Comment calculer le centre de gravité

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Le centre de gravité (CG) est le point de rencontre des différentes forces permettant à un objet de tenir en équilibre. Cet équilibre se maintient, quels que soient les rotations et tours s'effectuant autour de ce point. Si vous souhaitez savoir comment calculer ce centre de gravité, vous devez, d'une part, déterminer le poids de cet objet et de tous ceux qui le composent, prendre un point de référence, puis combiner ces quantités connues dans une équation afin d'obtenir ce point. Attention ! Les images ne sont pas adaptées à la francophonie.

Partie 1

Partie 1 sur 4:
Déterminer le poids total

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Calculez le poids total de l'objet concerné. Quand vous cherchez le centre de gravité d'un objet, vous devez dans un premier temps trouver le poids de ce même objet. Par exemple, une balançoire à bascule sur laquelle vous êtes assis pèse 13 kilos. Ce jeu est parfaitement symétrique et son centre de gravité se situera exactement en son milieu. 2 enfants s'installent alors l'un en face de l'autre à chaque extrémité de la balançoire, mais ils n'ont pas le même poids. Localiser le point de gravité devient forcément plus compliqué à trouver ^{[1]
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Source de recherche}.
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Prenez le poids de chaque élément composant l'objet concerné. Calculer le centre de gravité de cette balançoire suppose tenir compte également du poids de chacun des enfants installés sur ce jeu. Prenez le poids du premier enfant, 18 kilos et du second, 27 kilos.

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Partie 2

Partie 2 sur 4:
Utiliser un point de repère

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Sélectionnez un point de repère. Ce référentiel est un point de repère placé sur la balançoire et pris au hasard. Vous pouvez prendre un point situé à l'une des extrémités de celle-ci, cette balançoire mesurant 6 mètres de long. Par exemple, choisissez un point placé à l'extrémité gauche du jeu près du premier enfant.
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Mesurez la distance qui sépare le point de référence du centre de l'objet principal, la balançoire, ainsi que celle située entre ce même point de référence et les autres éléments faisant partie intégrante de cet objet principal, en l'occurrence les deux enfants. Chaque enfant est assis à 1 mètre du bord de la balançoire. La longueur totale du jeu mesurant 6 mètres, vous diviserez cette valeur par 2 pour obtenir le centre, soit 3 mètres. Vous en déduirez les 3 distances nécessaires pour effectuer le calcul du centre de gravité de la balançoire.
- Le centre de la balançoire est à 3 mètres du point de référence.
- Le premier enfant est à 1 mètre du point de référence.
- Le second enfant est à 5 mètres du point de référence.
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Partie 3

Partie 3 sur 4:
Calculer le centre de gravité

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Multipliez chaque distance du point de repère par leur poids pour obtenir une grandeur physique appelée « moment ». Ce calcul vous donnera le moment d'inertie de chaque élément. Voici comment procéder pour trouver ces 3 moments avec l'exemple proposé.
- La balançoire, 13 kilos x 3 mètres = 39 mètres x kilos.
- Le premier enfant, 18 kilos x 1 mètre = 18 mètres x kilos.
- Le second enfant, 27 kilos x 5 mètres = 135 mètres x kilos.
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Additionnez ces 3 moments. Procédez simplement à la résolution mathématique suivante, 39 mètres x kilos + 18 mètres x kilos + 135 mètres x kilos = 192 mètres x kilos. Le moment total correspond à 192 mètres x kilos.
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Additionnez ensuite les poids de chaque élément. Vous trouverez le poids total de l'ensemble des éléments comprenant la balançoire et les deux enfants, soit 13 kilos + 18 kilos + 27 kilos = 58 kilos.
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Divisez le moment total par le poids total. Vous obtiendrez la distance de votre point de référence par rapport au centre de gravité de l'objet principal. Ainsi, faites l'opération en divisant 192 mètres x kilos par 58 kilos.
- 192 mètres x kilos ÷ 58 kilos = 3,31 mètres
- Le centre de gravité se situe à 3,31 mètres du point de référence ou à 3,31 mètres de l'extrémité gauche de la balançoire où finalement le point de repère a été placé.
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Partie 4

