Comment calculer un périmètre

Par définition, le périmètre de n'importe quelle figure géométrique, régulière ou non, est la somme des longueurs de tous ses côtés. Pour un cercle, qui est une figure particulière, c'est la longueur de la ligne qui le définit. Pour bon nombre de figures, il existe une formule de calcul du périmètre qu'il suffit d'appliquer. Dans certains exercices, cela ira tout seul, car on vous donnera toutes les données, mais parfois, on ne vous donnera que quelques indications, il faudra trouver les autres. Dans ce dernier cas, vous devrez faire quelques calculs annexes avant de calculer le périmètre.

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:
Trouver le périmètre d'un rectangle

1
Apprenez la formule du périmètre d'un rectangle. La formule de calcul est la suivante : $P=2(L+l)$ $P=2(L+l)$ , $P$ $P$ étant le périmètre du rectangle, $L$ $L$ , sa longueur et $l$ $l$ , sa largeur ^{[1]
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Source de recherche}. S'il vous manquait une de ces deux données, vous seriez alors dans l'incapacité de calculer le périmètre du rectangle en question avec cette formule.
- Il existe une autre formule qui est la décomposition de la première, à savoir : $P=L+L+l+l$ , étant donné qu'un rectangle à quatre côtés, égaux deux à deux en opposition.
2
Faites l'application numérique. Étant donné que l'addition est commutative, peu importe que vous fassiez $2(L+l)$ $2(L+l)$ ou $2(l+L)$ $2(l+L)$ . La longueur et la largeur sont les mesures de deux côtés adjacents. Comme il s'agit d'un rectangle, ces deux mesures sont forcément différentes.
- Prenons l'exemple d'un rectangle de 10 cm de long sur 5 cm de large. La formule devient la suivante : $P=2(10+5)$ .
3
Additionnez la longueur et la largeur. Multipliez ensuite le résultat obtenu par 2. Vous avez remarqué que la somme est entre parenthèses, elle est donc prioritaire sur le produit par 2. Le résultat que vous obtenez alors n'est rien d'autre que le périmètre de votre rectangle.
- Reprenons notre exemple. On a :
  $P=2(5+10)$
  $P=2(15)$
  $P=30$
  Le périmètre d'un rectangle de 10 cm de long sur 5 cm de large est donc de 30 cm.
4
Utilisez la formule $P=4a$ pour le carré. Dans cette formule, $a$ $a$ est la longueur du côté du carré. Un carré étant une figure à quatre côtés d'égale longueur, le périmètre s'obtient simplement en multipliant la longueur du côté par 4 ^{[2]
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Source de recherche}.
- Prenons l'exemple d'un carré qui aurait 3 cm de côté. Pour trouver son périmètre, il suffit de poser l'équation suivante : $P=4(3)=12$ . Le périmètre de ce carré est donc de 12 cm.
5
Trouvez un périmètre en n'ayant pas tous les côtés. Dans les exercices scolaires, on ne donne pas toujours les longueurs des côtés, ce serait trop facile. Cependant, avec d'autres informations, il est quand même possible de trouver le périmètre d'un rectangle.
- Admettons qu'on vous donne la longueur (L) d'un des côtés et l'aire (A) d'un rectangle, il est possible d'en déduire la largeur (l). Il suffit de trouver le côté manquant avec la formule suivante : $A=L\times l$ ^{[3]
  X
  Source de recherche}. Remplacez deux variables, puis faites le calcul pour trouver la variable manquante. Vous aurez alors la largeur et la longueur des côtés, et vous utiliserez la formule du périmètre vue plus haut.
- Admettons que l'on vous donne la longueur (L) et la diagonale d'un rectangle, là encore il est possible d'en déduire la largeur (l) grâce au théorème de Pythagore qui établit que le carré de l'hypoténuse ( $c$ ) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ( $a$ et $b$ ), soit : $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ . Remplacez $c$ , l'hypoténuse, par la diagonale et $a$ par la longueur qu'on vous a donnée. Faites les calculs pour trouver $b$ . Vous aurez alors la largeur et la longueur des côtés, et vous utiliserez la formule du périmètre vue plus haut ^{[4]
  X
  Source de recherche}.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:
Trouver la circonférence d'un cercle

