Comment calculer l'aire d'un pentagone

Les pentagones sont des polygones à cinq côtés. Il existe plusieurs types de pentagones, ceux qu'on rencontre en cours de mathématiques sont le plus souvent des pentagones réguliers. Pour calculer l'aire d'un pentagone, il existe deux formules principales. Vous choisirez l'une ou l'autre en fonction des paramètres qui vous seront donnés lors de l'exercice.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Avec la longueur d'un côté et de l'apothème

1
Récupérez ou mesurez les longueurs du côté et de l'apothème. Ce qui suit ne s'applique qu'aux pentagones réguliers, dont les longueurs des cinq côtés sont égales. Outre la longueur du côté, il faut aussi connaitre la longueur de l'apothème. L'apothème est la longueur du segment de droite qui part du centre du pentagone et rejoint, à angle droit, le milieu d'un côté.
- L'apothème ne doit pas être confondu avec le rayon, qui part du centre et rejoint un des sommets du pentagone. Si ce sont le rayon du pentagone et la longueur de son côté qui vous sont donnés, cliquez ici pour connaitre la formule adéquate.
- Prenons comme exemple un pentagone régulier dont les côtés ont une longueur de 3 cm, l'apothème mesurant pour sa part 2 cm.
2
Divisez votre pentagone en cinq triangles. Tracez cinq lignes qui partent toutes du centre et rejoignent chacun les sommets du polygone. Vous avez à présent cinq triangles de dimensions égales.
3
Calculez l'aire d'un de ces triangles. Chacun d'eux a pour base un des cinq côtés du pentagone. La hauteur du triangle est l'apothème (pour mémoire, la hauteur d'un triangle est le segment de droite perpendiculaire à la base et rejoignant à angle droit le sommet opposé). L'aire du triangle ( $A_{t}$ $A_{t}$ ) se calcule avec la formule suivante : $A_{t}={\frac {base\times hauteur}{2}}={\frac {bh}{2}}$ $A_{t}={\frac {base\times hauteur}{2}}={\frac {bh}{2}}$ .
- Dans notre cas concret, on a : $A_{t}={\frac {3\ cm\times 2\ cm}{2}}=3\ cm^{2}$ .
4
Multipliez ensuite par cinq pour obtenir l'aire du pentagone. Nous avons divisé le pentagone en cinq triangles égaux. Pour obtenir l'aire du pentagone ( $A_{p}$ $A_{p}$ ), il nous faudra donc multiplier par cinq l'aire d'un triangle ( $A_{t}$ $A_{t}$ ).
- Dans notre exemple, $A_{p}=5\times A_{t}=5\times 3\ cm^{2}=15\ cm^{2}$ .
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Avec la longueur d'un côté

1
Notez la longueur du côté. La méthode décrite ici ne s'applique qu'aux pentagones réguliers, dont les longueurs des cinq côtés sont égales.
- Prenons comme exemple un pentagone régulier de 7 cm de côté.
2
Divisez votre pentagone en cinq triangles. Tracez cinq lignes qui partent toutes du centre et rejoignent respectivement chacun des sommets de la figure. Vous avez à présent cinq triangles de dimensions égales.
3
Divisez l'un des triangles en deux parties égales. Dans l'un des triangles, tracez une ligne qui part toujours du centre du pentagone et rejoint le point milieu de la base du triangle. Cette ligne étant perpendiculaire à la base, vous obtiendrez ainsi deux petits triangles rectangles opposés, mais de dimensions exactement identiques.
4
Considérez un de ces petits triangles. Identifiez un de ses côtés et un de ses angles.
- La longueur de la base ( $b$ ) du triangle est égale à la moitié du côté du pentagone. En appliquant les données de l'exemple, cela donnera :
  $b={\frac {7\ cm}{2}}=3,5\ cm$ .
- L'angle (noté $\alpha$ ) du sommet de chacun des cinq triangles composant un pentagone régulier est de 72º (le pentagone entier est de 360° ^{[1]
  X
  Source de recherche}). Chacun des cinq triangles ayant été divisé en 2, l'angle se trouvant vers le centre est donc de 36° (72° divisés par 2).
5
Calculez la hauteur du triangle. Celle-ci est le segment de droite qui part du centre du pentagone et rejoint, à angle droit, le milieu d'un des côtés. Pour calculer cette hauteur, il faudra passer par le calcul de la tangente, fonction trigonométrique simple ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est équivalente au quotient de la longueur du côté qui lui est opposé par celle du côté adjacent.
- Le côté opposé à l'angle de 36º est donc la base du triangle. Le côté adjacent à l'angle de 36º est la hauteur ( $h$ ) du triangle, que nous cherchons.
- On a donc : $tan(36^{\circ })={\frac {c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ oppos{\acute {e}}}{c{\hat {o}}t{\acute {e}}\ adjacent}}$ .
- Dans notre exemple, on a : $tan(36^{\circ })={\frac {3,5\ cm}{h(hauteur)}}$ .
- $h\times tan(36^{\circ })=3,5\ cm$
- $h={\frac {3,5\ cm}{tan(36^{\circ })}}={\frac {3,5\ cm}{0,726}}$
- $h\approx {4,8\ cm}$
6
Calculez l'aire du triangle. La formule de l'aire ( $A$ $A$ ) d'un triangle est : $A={\frac {bh}{2}}$ $A={\frac {bh}{2}}$ , $b$ $b$ étant la longueur de la base et $h$ $h$ celle de sa hauteur. On vient d'obtenir la hauteur, il ne nous reste plus, pour calculer l'aire du petit triangle, qu'à remplacer les valeurs littérales par les valeurs réelles.
- Dans notre exemple, l'aire d'un petit triangle est de :
  $A={\frac {bh}{2}}={\frac {3,5\ cm\times 4,8\ cm}{2}}=8,4\ cm^{2}$ .
7
Calculez l'aire du pentagone. Chacun de ces petits triangles dont nous venons de calculer l'aire correspond au dixième de l'aire du pentagone. Il nous faut donc multiplier l'aire d'un petit triangle par 10 pour obtenir l'aire totale du pentagone.
- Dans notre exemple, l'aire du pentagone ( $A_{p}$ ) est de :
  $A_{p}=8,4\ cm^{2}\times 10=84\ cm^{2}$ .
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Avec des formules définies à l'avance