Partie 4 sur 4:
Contrôler le résultat

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Trouvez votre centre de gravité à l'aide d'un graphique. Si le centre de gravité à trouver se situe en dehors de la zone de l'objet sur lequel porte l'étude, votre réponse sera fausse. Vous ne devez pas prendre un seul point de repère, mais plusieurs points. Ajoutez un point de repère supplémentaire pour commencer.
- Par exemple, pour les personnes qui seront assises sur la balançoire, vous trouverez le centre de gravité forcément sur le jeu et non pas en dehors, à gauche ou à droite ou même sur une des personnes installées.
- Vous appliquerez la même logique dans les espaces à deux dimensions. Dessinez un carré suffisamment grand pour placer des éléments à l'intérieur de cette zone. Le centre de gravité se situera ainsi dans cet espace.
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Refaites vos calculs si votre réponse semble évidente. Si vous choisissez un point de repère localisé juste à une extrémité, vous situerez naturellement le centre de gravité de l'autre côté. Vous obtiendrez peut-être la bonne réponse. Néanmoins, cette approche entrainera bien souvent une réponse incorrecte. Quand vous calculez le moment, multipliez-vous un poids avec une distance ? Vous le ferez pour obtenir cette grandeur physique. Si vous additionnez ces deux valeurs, le résultat sera plus petit.
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Revoyez votre méthode si vous obtenez plusieurs centres de gravité. Tout objet ou tout ensemble d'éléments ont un seul centre de gravité. Si vous trouvez d'autres valeurs, vous n'aurez probablement pas respecté les différentes étapes et vous aurez probablement additionné les moments. Le centre de gravité est obtenu en prenant le total de ces moments puis en le divisant par le total des poids. Il n'est pas nécessaire de diviser chaque moment par chaque poids d'un même élément composant un ensemble. Chaque résultat correspondra finalement à la position de chacun de ces éléments, ce qui n'est pas l'objectif ici.
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Si votre réponse ne correspond pas à un nombre entier, il sera difficile de vérifier votre point de repère facilement. Procédez alors à un contrôle avec la méthode décrite ci-après. Dans l'exemple proposé, le résultat est égal à 3,31 mètres. Essayez d'autres valeurs se terminant par la même partie décimale, soit 0,31 comme 1,31 ou 2,31. Cette vérification confirmera le point de repère, car vos valeurs se situent sur le même axe, à gauche comme à droite. Votre réponse sera toujours correcte, quel que soit le point de référence. Vous devez simplement respecter le fait que ce point soit toujours en X = 0. L'exemple suivant illustre bien ce raisonnement.
- Résolvons le problème en prenant un point de repère à l'extrémité gauche de la balançoire. La bonne réponse étant 3,31 mètres, le centre de gravité est positionné à 3,31 de ce point de référence placé à gauche.
- Si vous prenez un nouveau point de repère, 1 mètre de moins par rapport au centre de gravité, la nouvelle valeur correspondra à 2,31. Ainsi, le centre de gravité sera à 2,31 du nouveau point de repère qui lui-même aura été déplacé par rapport au premier point de repère de 1 mètre à gauche. Le centre de gravité correspondra donc à 2,31 mètres + 1 mètre = 3,31 mètres de l'extrémité gauche. La réponse est donc identique.
- Raisonnez toujours en vous disant que toute distance déplacée vers la gauche par rapport à un point de repère conduira à soustraire une valeur et à l'inverse, tout déplacement vers la droite correspondra à une valeur positive qui s'additionnera alors au dernier point de repère.
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Assurez-vous que toutes les mesures aient été prises sur le même axe. Néanmoins, ne tenez pas compte d'une éventuelle différence de taille entre les enfants ou encore d'un positionnement debout pour l'un et assis pour l'autre. Faites comme si le niveau était identique et prenez simplement la distance qui les sépare, le résultat sera un peu moins précis, mais satisfaisant.
- Avec l'exemple de la balançoire, vous prêterez attention essentiellement aux points placés sur la planche du jeu représentant l'axe. Vous vous plongerez un peu plus tard sur une problématique à deux dimensions.
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Conseils

Si vous souhaitez trouver le point d'équilibre d'un enfant en mouvement sur une balançoire, vous pouvez vous inspirer de la formule (poids de la personne en mouvement)/(somme des poids de l'ensemble de la balançoire) = (distance du centre de gravité en mouvement)/(distance du poids de la personne en mouvement). Cette formule donnera le positionnement à l'équilibre de l'enfant entre le centre de gravité et l'instant où l'axe en mouvement, la balançoire et le poids des enfants supporteront le poids de l'enfant étudié.
Pour trouver le centre de gravité d'un élément en deux dimensions, point placé dans un repère constitué d'une abscisse et d'une ordonnée, prenez la formule des moyennes pondérées correspondant au point situé sur l'axe des abscisses (Xcg), soit Xcg = ∑xW/∑W et celui situé sur l'axe des ordonnées (Ycg), soit Ycg = ∑yW/∑W. Le point d'intersection déterminera votre centre de gravité.
Pour ceux qui sont à l'aise en mathématiques, une autre formule utilise l'intégrale suivante ( ∫ r dW / ∫ dW ) où dW représente la différentielle de poids et r le vecteur position. L'intégrale permet de résoudre une situation dans laquelle le nombre de points n'est pas connu. L'objet est donc d'une certaine façon scanné en volume et non plus en simple poids. Si vous souhaitez aller plus loin, reportez-vous aux intégrales de Stieltjes pour l'interprétation, ainsi qu'à celles de Riemann et Lebesgue.

Avertissements

Essayer d'appliquer aveuglément les formules présentées dans l'article est une erreur. Il est nécessaire de comprendre le raisonnement et les théories qui en découlent en tout premier lieu.