Cómo encontrar cualquier término de una secuencia aritmética

Una secuencia aritmética es cualquier lista de números que difieren, uno del siguiente, en una cantidad constante. Por ejemplo, la lista de números pares $0,2,4,6,8$ … es una secuencia aritmética, ya que la diferencia de un número de la lista con respecto al siguiente siempre es 2.^{[1]
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Fuente de investigación} Si sabes que vas a trabajar con una secuencia aritmética, quizá se te pida buscar el siguiente término de la lista dada. Probablemente también tengas que completar un espacio en el que falte un término. Finalmente, quizá quieras saber, por ejemplo, el término número 100, sin escribir todos los 100 términos. Con unos cuantos pasos sencillos, podrás hacer estas operaciones.

Método 1

Método 1 de 4:
Hallar el siguiente término en una secuencia aritmética

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Halla la diferencia común para la secuencia. Cuando te presenten una lista de números, quizá te digan que es una secuencia aritmética, o probablemente tengas que descubrirlo por tu cuenta. En cualquiera de los casos, el primer paso será el mismo. Elige los dos primeros términos consecutivos de la lista. Sustrae el primer término del segundo. El resultado será la diferencia común de la secuencia.^{[2]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si tienes la lista $1,4,7,10,13$ ..., sustrae $4-1$ para hallar la diferencia común de 3.
- Supongamos que tienes una lista de términos que se distribuyan de forma descendente, como $25,21,17,13$ … Aun así sustraerás el primer término del segundo para hallar la diferencia. En este caso, obtendrás $21-25=-4$ . El resultado negativo significa que la lista desciende a medida que la leas de izquierda a derecha. Siempre debes verificar que el signo de la diferencia coincida con la dirección hacia la que los números vayan.
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Verifica que la diferencia común sea constante. Hallar la diferencia común de los dos primeros términos no asegura que la lista sea una secuencia aritmética. Debes asegurarte de que la diferencia sea constante en toda la lista.^{[3]
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Fuente de investigación}. Verifica la diferencia sustrayendo dos términos consecutivos diferentes de la lista. Si el resultado es constante para uno u otros dos pares de términos, probablemente tengas una secuencia aritmética.
- Del mismo ejemplo $1,4,7,10,13$ …, escoge el segundo y el tercer término de la lista. Sustrae $7-4$ y notarás que la diferencia todavía será 3. Para confirmar, revisa un ejemplo más y sustrae $13-10$ . Descubrirás que la diferencia constante será 3. De ese modo, estarás muy seguro de trabajar con una secuencia aritmética.
- Es posible que una lista de números parezca una secuencia aritmética en base a los primeros términos y, luego, falle después de eso. Por ejemplo, considera la lista $1,2,3,6,9$ … La diferencia entre el primer y segundo término es 1 y la diferencia entre el segundo y el tercer término también lo es. Sin embargo, la diferencia entre el tercero y el cuarto término es 3. Debido a que la diferencia no es común para toda la lista, no es una secuencia aritmética.
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Añádele la diferencia común al último término dado. Hallar el siguiente término de una secuencia aritmética después de saber la diferencia común es fácil. Tan solo súmale la diferencia común al último término de la lista y conseguirás el siguiente número.
- Por ejemplo, en el ejemplo de $1,4,7,10,13$ …, para hallar el siguiente número de la lista, súmale la diferencia común de 3 al último término dado. La suma $13+3$ dará como resultado 16, el cual es el siguiente término. Puedes continuar sumando 3 para hacer la lista tan larga como quieras. Por ejemplo, la lista lucirá del siguiente modo $1,4,7,10,13,16,19,22,25$ …Puedes hacerla tan larga como desees.

