Comment déterminer l'ordonnée à l'origine d'une courbe

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L'ordonnée à l'origine est celle du point d'intersection du graphe d'une équation et de l'axe des ordonnées. Dans un exercice de mathématiques, sa détermination, c'est-à-dire ses coordonnées, dépend en fait des éléments qui vous sont donnés.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Trouver l'ordonnée à l'origine avec la pente et un point

1
Inscrivez sur votre feuille la pente et les coordonnées du point. La pente est le rapport de la variation des « y » (distance verticale) sur celle des « x » (distance horizontale). Si, dans un problème, on vous donne la pente de la droite et un point de cette même droite, vous pouvez calculer l'ordonnée à l'origine. Si ce n'est pas le cas, utilisez une des autres méthodes données ici.
- 1er exemple : Soit une droite ayant une pente de 2 et passant par le point (-3,4). Trouvez l'ordonnée à l'origine de cette droite.
2
Inscrivez l'équation de la courbe sous sa forme affine. Toute droite affine a une équation de la forme $y=mx+b$ . Dans cette équation, l'inconnue est $x$ , $m$ est la pente (ou coefficient directeur) et $b$ , l'ordonnée à l'origine.
3
Remplacez $m$ par la pente donnée. Vous avez inscrit l'équation sous forme théorique, il faut maintenant remplacer $m$ $m$ par sa valeur.
- 1er exemple (suite) : $y=mx+b$ (équation théorique)
  $m=pente=2$
  $y=2x+b$ .
4
Remplacez $x$ et $y$ par les coordonnées du point. Si le point est sur la droite, ses coordonnées satisfont obligatoirement l'équation. Remplacez $x$ $x$ et $y$ $y$ par les coordonnées du point, en faisant attention à ne pas inverser $x$ $x$ et $y$ $y$ , sans quoi le résultat serait faux.
- 1er exemple (suite) : le point (3,4) est sur la droite, si bien que $x=3$ et $y=4$ .
  Placez ces valeurs dans l'équation déjà retouchée $y=2x+b$ .
  $4=2(3)+b$
5
Trouvez $b$ . Cette dernière inconnue est ce que vous cherchez, c'est-à-dire l'ordonnée à l'origine de la courbe. Pour trouver sa valeur, vous devez l'isoler d'un côté de l'équation.
- 1er exemple (suite) : $4=2(3)+b$
  $4=6+b$
  $4-6=b$ ou $b=4-6$
  $b=-2$
  L'ordonnée à l'origine de cette droite est -2.
6
Donnez les coordonnées du point d'intersection. Vous avez l'ordonnée à l'origine, il manque juste l'abscisse du point d'intersection. Comme tous les points de l'axe des ordonnées ont une abscisse de 0, alors le point d'intersection a pour coordonnées : (0, ordonnée à l'origine).
- 1er exemple (suite) : l'ordonnée à l'origine étant -2, le point d'intersection de la droite avec l'axe des « y » a pour coordonnées (0, -2).
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Trouver l'ordonnée à l'origine avec deux points

1
Inscrivez sur votre feuille les coordonnées des deux points. La méthode décrite ci-après ne fonctionne que si les deux points sont sur une même droite. Inscrivez les coordonnées sous la forme A ( $x_{A},y_{A}$ $x_{A},y_{A}$ ) et B ( $x_{B},y_{B}$ $x_{B},y_{B}$ ).
- 2e exemple : une droite affine passe par les deux points de coordonnées (1, 2) et (3, -4). Trouvez l'ordonnée à l'origine de cette droite.
2
Calculez la distance verticale et la distance horizontale. Une pente mesure la variation en hauteur pour chaque déplacement horizontal, c'est donc un rapport de variation, celui de la distance verticale à la distance horizontale
$({\frac {distance\ verticale}{distance\ horizontale}})$ $({\frac {distance\ verticale}{distance\ horizontale}})$ .
- La distance verticale, aussi appelée « variation des $y$ », s'obtient en faisant la différence des ordonnées des deux points.
- La distance horizontale, aussi appelée « variation des $x$ », s'obtient en faisant la différence des abscisses des deux points.
- 2e exemple (suite) : les ordonnées des deux points sont 2 et -4, si bien que la distance verticale qui les sépare est de : (-4) - (2) = -6.
  Les abscisses de ces deux mêmes points, et dans le même ordre, sont 1 et 3, leur distance horizontale est de : 3 - 1 = 2.
3
Divisez la distance verticale par la distance horizontale. C'est la définition même de la pente. Muni des deux différences, faites l'application numérique avec la formule : $m={\frac {distance\ verticale}{distance\ horizontale}}$ $m={\frac {distance\ verticale}{distance\ horizontale}}$ .
- 2e exemple (suite) : $pente={\frac {distance\ verticale}{distance\ horizontale}}={\frac {-6}{2}}=$ -3
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Inscrivez l'équation de la courbe sous sa forme affine. L'équation de toute droite affine peut s'écrire $y=mx+b$ , $m$ représentant la pente et $b$ , l'ordonnée à l'origine. Connaissant la pente et ayant un point de la droite, vous êtes à même de calculer $b$ .
5
Remplacez les variables par les éléments connus. Dans l'équation affine littérale, remplacez $m$ $m$ avec la pente précédemment calculée, et $x$ $x$ et $y$ $y$ par les coordonnées d'un point de la droite, celui que vous voulez, cela n'a pas d'importance.
- 2e exemple (suite) : $y=mx+b$
  La pente (m) vaut ici -3 et l'équation devient $y=-3x+b$ .
  Le point (1,2) est sur la droite, il satisfait l'équation : $2=-3(1)+b$ .
6
Trouvez $b$ . Cette dernière inconnue est l'ordonnée à l'origine. Pour trouver sa valeur, vous devez l'isoler d'un côté de l'équation, en faisant attention à faire les mêmes opérations sur les deux membres de l'équation.
- 2e exemple (suite) : $2=-3(1)+b$
  $2=-3+b$
  $b=5$
  L'ordonnée à l'origine est donc 5 et le point d'intersection de la droite et de l'axe des ordonnées a pour coordonnées (0,5).
CONSEIL D'EXPERT(E)

