliza los factores del número para hallar su raíz cuadrada (dependiendo del número, la respuesta puede ser un número exacto o un valor aproximado). Los factores de un número son cualquier conjunto de números que multiplicados entre sí nos dan como resultado el número original.^{[1]
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Fuente de investigación} Por ejemplo, los factores de 8 son 2 y 4, debido a que 2 × 4 = 8. Por otro lado, los cuadrados perfectos, son números enteros que son el producto de otros números enteros. Por ejemplo, 25, 36, y 49, son cuadrados perfectos porque se pueden representar como 5², 6², y 7² respectivamente. Los factores cuadrados perfectos (como es de suponer) son los factores que a su vez son cuadrados perfectos. Para hallar la raíz cuadrada de un número a través de la descomposición en factores primos, lo primero que debes hacer es intentar reducir el número a sus factores cuadrados perfectos.
- Utilicemos un ejemplo. Vamos a hallar manualmente la raíz cuadrada de 400. Para empezar, dividimos el número en sus factores cuadrados perfectos. Ya que 400 es múltiplo de 100, sabemos que es divisible por 25, que es un cuadrado perfecto. Si lo dividimos mentalmente obtenemos que 400 dividido en 25 nos da igual a 16. 16 (casualmente) también es un cuadrado perfecto. Por lo tanto, los factores cuadrados perfectos de 400 son 25 y 16 por que 25 × 16 = 400.
- Lo escribimos de la siguiente forma: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16); el término "Sqrt" es la abreviación de raíz cuadrada y viene del inglés "square root".
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Toma las raíces cuadradas de los factores cuadrados perfectos. Las propiedades de los productos de dos raíces cuadradas nos dicen que para cualquier grupo de números a y b, Sqrt(a × b) = Sqrt(a) × Sqrt(b).^{[2]
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Fuente de investigación} Debido a esta propiedad, podemos tomar las raíces cuadradas de los factores cuadrados perfectos y multiplicarlas entre sí para obtener la respuesta a nuestro problema.
- En nuestro ejemplo, tomaremos las raíces de 25 y 16. Lo hacemos de la siguiente forma:
  - Sqrt(25 × 16)
  - Sqrt(25) × Sqrt(16)
  - 5 × 4 = 20
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Si con tu número no obtienes un factor perfecto, reduce la respuesta a términos simples. En la realidad (con mucha frecuencia) los números a los que debes sacar raíz cuadrada no serán números exactos con factores cuadrados perfectos sencillos (como el 400 que utilizamos en nuestro ejemplo). En estos casos, puede que la respuesta de la raíz no nos de un número entero. Si eso sucede, entonces se debe intentar expresar la respuesta en términos de una raíz cuadrada más pequeña, simple, y fácil de manejar. Para hacerlo, reduce el número a una combinación de factores cuadrados perfectos y factores cuadrados no perfectos, luego simplifica.
- Utilicemos la raíz cuadrada de 147 como ejemplo. 147 no puede expresarse como el producto de dos cuadrados perfectos, así que no podemos obtener un número entero como en el ejemplo anterior. Sin embargo, sí puede expresarse como el producto de un cuadrado perfecto y otro número, 49 y 3. Podemos utilizar esa información para escribir nuestra respuesta en términos simples de la siguiente forma:
