Cómo transponer una matriz

La transposición de una matriz es una gran herramienta que sirve para comprender mejor la estructura de una matriz. Algunas características que probablemente ya conocías sobre las matrices, como su cualidad de cuadradas y simétricas, afectan los resultados de la transposición en formas bastante obvias. La transposición también sirve a determinados propósitos, por ejemplo al expresar vectores como matrices o calcular el producto de vectores.^{[1]
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Fuente de investigación} Si tienes que lidiar con matrices complejas, hay un concepto estrechamente ligado a este tema, el de la transpuesta conjugada, que te resultará de gran ayuda para muchos problemas.

Parte 1

Parte 1 de 3:
Transponer una matriz

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Comienza con cualquier matriz. Puedes transponer cualquier matriz, independientemente de cuántas filas y columnas tenga. Sin embargo, es más común transponer matrices cuadradas, es decir, con igual número de filas que de columnas. A continuación verás una simple matriz cuadrada de ejemplo:^{[2]
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Fuente de investigación}
- Matriz A =
  1  2  3
  4  5  6
  7  8  9
2
Convierte la primera fila de la matriz en la primera columna de su transpuesta. Reescribe la primera fila de la matriz como una columna:
- Matriz transpuesta de A = A^T
- Primera columna de A^T:
  1
  2
  3
3
Repite este paso para las columnas restantes. La segunda fila de la matriz original se convertirá en la segunda columna de su transpuesta. Repite este patrón hasta transformar cada una de las filas en una columna:
- A^T =
  1  4  7
  2  5  8
  3  6  9
4
Practica con matrices no cuadradas. La transposición es exactamente la misma cuando la matriz no es cuadrada. Tienes que reescribir la primera fila como la primera columna, la segunda fila como la segunda columna y así sucesivamente. Aquí tienes un ejemplo con códigos de colores así puedes ver dónde termina cada elemento:
- Matriz Z =
  4 7 2 1
  3 9 8 6
- Matriz Z^T =
  4  3
  7  9
  2  8
  1  6
5
Expresa la transposición en términos matemáticos. El concepto es bastante simple, pero también es bueno saber cómo describirlo en términos matemáticos. No necesitas usar ninguna jerga especial más allá de la notación básica de matrices:
- Si la matriz B es una matriz m x n (m filas y n columnas), entonces la matriz transpuesta B^T es una matriz de n x m (n filas y m columnas).^{[3]
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  Fuente de investigación}
- Por cada elemento b_xy (x-ésima fila, y-ésima columna) de B, la matriz B^T tiene un elemento igual en b_yx (y-ésima fila, x-ésima columna).
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Parte 2

Parte 2 de 3:
Casos especiales

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(M^{T^)T} = M. La transpuesta de una transpuesta es la matriz original.^{[4]
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Fuente de investigación} Esto es bastante intuitivo, ya que todo lo que hace la transposición es intercambiar filas por columnas. Si vuelves a intercambiarlas, regresarás al punto de partida.
2
Dale la vuelta a una matriz cuadrada a través de su diagonal principal. Si transpones una matriz cuadrada, la matriz dará una vuelta a través de su diagonal principal. En otras palabras, los elementos de la línea diagonal (comenzando por el elemento a₁₁, hasta llegar a la esquina inferior derecha) permanecerán intactos. El resto de los elementos se moverán a través de la diagonal y terminarán a la misma distancia de ella, pero en el lado opuesto.
- Si te cuesta visualizarlo, dibuja una matriz de 4x4 en una hoja de papel. Ahora dobla la hoja sobre la diagonal principal. ¿Ves cómo se tocan los elementos a₁₄ y a₄₁? Al transponer la matriz se intercambian los lugares, al igual que cada par de elementos que se tocan entre sí al doblar la hoja.
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Transpón una matriz simétrica. Las matrices simétricas son simétricas respecto a la diagonal principal. Si usas el método de "dar la vuelta" o "doblar" que se explica en el paso anterior, inmediatamente notarás que no cambia nada. Todos los pares de elementos para los cuales intercambiaste el lugar, ya eran idénticos. ^{[5]
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Fuente de investigación} De hecho, esta es la forma estándar de definir una matriz simétrica. Si la matriz A = A^T, entonces A es simétrica.

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Parte 3

Parte 3 de 3:
Encontrar la transpuesta conjugada de una matriz compleja

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Comienza con una matriz compleja. Las matrices complejas tienen elementos con componentes reales e imaginarios. Si bien se puede realizar una transposición común de estas matrices, en la mayoría de los cálculos prácticos es necesario encontrar la transpuesta conjugada.^{[6]
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Fuente de investigación}
- Matriz C =
  2+i 3-2i
  0+i 5+0i
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Toma la conjugada compleja. La conjugada compleja cambia el signo de los componentes imaginarios sin alterar los componentes reales. Realiza esta operación en todos los elementos de la matriz.
- Conjugada compleja de C =
  2-i 3+2i
  0-i 5-0i
3
Transpón los resultados. Realiza una transposición común del resultado. La matriz que terminarás obteniendo es la transpuesta conjugada de la matriz original.
- Transpuesta conjugada de C = C^H =
  2-i 0-i
  3+2i 5-0i
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Consejos

En este artículo se emplea la notación A^T para representar a la transpuesta de A. Las notaciones A' y Ã también significan lo mismo.^{[7]
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Fuente de investigación}
En este artículo, la transpuesta conjugada de una matriz A se representa como A^H, que es la notación que más se utiliza en álgebra lineal. Los físicos cuánticos a veces utilizan A^†. Otra alternativa es A*, pero se recomienda evitarla ya que algunas fuentes utilizan ese símbolo para representar la matriz conjugada compleja.^{[8]
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Fuente de investigación}