1
Apprenez la formule de la circonférence d'un cercle. La circonférence délimite certes la figure, mais est en fait le périmètre du cercle. La formule de la circonférence est la suivante : $C=2\pi r$ , $C$ étant la circonférence, $\pi$ , la constante bien connue et $r$ , le rayon. Il existe une autre formule, mais avec le diamètre ( $d$ ) : $C=\pi d$ , le rayon étant la moitié du diamètre ( $d=2r$ ) ^{[5]
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Source de recherche}.
2
Faites l'application numérique. Remplacez $r$ $r$ (ou $d$ $d$ ) par sa vraie valeur. En fonction de la valeur qu'on vous donne, rayon ou diamètre, faites attention à bien utiliser la bonne formule. De deux choses l'une dans un exercice : ou l'on vous donne la valeur du rayon ou du diamètre, ou il y a un dessin sur lequel vous pourrez mesurer la valeur qui vous intéresse. Sans rayon ou sans diamètre, il est impossible de calculer une circonférence.
- Prenons l'exemple d'un cercle ayant un rayon de 6 cm, la formule devient alors la suivante : $C=2\pi \times 6$ .
3
Multipliez le rayon par $2\pi$ . Pour un calcul à la main, prenez 3,14 comme valeur de $\pi$ $\pi$ , mais avec une calculatrice, utilisez la touche $\pi$ $\pi$ qui rendra une valeur bien plus précise. Dans tous les cas, vous obtenez après calcul la circonférence de votre cercle, en fait son périmètre.
- Reprenons notre exemple. On a donc : $C=2\pi \times 6=37,7$ . La circonférence d'un cercle de 6 cm de rayon est de 37,7 cm.
4
Trouvez la circonférence d'un cercle en ayant son aire. La formule de l'aire (A) d'un cercle est la suivante : $A=\pi r^{2}$ $A=\pi r^{{2}}$ . Comme vous avez l'aire, vous pourrez, après calcul, en déduire la valeur du rayon $r$ $r$ , laquelle vous permettra de calculer la circonférence ^{[6]
X
Source de recherche}.
- Admettons que vous ayez un cercle de 64 cm². Après l'avoir inversée, la formule de son aire se présente ainsi : $\pi r^{2}=64$ . En utilisant certaines règles d'algèbre, vous obtenez les calculs suivants :
  $\pi r^{2}=64$
  ${\frac {\pi r^{2}}{\pi }}={\frac {64}{\pi }}$
  $r^{2}=20,37$
  ${\sqrt {r^{2}}}={\sqrt {20,37}}$
  $r=4,51$
  Vous avez donc un cercle ayant un rayon d'environ 4,51 cm. Prenez cette valeur et mettez-la dans la formule de la circonférence : vous obtenez un cercle de 28,32 cm de circonférence.
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:
Trouver le périmètre d'un triangle

1
Apprenez la formule du périmètre d'un triangle. La formule du périmètre (P) est simple : $P=a+b+c$ $P=a+b+c$ , $a$ $a$ , $b$ $b$ et $c$ $c$ étant les trois côtés. Cette formule est valable, quelle que soit la nature du triangle (rectangle, équilatéral, isocèle…). Elle ne peut être utilisée que si vous avez les longueurs des trois côtés. Si jamais le triangle était équilatéral, il suffirait d'avoir un seul côté puisque les trois côtés sont égaux ^{[7]
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Source de recherche}.
- Prenons l'exemple d'un triangle qui aurait des côtés de 5, 7 et 12 cm. Pour trouver son périmètre, il suffit d'additionner les longueurs des côtés, ce qui donne : $P=5+7+12=24$ . Le périmètre d'un tel triangle serait donc de 24 cm.
2
Trouvez le périmètre d'un triangle rectangle. On supposera qu'un des côtés n'est pas donné. Au collège, il est fréquent qu'on donne ce genre d'exercice pour voir si vous maitrisez le théorème de Pythagore. Ce théorème établit la formule suivante : $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ $c^{{2}}=a^{{2}}+b^{{2}}$ , $c$ $c$ étant la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit), $a$ $a$ et $b$ $b$ étant les longueurs des deux autres côtés adjacents. Avec cette formule, il suffit ce connaitre deux valeurs pour trouver la troisième ^{[8]
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Source de recherche}.
- Prenons l'exemple d'un triangle rectangle ayant une hypoténuse de 10 cm et un côté de 6 cm, grâce à la formule de Pythagore, on peut écrire : $6^{2}+b^{2}=10^{2}$
- Trouvez $b$ :
  $36+b^{2}=100$
  $36+b^{2}-36=100-36$
  $b^{2}=64$
  ${\sqrt {b^{2}}}={\sqrt {64}}$
  $b=8$
- Vous avez à présent les longueurs des trois côtés, il ne reste plus qu'à les additionner pour obtenir le périmètre : $P=10+6+8=24$ . En conclusion, le périmètre d'un tel triangle est de 24 cm.
3
Trouvez le périmètre d'un triangle isocèle. On supposera que la longueur des deux côtés égaux n'est pas donnée. On donne ainsi souvent la base du triangle, ainsi que sa hauteur, cette dernière coupant la base à angle droit. À nouveau, vous allez devoir utiliser le théorème de Pythagore pour trouver la longueur des deux côtés manquants ^{[9]
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Source de recherche}.
- Prenons l'exemple d'un triangle isocèle ayant une hauteur de 10 cm et une base de 6 cm. En fait, la hauteur partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles, dont on connait deux dimensions, à savoir les deux côtés adjacents à l'angle droit. Le premier côté mesure 10 cm, tandis que le côté adjacent est de 3 cm (moitié de la base) : il ne manque plus que l'hypoténuse.
- En utilisant la formule de Pythagore, avec $c$ étant l'hypoténuse, vous avez l'équation suivante : $c^{2}=10^{2}+3^{2}$ .
- Faites les calculs suivants en vous aidant d'une calculatrice :
  $c^{2}=100+9$
  $c^{2}=109$
  ${\sqrt {c^{2}}}={\sqrt {109}}$
  $c=10,44$
- Rappelez-vous qu'un triangle isocèle a toujours deux côtés égaux. C'est ainsi que le périmètre d'un tel triangle est : $P=2x+b$ , $x$ étant la longueur d'un des deux côtés égaux et $b$ , la base. Dans notre exemple, nous possédons ces deux informations, si bien que la formule du périmètre de ce triangle isocèle se présente ainsi : $P=2(10,44)+6=20,88+6=26,88$ . Le périmètre d'un tel triangle est de 26,88 cm.
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:
Trouver le périmètre d'un polygone régulier

