Cómo resolver exponentes con decimales

Resolver operaciones con exponentes es una habilidad básica que todo estudiante debe aprender en introducción al álgebra. Los exponentes que uno ve normalmente son números enteros y, en ocasiones, fracciones. Casi nunca aparecen como decimales. Cuando veas un exponente con números decimales, deberás convertirlos a una fracción. Luego, podrás usar las reglas y leyes correspondientes a operaciones exponenciales para calcular la expresión.

Parte 1

Parte 1 de 3:
Calcular un exponente decimal

1
Convierte el decimal a una fracción. Para convertir un decimal a una fracción, deberás tener en cuenta el valor posicional. El denominador de la fracción determinará el valor posicional. El numerador contendrá los dígitos de dicho decimal.^{[1]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, en el caso de la expresión exponencial $81^{0,75}$ , deberás convertir $0,75$ a una fracción. Como el decimal llega hasta el lugar de las centésimas, la fracción correspondiente será ${\frac {75}{100}}$ .
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Simplifica la fracción cuando sea posible. Como vas a calcular la raíz correspondiente al denominador de la fracción del exponente, es mejor que el denominador sea lo más pequeño posible. Para ello, hay que simplificar la fracción. Si la fracción es un número mixto (es decir, el exponente original era un decimal mayor que 1), reescríbelo como fracción impropia.
- Por ejemplo, la fracción ${\frac {75}{100}}$ se reduce a ${\frac {3}{4}}$ . Por lo tanto, $81^{0,75}=81^{\frac {3}{4}}$ .
3
Reescribe el exponente como una expresión de multiplicación. Para hacerlo, convierte el numerador en un número entero y multiplícalo por la fracción unitaria. La fracción unitaria es una fracción con el mismo denominador, pero con 1 como numerador.
- Por ejemplo, como ${\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\times 3$ , puedes reescribir la expresión exponencial como $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$ .
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Reescribe el exponente como la potencia de una potencia. Recuerda que multiplicar dos exponentes es como calcular la potencia de una potencia. Por lo tanto, $x^{\frac {1}{b}}\times a$ $x^{{{\frac {1}{b}}}}\times a$ equivale a $(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ $(x^{{{\frac {1}{b}}}})^{{a}}$ .^{[2]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$ .
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Reescribe la base como una expresión radical. Elevar un número a un exponente racional equivale a obtener la raíz correspondiente de ese número. Por lo tanto, reescribe la base y el primer exponente como una expresión radical.
- Por ejemplo, como $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}$ , puedes reescribir la expresión de la forma $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$ .^{[3]
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  Fuente de investigación}
6
Calcula la expresión radical. Recuerda que el índice (el número pequeño que va afuera del signo radical) indica la raíz que estás buscando. Si los números son complicados, la mejor forma de hacerlo es usando la función ${\sqrt[{x}]{y}}$ ${\sqrt[ {x}]{y}}$ de la calculadora científica.
- Por ejemplo, para calcular ${\sqrt[{4}]{81}}$ , es necesario determinar qué número multiplicado por sí mismo 4 veces es igual a 81. Como $3\times 3\times 3\times 3=81$ , sabes que ${\sqrt[{4}]{81}}=3$ . Por lo tanto, la expresión exponencial ahora se convertirá en $3^{3}$ .
7
Calcula el exponente restante. Ahora tendrás un número entero como exponente, así que los cálculos finales serán mucho más sencillos. Si los números son demasiado grandes, siempre puedes usar una calculadora.
- Por ejemplo, $3^{3}=3\times 3\times 3=27$ . Por lo tanto, $81^{0,75}=27$ .
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Parte 2

Parte 2 de 3:
Resolver un problema de ejemplo

1
Calcula la siguiente expresión exponencial: $256^{2,25}$ .
2
Convierte el decimal a una fracción. Como $2,25$ $2,25$ es mayor que 1, la fracción será un número mixto.
- El decimal $0,25$ es igual a ${\frac {25}{100}}$ , so $2,25=2{\frac {25}{100}}$ .
3
Simplifica la fracción de ser posible. También deberás convertir los números mixtos a fracciones impropias.
- Como ${\frac {25}{100}}$ se reduce a ${\frac {1}{4}}$ , $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$ .
- Convirtiendo a una fracción impropia, tendrás ${\frac {9}{4}}$ . Por lo tanto, $256^{2,25}=256^{\frac {9}{4}}$ .
4
Reescribe el exponente como una expresión de multiplicación. Como ${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9$ , puedes reescribir la expresión de la forma $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$ .
5
Reescribe el exponente como potencia de una potencia. De este modo, $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$ .
6
Reescribe la base como una expresión radical. $256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$ ; por lo tanto, puedes reescribir la expresión como $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$ .
7
Calcula la expresión radical. ${\sqrt[{4}]{256}}=4$ . Por lo tanto, la expresión ahora se convertirá en $(4)^{9}$ .
8
Calcula el exponente final. $(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262144$ . Por lo tanto, $256^{2,25}=262144$ .

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Parte 3

Parte 3 de 3:
Interpretar los exponentes

1
Reconoce una expresión exponencial. Las expresiones exponenciales tienen una base y un exponente. La base es el número grande de la expresión. El exponente es el número pequeño.^{[4]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, en la expresión $3^{4}$ , $3$ es la base y $4$ es el exponente.
2
Identifica las partes de una expresión exponencial. La base es el número a multiplicar. El exponente te indica cuántas veces se usará la base como factor en la expresión.^{[5]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, $3^{4}=3\times 3\times 3\times 3=81$ .
3
Identifica los exponentes racionales. Los exponentes racionales también se conocen como exponentes fraccionales. Son exponentes en forma de fracción.^{[6]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, $4^{\frac {1}{2}}$ .
4
Comprende las relaciones entre radicales y exponentes racionales. Elevar un número a la potencia de ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ equivale a calcular la raíz cuadrada del número. Así, $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$ $x^{{{\frac {1}{2}}}}={\sqrt {x}}$ . Lo mismo ocurre con otras raíces y exponentes. El denominador del exponente te indicará qué raíz hay que calcular:^{[7]
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Fuente de investigación}
- $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
- $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
- $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$
- Por ejemplo, $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$ . Sabes que 3 es la raíz cuarta de 81 ya que $3\times 3\times 3\times 3=81$
5
Aprende lo que establece la ley de los exponentes acerca de la potencia de una potencia. Esta ley establece que $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ $(x^{{a}})^{{b}}=x^{{ab}}$ . En otras palabras, elevar un exponente a otra potencia equivale a multiplicar esos dos exponentes.^{[8]
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Fuente de investigación}
- Si trabajas con exponentes racionales, esta ley se puede representar de la siguiente manera: $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ , ya que ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$ .^{[9]
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  Fuente de investigación}
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