Cómo sumar y restar raíces cuadradas

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Para sumar y restar raíces cuadradas, necesitas combinar las raíces cuadradas que tengan el mismo radical. Esto significa que puedes sumar o restar 2√3 y 4√3, pero no 2√3 y 2√5. Hay muchos casos en los que realmente puedes simplificar los números dentro del radical para poder combinar términos semejantes y sumar y restar libremente las raíces cuadradas.

Parte 1

Parte 1 de 2:
Dominar los aspectos básicos

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Simplifica los términos dentro de los radicales siempre que sea posible. Para simplificar los términos dentro de los radicales, intenta factorizarlos para hallar al menos uno que sea un cuadrado perfecto, como en el caso de 25 (5 x 5) o de 9 (3 x 3). Una vez que lo hayas hecho, puedes tomar la raíz cuadrada del cuadrado perfecto y escribirla fuera del radical, dejando el factor restante dentro de este último. Para este ejemplo, trabajaremos con el problema 6√50 - 2√8 + 5√12. Los números fuera del signo del radical son los coeficientes y los que están dentro son los radicandos. Así es como puedes simplificar cada término:^{[1]
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Fuente de investigación}
- 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Aquí has factorizado el "50" convirtiéndolo en "25 x 2" y luego has sacado el "5" del cuadrado perfecto, "25" y lo colocaste fuera del radical, con el "2" restante dentro. Luego multiplicaste "5" por "6", el número que ya estaba fuera del radical, para obtener 30 como nuevo coeficiente.
- 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Aquí has factorizado el "8" convirtiéndolo en "4 x 2" y luego sacaste el "2" del cuadrado perfecto "4" y lo colocaste fuera del radical, dejando el "2" dentro. Luego multiplicaste "2" por "2", el número que ya estaba fuera del radical, para obtener 4 como coeficiente nuevo.
- 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Aquí has factorizado el "12" convirtiéndolo en "4 x 3" y luego sacaste el "2" del cuadrado perfecto "4" y lo colocaste fuera del radical, dejando el factor"3" dentro. Luego multiplicaste "2" por "5", el número que ya estaba fuera del radical, para obtener 10 como nuevo coeficiente.
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Encierra en un círculo los términos que tengan radicandos iguales. Una vez que hayas simplificado los radicandos de los términos que te dieron, terminaste con la siguiente ecuación: 30√2 - 4√2 + 10√3. Dado que solo puedes sumar o restar términos semejantes, debes encerrar en un círculo aquellos que tengan el mismo radical, los cuales en este ejemplo son 30√2 y 4√2. Puedes pensar en esto de forma similar a la suma o a la resta de fracciones, donde solo puedes sumar o restar los términos con denominadores iguales.
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Si vas a trabajar con una ecuación más grande y hay múltiples pares con radicandos iguales, entonces puedes encerrar en un círculo el primer par, subrayar el segundo, colocar un asterisco en el tercero, etc. Alinear los términos en orden te hará más fácil poder visualizar la solución.
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Suma o resta los coeficientes de los términos con radicandos iguales. Ahora todo lo que tienes que hacer es sumar o restar los coeficientes de los términos con radicandos iguales y dejar los restantes como parte de la ecuación. No combines los radicandos. La idea es que digas cuántos radicandos del mismo tipo hay en total. Los términos que no sean iguales pueden quedarse tal como están. Esto es lo que debes hacer:
- 30√2 - 4√2 + 10√3 =
- (30 - 4)√2 + 10√3 =
- 26√2 + 10√3

Parte 2

Parte 2 de 2:
Practicar más

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Resuelve el ejemplo 1. En este ejemplo, vas a sumar las siguientes raíces cuadradas: √(45) + 4√5. Esto es lo que tienes que hacer:
- Simplifica √(45). Primero, puedes factorizarlo para obtener √(9 x 5).
- Luego, puedes sacar un"3" del cuadrado perfecto "9" y convertirlo en el coeficiente del radical. De modo que √(45) = 3√5.
- Ahora, solo suma los coeficientes de ambos términos con los radicandos iguales para obtener la respuesta. 3√5 + 4√5 = 7√5
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Resuelve el ejemplo 2. En este ejemplo, el problema es el siguiente: 6√(40) - 3√(10) + √5. Esto es lo que tienes que hacer para resolverlo:
- Simplifica 6√(40). Primero, puedes factorizar "40" para obtener "4 x 10", lo que hace que 6√(40) = 6√(4 x 10).
- Luego, puedes sacar un "2" del cuadrado perfecto "3" y multiplicarlo por el coeficiente actual. Ahora tienes 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
- Multiplica ambos coeficientes para obtener 12√10.
- Ahora el problema se lee 12√10 - 3√(10) + √5. Dado que los primeros dos términos tienen el mismo radicando, puedes sustraer el segundo del primero y dejar el primero tal cual.
- Te quedas con (12-3)√10 + √5, el cual puede simplificarse a 9√10 + √5.
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Resuelve el ejemplo 3. Este ejemplo es el siguiente: 9√5 -2√3 - 4√5. Aquí, ninguno de los radicales tiene factores que sean cuadrados perfectos, así que no se puede simplificar. El primer y tercer término son radicales semejantes, de modo que sus coeficientes ya pueden combinarse (9 - 4). El radicando no se ve afectado. Los términos restantes no son semejantes, así que el problema puede simplificarse como 5√5 - 2√3.
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Resuelve el ejemplo 4. Supongamos que tienes el siguiente problema: √9 + √4 - 3√2. Esto es lo que tienes que hacer:
- Dado que √9 es igual a √(3 x 3), puedes simplificar √9 a 3.
- Dado que √4 es igual a √(2 x 2), puedes simplificar √4 a 2.
- Ahora simplemente puedes sumar 3 + 2 para obtener 5.
- Dado que 5 y 3√2 no son términos semejantes, no hay nada más que puedas hacer. Tu respuesta final es 5 - 3√2.
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Resuelve el ejemplo 5. Tratemos de sumar y restar raíces cuadradas que sean parte de una fracción. Ahora, al igual que con una fracción regular, solo puedes sumar o restar fracciones que tengan el mismo numerador o denominador. Supongamos que tienes este problema: (√2)/4 + (√2)/2. Esto es lo que tienes que hacer:
- Haz que estos términos tengan el mismo denominador. El denominador común más bajo o el que sería divisible por los denominadores "4" y "2" es "4".
- Así que para hacer que el segundo término, (√2)/2, tenga un denominador de 4, necesitas multiplicar tanto el numerador como el denominador por 2/2. (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
- Suma los numeradores de las fracciones mientras dejas el denominador tal cual. Hazlo simplemente como lo harías al sumar fracciones. (√2)/4 + (2√2)/4 = 3√2)/4.

Consejos

Siempre simplifica los radicandos que tengan factores cuadrados perfectos antes de empezar a identificar y combinar radicandos semejantes.

Advertencias

Nunca combines un integral y un radical, lo que significa que: 3 + (2x)^1/2 no puede simplificarse.
- Nota: decir que "la potencia media de (2x)" = (2x)^1/2 es simplemente otra forma de decir "raíz cuadrada de (2x)".
Nunca combines radicales no semejantes.