Cómo simplificar una raíz cuadrada

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Simplificar una raíz cuadrada no es tan complicado como parece. Para hacerlo, solo tienes que factorizar el número y sacar las raíces de todos los cuadrados perfectos que encuentres del signo radical. Cuando hayas memorizado algunos cuadrados perfectos comunes y sepas cómo factorizar un número, podrás simplificar la raíz cuadrada.

Método 1

Método 1 de 3:
Simplificar una raíz cuadrada mediante la factorización

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Entiende el concepto de factorización. El objetivo de la simplificar una raíz cuadrada es volver a escribirla en una forma más comprensible y que pueda usarse en problemas matemáticos. La factorización descompone un número grande en dos o más factores más pequeños, por ejemplo, cambiar 9 en 3 x 3. Una vez que hallemos estos factores, podremos volver a escribir la raíz cuadrada en una forma más simple, en ocasiones incluso convirtiéndola en un entero normal. Por ejemplo, √9 = √(3x3) = 3. Sigue los pasos a continuación para aprender este proceso en raíces cuadradas más complicadas.
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Divide entre el número primo más pequeño posible. Si el número inferior a la raíz cuadrada es par, divídelo entre 2. Si el número es impar, divídelo entre 3. Si ninguno de estos métodos te da un número entero, baja en la lista, probando los demás números primos hasta que obtengas un número entero como resultado. Solo necesitas probar los números primos, ya que los demás tienen números primos como sus factores. Por ejemplo, no necesitas probar el número 4, pues cualquier número divisible entre 4 también lo es entre 2, lo que ya intentaste.
- 2
- 3
- 5
- 7
- 11
- 13
- 17
3
Vuelve a escribir la raíz cuadrada como un problema de multiplicación. Escribe todo debajo del signo de la raíz cuadrada y no te olvides de incluir ambos factores. Por ejemplo, si quieres simplificar √98, sigue el paso anterior para averiguar que 98 ÷ 2 = 49, de modo que 98 = 2 x 49. Vuelve a escribir "98" en la raíz cuadrada original utilizando esta información: √98 = √(2 x 49).
4
Repite con uno de los números restantes. Antes de poder simplificar la raíz cuadrada, seguimos factorizándola hasta que la hayamos descompuesto en dos partes idénticas. Esto tendrá sentido si piensas en lo que significa una raíz cuadrada: el término √(2 x 2) significa “el número que puedes multiplicar consigo mismo para que sea igual a 2 x 2”. Como es obvio, ¡este número es 2! Con este objetivo en mente, repitamos los pasos anteriores para nuestro problema √(2 x 49):
- 2 ya está factorizado al número más bajo posible (en otras palabras, es uno de esos números primos en la lista anterior). Ignorémoslo de momento y tratemos de dividir 49.
- No es posible dividir 49 entre 2, entre 3 o entre 5. Puedes probarlo por tu cuenta utilizando una calculadora o una división larga. Debido a que esto no nos da un número entero, lo ignoraremos y seguiremos intentando.
- 49 puede dividirse equitativamente entre siete. 49 ÷ 7 = 7, de modo que 49 = 7 x 7.
- Vuelve a escribir el problema: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
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Termina de simplificar al “obtener” un número entero. Una vez que hayas descompuesto el problema en dos factores idénticos, puedes convertirlo en un número entero regular fuera de la raíz cuadrada. Deja todos los demás factores dentro de la raíz cuadrada. Por ejemplo, √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).
- Incluso si es posible seguir factorizando, no es necesario hacerlo una vez que hayas encontrado dos factores idénticos. Por ejemplo, √(16) = √(4 x 4) = 4. Si siguiésemos factorizando, terminaríamos con la misma respuesta pero tendríamos que hacer más trabajo: √(16) = √(4 x 4) = √(2 x 2 x 2 x 2) = √(2 x 2)√(2 x 2) = 2 x 2 = 4.
6
Multiplica los números enteros en caso de que haya más de uno. Con algunas raíces cuadradas grandes, puedes simplificar más de una vez. Si esto sucede, multiplica los números enteros para obtener el problema final. Este es un ejemplo:
- √180 = √(2 x 90)
- √180 = √(2 x 2 x 45)
- √180 = 2√45, aunque es posible simplificarlo aún más.
- √180 = 2√(3 x 15)
- √180 = 2√(3 x 3 x 5)
- √180 = (2)(3√5)
- √180 = 6√5
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Escribe “no se puede simplificar” en caso de que no queden dos factores idénticos. Algunas raíces cuadradas ya están en la forma más simple. Si sigues factorizando hasta que cada término debajo de la raíz cuadrada sea un número primo (como se mencionó en uno de los primeros pasos) y no hay dos idénticos, entonces no hay nada que puedas hacer. ¡Es posible que te enfrentes a una pregunta trampa! Por ejemplo, tratemos de simplificar √70:
- 70 = 35 x 2, de modo que √70 = √(35 x 2)
- 35 = 7 x 5, de modo que √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
- Tres de estos números son primos, así que no pueden factorizarse aún más. Todos son diferentes, así que no hay forma de “obtener” un número entero. √70 no puede simplificarse.
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Método 2