Método 2

Método 2 de 4:
Hallar el término interno faltante

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Cerciórate de comenzar con una secuencia aritmética. En algunos casos, probablemente tengas una lista de números con un término faltante en el medio. Comienza, como antes, verificando que la lista sea una secuencia aritmética. Escoge cualquiera de los dos términos consecutivos y encuentra la diferencia entre ellos. Luego, verifícala comparándola con otros dos términos consecutivos de la lista. Si las diferencias son las mismas, puedes asumir que se trata de una secuencia aritmética y continuar.
- Por ejemplo, supongamos que tienes la lista $0,4$ ,___, $12,16,20$ …Comienza sustrayendo $4-0$ para hallar una diferencia de 4. Verifica la diferencia comparándola con la de otros dos términos consecutivos, como $16-12$ . La diferencia nuevamente será 4. Puedes continuar.
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Súmale la diferencia común al término que se sitúe antes del espacio en blanco. Es similar a agregar un término al final de una secuencia. Halla el término que preceda inmediatamente al espacio en la secuencia. Ese será el "último" número que conozcas. Súmale la diferencia común a ese término para hallar el número que deba ocupar el espacio en blanco.^{[4]
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Fuente de investigación}
- En el ejemplo práctico $0,4$ ,____, $12,16,20$ …, el término que preceda al espacio es 4 y la diferencia común para esa lista también lo será. Por lo tanto, suma $4+4$ para obtener 8, el cual será el número del espacio en blanco.
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Sustrae la diferencia común del término que se sitúe después del espacio. Para asegurarte de tener la respuesta correcta, verifica desde la otra dirección. Una secuencia aritmética debe avanzar de manera constante en cualquier dirección. Si avanzas de izquierda a derecha y sumas 4; harás lo opuesto y sustraerás 4 si vas en la dirección opuesta, de derecha a izquierda.
- En el ejemplo práctico $0,4$ ,___, $12,16,20$ …, el término que le siga al espacio en blanco será 12. Sustráele a ese término la diferencia común de 4 para hallar $12-4=8$ . Ese número ocupará el espacio en blanco.
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Compara los resultados. Los dos resultados que obtengas al sumar desde la parte inferior o sustraer desde la parte superior deberán coincidir. Si eso sucede, habrás encontrado el valor del término faltante. De lo contrario, deberás verificar tu trabajo. Probablemente no tengas una verdadera secuencia aritmética.
- En el ejemplo, los dos resultados de $4+4$ y $12-4$ darán como solución 8. Por lo tanto, el término faltante de esa secuencia aritmética será 8. La secuencia aritmética completa será $0,4,8,12,16,20$ …

Método 3

Método 3 de 4:
Hallar el término n-ésimo de una secuencia aritmética

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Identifica el primer término de la secuencia. No todas las secuencias comienzan con los números 0 o 1. Mira la lista de números que tengas y halla el primer término. Ese será el punto de partida, el cual se puede designar usando variables como a (1).
- Cuando se trabaja con secuencias aritméticas, es común usar la variable a (1) para designar al primer término de la secuencia. Por supuesto, puedes escoger cualquier variable que quieras y los resultados serán los mismos.
- Por ejemplo, en la secuencia $3,8,13,18$ …,el primer término es $3$ , el cual puede ser designado algebraicamente como a (1).
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Define la diferencia común como d. Halla la diferencia común para la secuencia como lo hiciste anteriormente. En el ejemplo práctico, la diferencia común será $8-3$ , cuya respuesta es 5. Verificar los otros términos de la secuencia proporcionará el mismo resultado. Anotarás esta diferencia común con la variable algebraica d.^{[5]
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Fuente de investigación}
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Usa la fórmula explícita. Una fórmula explícita es una ecuación algebraica que puedes usar para hallar cualquier término de una secuencia aritmética sin tener que escribir la lista entera. La fórmula explícita para una secuencia algebraica es $a(n)=a(1)+(n-1)d$ $a(n)=a(1)+(n-1)d$ .
- El término a (n) puede leerse como “el enésimo término de a”, donde n representa el número de la lista que quieras hallar y a (n) es el valor real de ese número. Por ejemplo, si se te pide hallar el término número 100 de una secuencia aritmética, n será 100. Ten en cuenta que, en este ejemplo, n es 100 pero a(n) será el valor del término número 100, no el número 100 en sí.
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Completa la información para solucionar el problema. Usar la fórmula explícita para tu secuencia, completa la información que sepas para determinar el término que necesites.
- Por ejemplo, en el ejemplo práctico $3,8,13,18$ …, sabemos que a (1) es el primer término 3 y la diferencia común d es 5. Supongamos que se te pida hallar el término número 100 en esa secuencia. Luego, n=100 y (n-1)=99. La fórmula explícita completa, con los datos escritos, será $a(100)=3+(99)(5)$ .La respuesta simplificada será 498, el cual es el término número 100 de esa secuencia.

