Comment déterminer la surface d'un triangle isocèle

Coécrit par l'équipe de wikiHow

Un triangle isocèle est un triangle dont au moins deux côtés ont la même longueur. Les deux angles formés par chacun de ces côtés avec la base (troisième côté) sont égaux. Le sommet formé par ces deux côtés égaux se situe à l'aplomb exact du centre de la base. Pour vérifier cette dernière propriété, prenez deux crayons de longueur égale et une règle pour faire la base. SI vous déplacez le sommet, les pointes de vos crayons ne se joindront plus en un seul point. C'est cette propriété et d'autres que nous utiliserons pour calculer l'aire d'un triangle isocèle. Tout dépendra aussi des informations que vous aurez sur votre triangle.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Calculer l'aire d'un triangle isocèle en utilisant les mesures des côtés

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Revoyez ce qu'est l'aire d'un parallélogramme. Les carrés et les rectangles sont des parallélogrammes particuliers dans la mesure où leurs côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur deux à deux. La formule de calcul de l'aire (A) d'un parallélogramme est simple : c'est la longueur de la base (b) multipliée par la hauteur (h), soit $A=bh$ $A=bh$ ^{[1]
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Source de recherche}. Admettons que vous posiez un parallélogramme sur une surface horizontale, le côté qui repose sur la surface est la base. Sa hauteur est la distance de son sommet à la base. Cette hauteur se mesure toujours à angle droit de la base.
- Avec un carré ou un rectangle, la hauteur est toujours égale au côté vertical, étant donné que tous les angles de ces figures sont des angles droits.
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Comparez des triangles et des parallélogrammes. Divisez un parallélogramme en deux selon une diagonale et vous obtiendrez deux triangles identiques. À l'inverse, si vous juxtaposez deux triangles identiques, vous obtenez un parallélogramme. L'aire d'un parallélogramme est donc la somme des aires de ces deux triangles. C'est pour cette raison que la formule de l'aire du triangle est : ${\text{A}}={\frac {1}{2}}{\text{bh}}$ , la moitié de l'aire d'un parallélogramme.
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Trouvez la base du triangle isocèle. Certes, vous avez la formule classique de l'aire d'un triangle, mais pour un triangle isocèle, quel côté est la base ? Traditionnellement, c'est le côté qui n'a pas la même longueur que les autres.
- Exercice : vous avez un triangle isocèle avec des côtés de 5, 5 et 6 cm, le côté de 6 cm est donc la base de ce triangle.
- Si votre triangle présente trois côtés égaux (c'est un triangle équilatéral), prenez n'importe quel côté comme base. C'est une forme particulière de triangle isocèle, la formule de son aire est la même^{[2]
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  Source de recherche}.
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Tracez une ligne verticale. Elle ira de la base au sommet opposé et devra impérativement être à angle droit de la base : c'est la hauteur (h) du triangle. Une fois que vous aurez la valeur de h, vous serez en mesure de calculer l'aire du triangle.
- Avec un triangle isocèle, cette ligne, si elle est bien verticale, coupe automatiquement à angle droit la base en son milieu.
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Observez une des deux moitiés du triangle découpé. Cette hauteur que vous venez de tracer partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles absolument identiques. Observez l'un des deux et identifiez ses trois côtés.
- Le côté le plus court représente la moitié de la base du triangle de départ, soit ${\frac {b}{2}}$ .
- Le deuxième côté le plus court est la hauteur, h.