  - Sqrt(147)
  - = Sqrt(49 × 3)
  - = Sqrt(49) × Sqrt(3)
  - = 7 × Sqrt(3)
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Si es necesario aproxima la respuesta. Con la raíz cuadrada expresada en términos simples, es más fácil obtener una respuesta numérica aproximada determinando el valor de las raíces cuadradas restantes y multiplicando. Una forma de realizar la aproximación es encontrar los cuadrados perfectos a ambos lados del número que se encuentra dentro de la raíz cuadrada. El valor decimal del número dentro de la raíz cuadrada está en algún lugar entre esos dos números, así que si los obtienes podrás realizar una buena aproximación.
- Retomemos nuestro ejemplo. Ya que 2² = 4 y 1² = 1, sabemos que la Sqrt (3) está entre 1 y 2, probablemente más cerca de 2 que de 1. Vamos a realizar una aproximación y diremos que Sqrt (3) es 1.7. 7 × 1.7 = 11.9 si comprobamos con la calculadora, podremos ver que obtuvimos una respuesta muy cercana a la respuesta verdadera que es 12.13.
  - Este método también funciona con números más grandes. Por ejemplo, Sqrt (35) se puede aproximar entre 5 y 6 (probablemente más cerca de 6). 5² = 25 y 6² = 36. 35 está entre 25 y 36, así que la raíz cuadrada debe estar entre 5 y 6. Ya que 35 está a un sólo número de 36, podemos decir con confianza que la raíz cuadrada está apenas por debajo de 6, en este caso diremos que es 5.9. Revisando con la calculadora observamos que la respuesta es 5.92; estábamos en lo cierto.
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También puedes reducir el número a sus factores comunes más bajos como primer paso. Encontrar los factores cuadrados perfectos no es necesario si puedes determinar fácilmente los factores primos del número (los factores que a su vez son números primos). Escribe el número en términos de sus factores comunes más bajos. Luego, busca los números primos iguales dentro de los factores. Cuando encuentres dos números primos iguales, saca ambos números de la raíz cuadrada y coloca uno de esos números por fuera de la raíz.
- Por ejemplo, vamos a encontrar la raíz cuadrada de 45 utilizando este método. Sabemos que 45 = 9 × 5 y que 9 = 3 × 3. Por lo tanto, podemos escribir nuestra raíz cuadrada en términos de esos factores de la siguiente forma Sqrt(3 × 3 × 5). Simplemente factoriza el 3 y ponlo fuera de la raíz cuadrada para obtener la respuesta en términos simples: (3)Sqrt(5). En ese punto, puedes realizar una aproximación.
- Utilicemos otro ejemplo para ilustrar mejor este método, vamos a buscar la raíz cuadrada de 88:
  - Sqrt(88)
  - = Sqrt(2 × 44)
  - = Sqrt(2 × 4 × 11)
  - = Sqrt(2 × 2 × 2 × 11). Tenemos varios 2 dentro de la raíz cuadrada. Ya que 2 es un número primo, podemos resolver para dejar un sólo 2 dentro de la raíz cuadrada.
  - = La raíz cuadrada de 88 expresada en términos simples es igual a (2) Sqrt(2 × 11) o (2) Sqrt(2) Sqrt(11). En este punto podemos aproximar Sqrt(2) y Sqrt(11) para obtener la respuesta.