1
Trouvez la longueur de l'un des côtés. Il se peut que cette information vous soit donnée dès le départ. Si ce n'était pas le cas, mais que vous avez la longueur de l'apothème ou celle du rayon, vous pourriez retrouver celle du côté. L'apothème est la distance qui va du centre du polygone au centre de l'un quelconque des côtés, tandis que le rayon est la distance qui va du centre du polygone à un des sommets de la figure.
- Pour trouver la longueur du côté connaissant l'apothème, prenez la formule suivante : $c=2A{\text{tan}}({\frac {180}{n}})$ , $c$ étant la longueur du côté, $A$ , l'apothème et $n$ , le nombre de côtés de la figure ^{[10]
  X
  Source de recherche}.
- Pour trouver la longueur du côté connaissant le rayon, prenez la formule suivante : $c=2r{\text{sin}}({\frac {180}{n}})$ , $c$ étant la longueur du côté, $r$ , le rayon et $n$ , le nombre de côtés de la figure ^{[11]
  X
  Source de recherche}.
- Admettons que vous ayez un hexagone ayant un rayon de 5 cm, vous devez résoudre l'équation suivante :
  $c=2(5){\text{sin}}({\frac {180}{6}})$
  $c=2(5){\text{sin}}(30)$
  $c=2(5)(0,5)$
  $c=5cm$
2
Apprenez la formule du périmètre d'un polygone régulier. La formule du périmètre (P) est la suivante : $P=nc$ , $n$ étant le nombre de côtés de la figure et $c$ , la longueur d'un des côtés ^{[12]
X
Source de recherche}.
3
Faites l'application numérique. Remplacez $c$ $c$ et $n$ $n$ par leurs valeurs respectives. Multipliez ces deux valeurs et vous aurez le périmètre du polygone.
- Admettons que vous ayez un hexagone régulier dont le côté est de 5 cm, vous devrez faire : $P=(6)(5)=30$ . Son périmètre sera donc de 30 cm.
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Conseils

Pour trouver le périmètre d'un trapèze quand il vous manque les longueurs des côtés, vous devez généralement diviser le trapèze en un rectangle et deux triangles rectangles. Partant de ces deux figures simples, vous devriez trouver, moyennant quelques calculs, les longueurs des côtés du trapèze.
Pour calculer le périmètre d'un losange quand vous ignorez la longueur des côtés, il suffit de le diviser par les diagonales en triangles rectangles. Partant de là, comme vous aurez à disposition d'autres mesures, vous pourrez, en utilisant le théorème de Pythagore ou des formules trigonométriques, trouver les longueurs des côtés.