Comment dériver implicitement

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Pour un calcul de dérivée, avec une équation dans laquelle y est fonction de x (du genre y = x² -3x), il est aisé de mettre en œuvre les règles de base de la dérivation (les mathématiciens parlent de « résolution explicite »). Par contre, avec des équations plus complexes, à deux inconnues par exemple et organisées bizarrement, comme x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, il faut recourir à une approche différente. C'est là qu'intervient la technique dite de la « résolution implicite ». Si vous maitrisez les règles de la résolution explicite, alors vous pourrez facilement dériver des équations à plusieurs inconnues. On voit tout cela tout de suite !

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Dériver rapidement des équations simples

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Dérivez normalement les termes contenant x. Si vous devez dériver une équation à plusieurs inconnues comme, par exemple, x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, on peut se demander par quel bout commencer. Heureusement, la première étape de la résolution implicite est facile. Commencez par dériver les termes contenant x et les constantes, où qu'ils se trouvent dans l'équation. Dérivez de façon classique en suivant les règles de la résolution explicite. Ignorez les termes en y pour l'instant.
- Prenons un cas concret dans lequel on vous demande de dériver l'équation suivante : x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19. On remarque qu'il y a deux termes contenant x : x² et - 5x. Pour dériver cette équation, voici ce qu'il faut faire en premier :
- : : x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19
- : : (Prenez l'exposant « 2 » de x² et mettez-le en coefficient, supprimez le x de - 5x et supprimez 19 pour mettre 0)
- : : 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0
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Dérivez les termes contenant y et ajoutez « (dy/dx) » à chacun d'eux. Maintenant, dérivez les termes en y comme vous l'avez déjà fait pour les termes en x. Cependant, dans cette étape, il faut ajouter « (dy/dx) » à côté de chacun d'eux, et ce en coefficient. Ainsi, si vous dérivez y², vous obtiendrez 2y(dy/dx). Ignorez pour l'instant les termes contenant à la fois x et y.
- Si on reprend notre exemple, notre équation est devenue : 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. On peut désormais dériver les termes en y de la façon suivante :
- : : 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0
- : : (Prenez l'exposant « 2 » de y² et mettez-le en coefficient, supprimez le y de 8y, puis placez « dy/dx » à côté de chacun d'eux).
- : : 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy²= 0
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Utilisez la règle de Leibniz (ou du produit) ou celle du quotient pour les termes contenant en même temps x et y. Dériver ce genre de termes n'est pas toujours chose aisée, sauf si vous savez parfaitement utiliser les deux règles de dérivation, celle du produit et celle du quotient. Si les termes x et y sont dans une relation de produit, utilisez alors la règle du produit (qui pose que : (f × g)' = f' × g + g × f'), le terme en x devient f et celui en y, g ^{[1]
X
Source de recherche}. Par contre, si les termes en x et y sont dans une relation de quotient, utilisez la règle de dérivation du quotient (qui établit que : (f/g)' = (g × f' - g' × f)/g²), le terme en numérateur devient alors f et celui en dénominateur est g ^{[2]
X
Source de recherche}.
- Dans notre exemple, 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2xy² = 0, nous n'avons qu'un seul terme contenant en même temps x et y — 2xy². Comme x et y sont multipliés entre eux, on doit se servir de la règle du produit pour dériver comme suit :
- : : 2xy² = (2x)(y²) — posez alors f = 2x et g = y² pour avoir la formulation suivante : (f × g)' = f' × g + g × f'
- : : (f × g)' = (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'
- : : (f × g)' = (2) × (y²) + (2x) × (2y(dy/dx))
- : : (f × g)' = 2y² + 4xy(dy/dx)
- Réintégrez ce résultat dans l'équation de départ, ce qui donne : 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0
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Isolez (dy/dx). C'est presque fini ! Il ne vous reste plus qu'à trouver (dy/dx). Cela peut paraitre difficile, mais il n'en est rien — Souvenez-vous que vous pouvez mettre en facteur (dy/dx). Ainsi, a(dy/dx) + b(dy/dx) = (a + b)(dy/dx) et ce, grâce à la propriété distributive de la multiplication. L'objectif de cette mise en facteur est à terme d'isoler (dy/dx) — vous mettrez dans l'autre membre tous les autres termes non mis en facteur, puis vous diviserez ces derniers par la somme des termes qui se trouve à gauche de (dy/dx).
- Dans notre exemple, on pourrait simplifier 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0 de la façon suivante :
- : : 2x + 2y(dy/dx) - 5 + 8(dy/dx) + 2y² + 4xy(dy/dx) = 0
- : : (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0
- : : (2y + 8 + 4xy)(dy/dx) = -2y² - 2x + 5
- : : (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)
- : : (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Dériver en utilisant des techniques plus complexes