Método 2

Método 2 de 2:
Encontrar una raíz cuadrada manualmente

Utilizando un algoritmo de división

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Divide en pares los dígitos del número. Este método utiliza un proceso similar a una división para encontrar la raíz cuadrada exacta del número, dígito por dígito. Aunque no es necesario, puede que te sea más fácil realizar este proceso si organizas visualmente tu lugar de trabajo y divides el número en partes más fáciles de trabajar. Primero, dibuja una línea vertical que separe tu área de trabajo en dos secciones, luego dibuja una línea horizontal más pequeña en la parte superior de la sección derecha para dividir esta sección en una sección superior más pequeña y una sección inferior más grande. Luego, separa los dígitos del número en pares, empezando desde el punto decimal. Por ejemplo, aplicando dicha regla, 79,520,789,182.47897 se convierte en "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Escribe el número en la parte superior en la sección izquierda.
- Por ejemplo, vamos a calcular la raíz cuadrada de 780.14. Dibuja dos líneas para dividir tu espacio de trabajo como se dijo anteriormente y escribe "7 80. 14" en la parte superior de la sección izquierda. No hay problema si el primer número está solo. Escribirás la respuesta (la raíz cuadrada de 780.14) en la parte superior de la sección derecha.
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Encuentra el mayor número entero n cuyo cuadrado sea menor o igual al número (o par de números) ubicado en el extremo izquierdo. Empieza con el "bloque" ubicado al extremo izquierdo del número, no importa si es un par de números o un número solo. Encuentra el mayor cuadrado perfecto que sea menor o igual a este bloque, luego toma la raíz cuadrada de dicho cuadrado perfecto. Este número será n. Escribe n en la parte superior derecha y escribe el cuadrado de n en el cuadrante inferior derecho.
- En nuestro ejemplo, el 7 es el número ubicado en el extremo izquierdo. Ya que sabemos que 2² = 4 ≤ 7 < 3² = 9, podemos decir que n = 2 por que es el número entero más grande cuyo cuadrado es menor o igual a 7. Escribe 2 en el cuadrante superior derecho. Este es el primer dígito de la respuesta. Escribe 4 (el cuadrado de 2) en el cuadrante inferior derecho. Este número será importante en nuestro próximo paso.
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Resta el número que acabas de calcular al número ubicado en el extremo izquierdo. Al igual que en una división, el próximo paso es restar el cuadrado que acabas de encontrar al número ubicado en el extremo izquierdo. Escribe este número debajo de la primera parte y réstalo, escribiendo la respuesta debajo.
- En nuestro ejemplo, escribimos 4 debajo del 7, y luego restamos La respuesta nos da 3.
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Continúa con la siguiente parte del número. Mueve el siguiente "bloque" de números al frente del número que obtuviste al resolver la resta. Luego multiplica el número en el cuadrante superior derecho por dos y escribe la respuesta en el cuadrante inferior derecho. Al lado del número que acabas de escribir, deja un espacio para realizar un problema de multiplicación que se hará en el próximo paso utilizando la forma '"_×_="'.
- En nuestro ejemplo, el próximo bloque de números es "80". Escribe "80" al lado del 3 en el cuadrante izquierdo. Luego, multiplica el número en la parte superior derecha por dos. Este número es 2, entonces obtenemos que 2 × 2 = 4. Escribe "'4"' en el cuadrante inferior derecho, seguido por _×_=.
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Llena los espacios en blanco del cuadrante derecho. Debes llenar los espacios en blanco del cuadrante derecho con el mismo número entero. Este número debe ser el número entero más grande que nos de como resultado de la multiplicación en el cuadrante derecho un número menor o igual al número que se encuentra en el cuadrante izquierdo.
- En nuestro ejemplo, si ponemos un 8 en los espacios en blanco, obtenemos que 4(8) × 8 = 48 × 8 = 384. 384 es un número mayor que 380. Por lo tanto, 8 es un número muy grande, pero el 7 probablemente sirva. Escribe 7 en los espacios en blanco y realiza la operación: 4(7) × 7 = 329. Podemos utilizar el 7 porque 329 es menor que 380. Escribe el 7 en el cuadrante superior derecho. Este es el segundo dígito de la raíz cuadrada de 780.14.
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Resta el número que obtuviste del número que se encuentra en el cuadrante izquierdo. Continúa aplicando y resolviendo el algoritmo. Toma el resultado de la multiplicación del cuadrante derecho y réstalo del número que se encuentra a la izquierda, escribiendo la respuesta a dicha resta debajo del número.
- En nuestro ejemplo, vamos a restar 329 de 380, lo cual da como resultado 51.
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Repite el paso 4. Baja el próximo bloque de números. Cuando llegues al punto decimal del número, escribe un punto decimal en la respuesta del cuadrante superior derecho. Luego, multiplica el número en la parte superior derecha por 2 y escríbelo al lado del espacio en blanco del sistema de multiplicación ("_ × _") como se hizo anteriormente.
- En nuestro ejemplo, ya que nos encontramos con el punto decimal de 780.14, debemos escribir el punto decimal después del último número de nuestra respuesta actual en la parte superior derecha. Luego, baja el otro bloque de números (14) en el cuadrante izquierdo. El número de la parte superior derecha (27) multiplicado por 2 nos da 54, así que escribe "54 _×_=" en el cuadrante inferior derecho.
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Repite el paso 5 y 6. Encuentra el mayor número entero que nos de como un respuesta un número mayor o igual al número de la izquierda, para ponerlo en el espacio en blanco. Luego, realiza la operación.
- En este caso, 549 × 9 = 4941, el cual es un número menor o igual que el número de la izquierda (5114). 549 × 10 = 5490, el cual es un número mayor que 5114; por lo tanto 9 es el número que utilizaremos para llenar los espacios en blancos. Escribe 9 como siguiente dígito en el cuadrante superior derecho y resta el resultado de la multiplicación al número de la izquierda: 5114 menos 4941 es 173.
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Para seguir calculando dígitos, añade un par de ceros en el cuadrante izquierdo, y repite los pasos 4, 5, y 6. Para mayor precisión, continúa repitiendo el proceso para hallar más decimales en la respuesta. Repite el proceso hasta que halles una respuesta exacta o hasta que halles el número de decimales que deseas.