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco
Grace Imson est une professeure de mathématiques ayant plus de 40 ans d'expérience dans l’enseignement. Grace exerce actuellement au City College de San Francisco. Auparavant, elle était professeure au département de mathématiques de l'université Saint-Louis. Elle a enseigné cette discipline aux niveaux primaire, intermédiaire, secondaire et universitaire. Elle est titulaire d'un master en éducation avec une spécialisation en administration et supervision, délivré par l'université Saint-Louis.

Grace Imson, MA
Professeure de mathématiques au City College of San Francisco

Déterminez la pente avec deux points. Utilisez l'un des points de l'équation y = mx + b. Insérez les coordonnées de l'un des points dans l'équation où m est la pente. Ensuite, résolvez pour b, qui est l'intersection de l'axe des ordonnées (Y) de la ligne qui relie les deux points.

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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Trouver algébriquement l'ordonnée à l'origine

1
Inscrivez l'équation de la droite. Il n'est pas nécessaire de tracer le graphe d'une fonction affine pour déterminer l'ordonnée à l'origine : il suffit de faire des calculs.
- 3e exemple : quelle est l'ordonnée à l'origine de la droite $x+4y=16$ ?
- Nota bene : cette équation est celle d'une droite affine. Plus loin, nous verrons une fonction du second degré (l'inconnue est élevée à la puissance 2).
2
Remplacez $x$ par 0. L'axe des ordonnées est une ligne dont les points ont une abscisse égale à 0. En remplaçant $x$ $x$ par 0, vous trouvez l'ordonnée à l'origine.
- 3e exemple (suite) : $x+4y=16$
  $x=0$
  $0+4y=16$
  $4y=16$
3
Trouvez $y$ . Le calcul vous donnera l'ordonnée à l'origine de la courbe.
- 3e exemple (suite) : $4y=16$
  ${\frac {4y}{4}}={\frac {16}{4}}$
  $y=4$
  L'ordonnée à l'origine de la courbe est 4.
4
Tracez le graphe de la fonction. Si vous avez le temps, tracez la courbe de la fonction et voyez si celle-ci coupe bien l'axe des « y » au point que vous avez trouvé.
5
Trouvez l'ordonnée à l'origine d'une fonction du second degré. Une équation du second degré contient une inconnue au carré (souvent $x^{2}$ $x^{2}$ ). Le principe de résolution reste inchangé, mais vous allez vous retrouver avec une racine carrée qui va vous donner, selon les cas, 2, 1 ou même aucun point d'intersection avec l'axe des ordonnées.
- 4e exemple : pour trouver l'ordonnée à l'origine de la fonction $y^{2}=x+1$ , remplacez $x$ par 0 et résolvez l'équation.
  Ici, vous devez résoudre l'équation $y^{2}=0+1$ , soit $y^{2}=1$ . Pour trouver $y$ , prenez la racine carrée de deux membres et rappelez-vous qu'une racine admet toujours deux réponses : une négative et une positive.
  ${\sqrt {y^{2}}}={\sqrt {1}}$
  Il y a deux solutions : $y=1$ et $y=-1$ . Le graphe d'équation
  $y^{2}=x+1$ coupe l'axe des « y » en deux points (0,1) et (0,-1).
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Conseils

Une équation affine s'écrit différemment selon les pays et les professeurs. Certains la présentent sous la forme $y=mx+b$ , d'autres, sous la forme $y=ax+b$ . Cela ne change rien au raisonnement, non plus qu'à la résolution, ce sont juste des conventions d'écriture différentes.
Avec certaines équations un peu complexes, il faudra de toute façon parvenir à isoler $y$ dans un des membres de l'équation.
Pour le calcul de la pente, il importe de calculer les distances dans le même ordre, et peu importe que vous preniez le premier point en premier ou en second ^{[1]
X
Source de recherche}. Ainsi, la pente entre les points de coordonnées (1, 12) et (3, 7) peut se calculer ainsi :
- soit vous faites le second point moins le premier, ce qui donne :
  ${\frac {7-12}{3-1}}={\frac {-5}{2}}=-2,5$ ;
- soit vous faites l'inverse, ce qui donne : ${\frac {12-7}{1-3}}={\frac {5}{-2}}=-2,5$ . La pente est heureusement la même dans les deux cas.