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Pour pouvoir trouver (dy/dx), il faut faire l'application numérique avec les coordonnées (x, y) d'un point. Bravo ! Vous venez de dériver implicitement avec succès votre équation — pas forcément simple pour un débutant, nous vous l'accordons ! Ainsi, pour trouver la pente (dy/dx) de la courbe en un point (x, y) de la droite, il suffit de remplacer x et y (situés à droite du signe « = ») par leurs valeurs respectives et de faire les calculs pour ((dy/dx).
- Admettons qu'on vous demande de calculer la pente de la droite (dont l'équation est celle étudiée précédemment) au point de coordonnées (3, - 4). Pour cela, on remplacera x par 3 et y par - 4, puis on fera les calculs suivants :
- : : (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2(2xy + y + 4)
- : : (dy/dx) = (-2(-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- : : (dy/dx) = (-2(16) - 6 + 5)/(2(2(3)(-4))
- : : (dy/dx) = (-32) - 6 + 5)/(2(2(-12))
- : : (dy/dx) = (-33)/(2(2(-12))
- : : (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48 = 0,6875
2
Servez-vous de la règle de dérivation en chaine pour les fonctions composées. La règle de dérivation en chaine s'avère très utile dans de nombreux problèmes de calcul différentiel (dont ceux par résolution implicite). La règle de dérivation en chaine établit que : pour une fonction composée F(x) du genre (f o g)(x), la dérivée est f'(g(x))g'(x). Comme on le voit, grâce à cette règle, il est possible de dériver implicitement chaque « élément » de la fonction, puis de réunir le tout à la fin.
- Admettons que vous ayez à dériver la partie de fonction suivante : sin(3x² + x). En fait, vous devez dériver implicitement la fonction d'équation sin(3x² + x) + y³ = 0. Si on pose sin(3x² + x) = « f(x) » et 3x² + x = « g(x) », on peut alors dériver de la façon suivante :
- : : f'(g(x))g'(x)
- : : (sin(3x² + x))' × (3x² + x)'
- : : cos(3x² + x) × (6x + 1)
- : : (6x + 1)cos(3x² + x)
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Pour des équations contenant trois inconnues, x, y et z, trouvez (dz/dx) et (dz/dy). Même si c'est peu fréquent, il peut arriver, en calcul différentiel, que vous ayez à dériver implicitement des équations contenant plus de deux inconnues. Pour chaque nouvelle inconnue, vous allez devoir trouver une dérivée supplémentaire par rapport à x. Ainsi, si vous avez à traiter une équation avec x, y et z, vous devrez trouver (dz/dy) et (dz/dx). On doit donc dériver l'équation deux fois — la première fois, par rapport à x, on insèrera (dz/dx) chaque fois qu'on dérivera un terme contenant z et la seconde fois, par rapport à y, on insèrera (dz/dy) chaque fois qu'on dérivera un terme contenant z. Après, il ne restera plus qu'à calculer (dz/dx) et (dz/dy).
- Admettons que vous ayez à dériver la fonction suivante : x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.
- En premier lieu, dérivez les termes en x en n'oubliant pas d'insérer (dz/dx). N'oubliez pas non plus d'appliquer la règle du produit quand ce sera nécessaire !
- : : x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
- : : 3x²z² + 2x³z(dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x
- : : 3x²z² + (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) - 5y⁵z = 2x
- : : (2x³z - 5xy⁵)(dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5y⁵z
- : : (dz/dx) = (2x - 3x²z² + 5y⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)
- Maintenant, faites la même chose avec les (dz/dy)
- : : x³z² - 5xy⁵z = x² + y³
- : : 2x³z(dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²
- : : (2x³z - 5xy⁵)(dz/dy) = 3y² + 25xy⁴z
- : : (dz/dy) = (3y² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)
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