- L'hypoténuse, enfin, est en fait un des deux côtés identiques du triangle isocèle. Nous l'appellerons c.
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Appliquez le théorème de Pythagore. Avec un triangle rectangle abc (c étant l'hypoténuse), avec les longueurs de deux des côtés, on peut trouver celle du troisième. Le théorème de Pythagore établit que : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Moyennant un petit changement de lettres pour notre triangle isocèle, on a : $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=c^{2}$ $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=c^{2}$ .
- Vous avez certainement appris le théorème de Pythagore sous sa forme : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Dans notre cas, on transforme rapidement les lettres pour qu'il n'y ait pas de confusions.
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Trouvez la hauteur. La formule de l'aire contient certes b et h, mais vous ignorez pour l'instant la hauteur h. Isolez h d'un côté de l'équation en faisant passer les autres valeurs connues de l'autre côté, ce qui donne :
- $({\frac {b}{2}})^{2}+h^{2}=c^{2}$
  $h^{2}=c^{2}-({\frac {b}{2}})^{2}$
  $h={\sqrt {(}}c^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
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Faites l'application numérique pour la hauteur. Après avoir déterminé la formule de la hauteur, laquelle est valable pour tous les triangles isocèles, il vous suffit de remplacer b par la longueur de la base et c par la longueur d'un des côtés d'égale longueur. Il ne reste alors plus qu'à faire les calculs.
- Reprenons l'exercice précédent du triangle isocèle avec des côtés de 5, 5 et 6 cm, Partant, b = 6 et c = 5.
- Remplacez les lettres par leurs valeurs :
  $h={\sqrt {(}}s^{2}-({\frac {b}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}5^{2}-({\frac {6}{2}})^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-3^{2})$
  $h={\sqrt {(}}25-9)$
  $h={\sqrt {(}}16)$
  $h=4\ cm$
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Faites l'application numérique pour l'aire. Reprenez la formule de l'aire du triangle en remplaçant la base et la hauteur par leurs valeurs respectives. Pour rappel, cette formule est la suivante : ${\text{A}}={\frac {1}{2}}{\text{bh}}$ ${\text{A}}={\frac {1}{2}}{\text{bh}}$ . Remplacez b et h par les valeurs précédemment trouvées, puis procédez aux calculs. Cela fait, n'oubliez pas de mettre des unités carrées.
- Reprenons le triangle de 5, 5 et 6 cm, vous saviez qu'il avait une base de 6 cm et vous lui avez trouvé une hauteur de 4 cm.
- A = ½bh
  A = ½(6 cm)(4 cm) = ½(24 cm²)
  A = 12 cm²
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Exercez-vous sur un exemple plus difficile. La hauteur est souvent une racine carrée qui ne se laisse pas toujours simplifier aussi facilement. Si cela vous arrive, laissez la racine telle quelle, tout au moins pour les calculs. Si c'est possible, essayez de la simplifier. Faites-vous la main avec l'exemple qui suit.
- Exercice : quelle est l'aire d'un triangle ayant des côtés de 8, 8 et 4 cm ?
- Le plus petit côté (4 cm) sera la base de ce triangle isocèle, on l'appellera b.
- La hauteur (h) sera : $h={\sqrt {8^{2}-({\frac {4}{2}})^{2}}}$
  $={\sqrt {64-4}}$
  $={\sqrt {60}}$
- Simplifiez la racine en décomposant en un produit contenant un ou des carrés : $h={\sqrt {60}}={\sqrt {4\times 15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}$
- $A={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})$
  $=4{\sqrt {15}}\ cm^{2}$
- De deux choses l'une : ou vous laissez la réponse telle quelle ou vous calculez la racine, ce qui donne environ 15,49 cm².
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Calculer l'aire d'un triangle isocèle en utilisant la trigonométrie