Método 4

Método 4 de 4:
Usar la fórmula explícita para hallar información adicional

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Vuelve a reordenar la fórmula explícita para solucionar las otras variables. Si usas la fórmula explícita^{[6]
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Fuente de investigación} y un poco de álgebra básica, podrás hallar varios datos sobre una secuencia aritmética. En su forma original, $a(n)=a(1)+(n-1)d$ $a(n)=a(1)+(n-1)d$ , la fórmula explícita está diseñada para solucionar a_n y darte el término n de una secuencia. Sin embargo, puedes manipular esa fórmula algebraicamente y solucionar cualquiera de las variables.
- Por ejemplo, si tienes el final de una lista de números pero necesitas saber el comienzo de la secuencia, puedes ordenar la fórmula para obtener $a(1)=(n-1)d-a(n).$
- Si conoces el punto de partida de una secuencia aritmética y su final, pero necesitas saber la cantidad de términos en la lista, puedes volver a ordenar la fórmula explícita para hallar n. La fórmula lucirá de la siguiente forma $n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
- Si necesitas revisar las reglas básicas de álgebra para obtener ese resultado, revisa los wikiHows Cómo hacer ejercicios de álgebra o Cómo simplificar expresiones algebraicas.
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Halla el primer término de una secuencia aritmética. Probablemente sepas que el término número 50 de una secuencia aritmética es 300 y que los términos se incrementan a razón de 7 ( la "diferencia común"). No obstante, si quieres encontrar el primer término de la secuencia, usa la fórmula explícita revisada que soluciona a1 para hallar la respuesta.
- Usa la ecuación $a(1)=(n-1)d-a(n)$ y completa la información que conozcas. Debido a que sabes que el término número 50 es 300; entonces, n=50, n-1=49 y a(n)=300. También sabrás que la diferencia común, d, es 7. Por lo tanto, la fórmula será $a(1)=(49)(7)-300$ , lo cual da como resultado $343-300=43$ . La secuencia comienza con 43 y se incrementa en 7. Por lo tanto, lucirá así 43,50,57,64,71,78…293,300.
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Encuentra la longitud de una secuencia. Si conoces el comienzo y el final de una secuencia aritmética pero debes hallar su longitud, usa la fórmula revisada $n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1$ $n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1$ .
- Supongamos que el inicio de una secuencia aritmética dada es 100 y los números se incrementan en 13. Además, sabes que el término final es 2856. Para determinar la longitud de la secuencia, usa los términos a1=100, d=13 y a(n)=2856. Introduce estos términos en la fórmula para obtener $n={\frac {2856-100}{13}}+1$ . Después de resolver la operación, obtendrás $n={\frac {2756}{13}}+1$ , lo cual equivale a 212+1 o 213. Hay 213 términos en esa secuencia.
- Ese ejemplo de secuencia lucirá así 100, 113, 126, 139… 2843, 2856.

Advertencias

Hay diferentes tipos de secuencias numéricas. No asumas que una lista de números es una secuencia aritmética. Siempre verifica al menos dos pares de términos, o preferiblemente tres o cuatro, para determinar la diferencia común entre términos.