Entiende cómo funciona el proceso

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Piensa en el número al que quieres sacarle raíz cuadrada como el área S de un cuadrado. Debido a que el área de un cuadrado es igual a L², donde L es la longitud de uno de sus lados, cuando intentas calcular la raíz cuadrada del número, lo que intentas calcular es la longitud del lado L del cuadrado.
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Asigna letras para expresar cada dígito de la respuesta. Asigna la variable A al primer dígito de L (la raíz cuadrada que se intenta calcular). La letra B será el segundo dígito, la letra C será el tercero, y así sucesivamente.
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Asigna letras para cada "bloque" de números. Asigna la variable S_a al primer par de dígitos de S (el número inicial), S_b al segundo par de dígitos, etc.
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Entiende la forma en la que este método se conecta con la división. Este método para hallar la raíz cuadrada de un número es básicamente un problema de división que divide el número por su raíz cuadrada, lo que nos da como respuesta su raíz cuadrada. Similar a un problema de división (en el cual se trabaja con un dígito al mismo tiempo), aquí se trabaja de a dos dígitos al mismo tiempo (los cuales corresponden al próximo dígito de la raíz cuadrada).
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Encuentra el número más grande cuyo cuadrado sea menor o igual a S_a. El primero dígito A en nuestra respuesta es el número entero más grande cuyo cuadrado es menor o igual que S_a (lo que significa que el valor de A para A² ≤ Sa < (A+1)²). En nuestro ejemplo, S_a = 7, y 2² ≤ 7 < 3², así que A = 2.
- Ten en cuenta que si por ejemplo, quisieras dividir 88962 por 7, el primer paso sería similar: se tomaría el primero dígito de 88962 (8) y se encontraría el mayor número que multiplicado por 7, sea menor o igual a 8. Básicamente, se quiere hallar d para que 7×d ≤ 8 < 7×(d+1). En este caso, d sería igual a 1.
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Visualiza el cuadrado junto con su área. La respuesta (la raíz cuadrada del número) es L, pues es igual a la longitud de un cuadrado con un área S (el número al que quieres sacar la raíz cuadrada). Los valores para A, B, C, representan los dígitos en el valor L. Otra forma de verlo es, para obtener una respuesta de 2 dígitos L = 10A + B, mientras que para una respuesta de 3 dígitos L = 100A + 10B + C, y así sucesivamente.
- En nuestro ejemplo, (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Recuerda que 10A + B representa nuestra respuesta L con B en la posición de unidades y A en la posición de decenas. Por ejemplo, con A = 1 y B = 2, 10A + B es igual a 12. (10A+B)² es el área de todo el cuadrado, mientras que 100A² es el área del mayor cuadrado posible dentro del propio cuadrado, B² es el área del cuadrado más pequeño, y 10A×B es el área de cada uno de los rectángulos restantes. Mediante este proceso largo y complicado, hallamos el área del cuadrado sumando las áreas de los cuadrados y rectángulos más pequeños que pueden crearse dentro del propio cuadrado.
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Resta A² de S_a. Bajar un par (S_b) de dígitos de S. S_a S_b es igual a casi toda el área del cuadrado, a la cual le acabas de restar el área del cuadrado interno más grande. La parte restante puede expresarse como el número N1, el cual obtuvimos en el paso 4 (N1 =380 en nuestro ejemplo). N1 es igual a 2×10A×B + B² (el área de los dos rectángulos más el área del cuadrado más pequeño).
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N1 = 2×10A×B + B², o también puedes escribirse como N1 = (2×10A + B) × B. En nuestro ejemplo, ya conocemos N1 (380) y A (2), así que debemos encontrar B. Probablemente B no sea un número entero, así que tienes que encontrar el mayor número entero B, para que (2×10A + B) × B ≤ N1. Así que tenemos lo siguiente: N1 < (2×10A + (B+1)) × (B+1)).
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Realiza las operaciones. Para resolver esta ecuación, multiplica A por 2, inserta la posición de las decenas (lo cual es el equivalente a multiplicar por 10), coloca B en la posición de unidades, y multiplica el número resultante por B. En otras palabras, resuelve (2×10A + B) × B. Esto es exactamente lo que haces en el paso 4 cuando escribes "N_×_=" (con N=2×A) en el cuadrante inferior derecho. En el paso 5, se encuentra el mayor número entero B que cumpla con (2×10A + B) × B ≤ N1.
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Resta el área (2×10A + B) × B del área total. Esto nos da como resultado el área S-(10A+B)² aún no representada (la cual utilizaremos para calcular los otros dígitos de forma similar).
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Para calcular el próximo dígito C, repite el proceso. Baja el siguiente bloque (S_c) de S para obtener N2 a la izquierda, y busca el mayor entero S para que (2×10×(10A+B)+C) × C ≤ N2 (lo que equivale a escribir el número de dos dígitos "A B" por 2, seguido por "_×_=". Busca el mayor número entero que nos de como respuesta un número menor o igual a N2, y colócalo en los espacios en blanco.

Consejos

Mover el punto decimal desplazándolo dos posiciones dentro del número (factor de 100), mueve el punto decimal una posición en su raíz cuadrada (factor de 10).
En el ejemplo, 1.73 se puede considerar como un "residuo": 780.14 = 27.9² + 1.73.
Este método funciona para números en cualquier base, no solo para números en base 10 (decimal).
Siéntete libre de presentar la respuesta de la forma en la que te sientas más cómodo. Algunas personas escriben el resultado de la raíz encima del número.
Un método alternativo para hallar la raíz cuadrada de un número utilizando fracciones continuas es el siguiente: √z = √(x^2+y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + ...))). Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 780.14, el número entero cuyo cuadrado está más cerca de 780.14 es 28, por lo tanto z=780.14, x=28, y "y"=-3.86. Al resolver y llevar la aproximación a x + y/(2x) obtenemos la expresión (en términos simples) 78207/2800 o alrededor de 27.931 (1); el siguiente termino, 4374188/156607 o alrededor de 27.930986 (5) Cada término añade aproximadamente 3 decimales de precisión por encima del término anterior.

Advertencias

Asegúrate de separar los números en pares empezando desde el punto decimal. Separar 79,520,789,182.47897 como "79 52 07 89 18 2.4 78 97" nos dará como resultado un número inútil.