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Calculez l'aire avec un seul côté et un angle. Grâce à la trigonométrie, il est possible de trouver l'aire d'un triangle isocèle, même si la mesure d'un des côtés vous manque. Prenons un exemple concret pour être plus clair, les données sont les suivantes^{[3]
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Source de recherche} :
- la longueur des deux côtés égaux (c) est de 10 cm,
- l'angle (θ), formé par ces deux côtés est de 120°.
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Divisez le triangle isocèle en deux triangles rectangles. Tracez une ligne partant du sommet opposé à la base et joignant la base à angle droit. Vous obtenez alors deux triangles rectangles, l'un à droite, l'autre à gauche.
- Cette ligne divise l'angle θ en deux. À cet endroit, l'angle formé par le côté et la ligne verticale est de ½θ, ce qui donne : (½)(120°) = 60°
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Trouvez la hauteur. Avec un triangle rectangle, utilisez les différentes fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente). Dans notre exemple, on connait l'hypoténuse (c'est le long côté) et vous recherchez la valeur de la hauteur (h), adjacente au demi-angle. Pour trouver h, il faut utiliser la fonction cosinus de l'angle, à savoir que : cos(angle) = côté adjacent / hypoténuse, ce qui donne sur notre exemple :
- cos (θ/2) = h / c
- cos (60) = h / 10
- h = 10cos (60)
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Trouvez la longueur du côté restant. Vous avez le grand côté (la hauteur), il manque le petit côté qu'on appellera x. Au vu de sa position, vous utiliserez alors la fonction sinus, à savoir que : sin(angle) = côté opposé / hypoténuse, ce qui donne sur notre exemple :
- sin (θ/2) = x / c
- sin (60) = x / 10
- x = 10sin (60)
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Comprenez ce qu'est ce x. Il s'agit, si l'on regarde le triangle isocèle de départ, de la moitié de la base du grand triangle. En conséquence, la base b de ce triangle isocèle est égale à deux fois x (b = 2 x). Cette division en deux s'explique par le côté isocèle du triangle que l'on a divisé au début de l'exercice.
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Faites l'application numérique. Reprenez la formule de l'aire et remplacez h et b par les valeurs qu'on a trouvées précédemment. Étant donné que vous avez la base et la hauteur, prenez la formule classique ${\text{A}}={\frac {1}{2}}{\text{bh}}$ ${\text{A}}={\frac {1}{2}}{\text{bh}}$ , ce qui donne :
- $A={\frac {1}{2}}bh$
  $={\frac {1}{2}}(2x)(10cos\ (60))=x(10cos\ (60))$
  $=(10sin\ (60))(10cos\ (60))$
  $=100sin\ (60)cos\ (60)$
- À l'aide de la calculatrice (réglée sur les degrés), calculez le sinus et le cosinus, puis faites-en le produit que vous multiplierez par 100, ce qui donne environ 43,3 cm². Grâce aux propriétés des sinus et des cosinus, on peut écrire : $A=100sin\ (60)cos\ (60)=50sin\ (120)$
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Servez-vous d'une formule plus pratique. Si vous avez beaucoup d'exercices à faire, il est inutile de refaire chaque fois la longue série de calculs. Il vous suffit de prendre la dernière formule. De façon empirique, à l'appui de la dernière démonstration, on peut établir la formule suivante (en fonction du côté $c$ $c$ et de l'angle $\theta$ $\theta$ )^{[4]
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Source de recherche} :
- $A={\frac {1}{2}}c^{2}sin\ \theta$
- $c$ est la longueur d'un des côtés identiques du triangle isocèle,
- $\theta$ est l'angle formé par ces deux côtés.
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Conseils

Pour un triangle isocèle rectangle (deux côtés égaux (c) et un angle droit), le calcul de l'aire est beaucoup plus simple. Vous prenez un de ces côtés égaux, vous en faites votre base, automatiquement l'autre côté de même longueur devient la hauteur : b = h = c. La formule devient la suivante : A = ½(b x h) = ½(b x b) = ½b² = ½c², c étant la longueur d'un de ces côtés égaux.
Une racine carrée admet toujours deux racines, l'une positive, l'autre négative. En géométrie, un triangle ne peut pas avoir de hauteur négative, cela n'a aucun sens : on l'abandonne donc.
Dans certains exercices concernant des triangles isocèles, on pourra vous donner, non pas les côtés égaux, mais la base et un angle. Pas de panique ! Procédez exactement comme on l'a fait précédemment : divisez le triangle en deux triangles rectangles et utilisez telle ou telle fonction trigonométrique.