1
Utilisez le périmètre et l'apothème. L'apothème est la longueur du segment de droite perpendiculaire à l'un des côtés et joignant de centre du pentagone. Si vous connaissez ces deux données, utilisez la formule suivante :
- l'aire d'un pentagone régulier est égale à : $A={\frac {P\times a}{2}}$ , $P$ est le périmètre et $a$ l'apothème ^{[3]
  X
  Source de recherche} ;
- si vous ne connaissez pas le périmètre ( $P$ ), calculez-le avec la formule suivante : $P=5\times c$ , $c$ étant la longueur d'un des côtés.
2
Utilisez la longueur du côté. Si vous ne connaissez que la longueur du côté, utilisez la formule adaptée ^{[4]
X
Source de recherche}.
- L'aire $A$ d'un pentagone régulier est égale à : $A={\frac {5c^{2}}{4tan(36^{\circ })}}$ , $c$ étant la longueur d'un des côtés,
- Si votre calculatrice n'est pas dotée de la fonction tangente (touche tan), comme $tan(36^{\circ })={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ , utilisez la même formule simplifiée : $A={\frac {5c^{2}}{4{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}$ ^{[5]
  X
  Source de recherche}.
3
Servez-vous de la formule avec le rayon du cercle circonscrit. Ce dernier passe par tous les sommets du pentagone. En effet, il est possible de calculer l'aire à partir de ce seul rayon ^{[6]
X
Source de recherche}.
- L'aire d'un pentagone régulier est égale à ${\frac {5}{2}}r^{2}sin(72^{\circ })$ , $r$ étant le rayon du cercle circonscrit au pentagone.
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Conseils

Utilisez les deux méthodes (algébrique et géométrique) pour voir si vous aboutissez au même résultat. Le plus souvent, il y a une légère différence due aux arrondissements successifs des valeurs tout au long des calculs. En tout cas, les deux résultats doivent être très proches.
Les pentagones irréguliers, avec des côtés d'inégales longueurs, sont plus difficiles à traiter. Deux méthodes : soit vous divisez le pentagone en triangles et en trapèzes, dont vous additionnez les aires, soit vous inscrivez le pentagone dans un rectangle et vous retirez de son aire celles des espaces extérieurs au pentagone. Lisez avec profit cet article.
Les formules sont issues de certaines propriétés des figures géométriques, comme on l'a vu. Si vous vous y connaissez un peu, vous trouverez rapidement les formules à partir des figures. La formule impliquant le rayon est peut-être plus complexe à retrouver (petit coup de pouce : il faut en passer par l'identité de l'angle double).
Dans nos exemples, nous avons utilisé des valeurs arrondies afin d'avoir des calculs simples. Si vous mesurez exactement telle ou telle longueur, par le jeu des opérations, vous obtiendrez des résultats (de longueur et d'aire) légèrement différents.