Método 2 de 3:
Conocer los cuadrados perfectos

1
Memoriza algunos cuadrados perfectos. Si elevas un número al cuadrado o lo multiplicas por sí mismo crearás un cuadrado perfecto. Por ejemplo, 25 es un cuadrado perfecto, pues 5 x 5, o 5², es igual a 25. Si memorizas por lo menos los primeros diez cuadrados perfectos, podrás reconocer y simplificar rápidamente las raíces cuadradas perfectas. Estos son los diez primeros cuadrados perfectos:
- 1² = 1
- 2² = 4
- 3² = 9
- 4² = 16
- 5² = 25
- 6² = 36
- 7² = 49
- 8² = 64
- 9² = 81
- 10² = 100
2
Halla la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. Si reconoces un cuadrado perfecto debajo de un símbolo de raíz cuadrada, puedes convertirlo inmediatamente en su raíz cuadrada y deshacerte del signo del radical (√). Por ejemplo, si ves el número 25 debajo del signo de la raíz cuadrada, sabrás que la respuesta es 5 porque 25 es un cuadrado perfecto. Esta es la misma lista que en el paso anterior, solo que va de la raíz cuadrada hacia la respuesta:
- √1 = 1
- √4 = 2
- √9 = 3
- √16 = 4
- √25 = 5
- √36 = 6
- √49 = 7
- √64 = 8
- √81 = 9
- √100 = 10
3
Factoriza los números en cuadrados perfectos. Utiliza los cuadrados perfectos a tu beneficio cuando sigas el método de factorización o de simplificación de raíces cuadradas. Si notas una forma de factorizar un cuadrado perfecto, podrás ahorrar tiempo y esfuerzo. Estos son algunos consejos:
- √50 = √(25 x 2) = 5√2. Si los últimos dos dígitos de un número terminan en 25, 50 o 75, siempre puedes factorizar a 25.
- √1700 = √(100 x 17) = 10√17. Si los últimos dos dígitos terminan en 00, siempre puedes factorizarlo a 100.
- √72 = √(9 x 8) = 3√8. Por lo general, reconocer los múltiplos de nueve es útil. Existe un truco para esto: si todos los dígitos en un número suman nueve, entonces nueve será siempre un factor.
- √12 = √(4 x 3) = 2√3. No existe un truco especial en este punto, pero generalmente es fácil verificar si un número pequeño es divisible entre 4. Tenlo en mente cuando busques factores.
4
Factoriza un número que tenga más de un cuadrado perfecto. Si los factores del número contienen más de un cuadrado perfecto, sácalos a todos del símbolo radical. Si encontraste varios cuadrados perfectos durante el proceso de simplificación, saca todas las raíces cuadradas fuera del símbolo √ y multiplícalas. Por ejemplo, simplifiquemos √72:
- √72 = √(9 x 8)
- √72 = √(9 x 4 x 2)
- √72 = √(9) x √(4) x √(2)
- √72 = 3 x 2 x √2
- √72 = 6√2
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Método 3

Método 3 de 3:
Conocer la terminología

1
Ten en cuenta que el símbolo radical (√) es el que indica la raíz cuadrada. Por ejemplo, en el problema √25, "√" es el símbolo radical.
2
Ten en cuenta que el radicando es el número que se encuentra dentro del símbolo radical. Deberás hallar la raíz cuadrada de este número. Por ejemplo, en el caso del problema √25, “25” es el radicando.
3
Ten en cuenta que el coeficiente es el número que se encuentra fuera del símbolo radical. Este es el número por el que se multiplica la raíz cuadrada y se ubica a la derecha del símbolo √. Por ejemplo, en el caso del problema 7√2, "7" es el coeficiente.
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Ten en cuenta que un factor es un número que puede dividirse equitativamente de otro número. Por ejemplo, 2 es un factor de 8, porque 8 ÷ 4 = 2, pero 3 no es un factor de 8 pues 8÷3 da como resultado a un número entero. Como en otro ejemplo, 5 es un factor de 25 porque 5 x 5 = 25.
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Comprende el significado de simplificar una raíz cuadrada. Simplificar una raíz cuadrada simplemente significa factorizar todos los cuadrados perfectos en el radicando, moverlos a la izquierda del símbolo radical y dejar el otro factor dentro del este último. Si el número es un cuadrado perfecto, el símbolo radical desaparecerá una vez que escribas su raíz. Por ejemplo, √98 puede simplificarse a 7√2.

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Consejos

Una forma de hallar los cuadrados perfectos que se factorizan en un número es revisar la lista de los cuadrados perfectos empezando con el que está al lado del siguiente más pequeño comparado a tu radicando o con el número debajo del signo de la raíz cuadrada. Por ejemplo, si buscas el cuadrado perfecto de 27, podrías empezar en 25 y bajar por la lista hasta 16 y detenerte en 9, cuando encuentres el que sea divisible por 27.

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Advertencias

Simplificar no es lo mismo que evaluar. ¡En ningún punto de este proceso debes obtener un número decimal!
Las calculadoras pueden ser útiles para números grandes, pero mientras más practiques por tu cuenta, más fácil te será.

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