Comment diviser et multiplier des fractions

Coécrit par Mario Banuelos, PhD

La multiplication de fractions est une opération simple, puisqu’il suffit de multiplier les deux numérateurs, puis les deux dénominateurs en conservant le trait de fraction. La division de deux fractions est un peu plus longue, puisqu’il faut inverser la seconde fraction et la multiplier par la première. Dans les deux cas, une fois les opérations faites, il faut, si c’est possible, simplifier la fraction pour la rendre irréductible.

Méthode 1

Méthode 1 sur 2:
Multiplier des fractions

1
Multipliez les numérateurs entre eux. Le numérateur est le nombre situé au-dessus du trait de fraction, alors que le dénominateur est celui situé en dessous. Alignez horizontalement les deux fractions, puis écrivez un signe « = » et tracez un nouveau trait de fraction. Multipliez les numérateurs et inscrivez le résultat sur le trait de fraction. Ainsi, pour multiplier ${\frac {1}{2}}$ et ${\frac {12}{48}}$ , multipliez 1 par 12, soit 12 que vous inscrivez au-dessus du trait de fraction.
2
Multipliez les dénominateurs entre eux. Faites la même chose qu’avec les numérateurs. Dans notre exemple, vous multiplierez 2 par 48, soit 96 que vous inscrirez sous le trait de fraction. Votre résultat provisoire est : ${\frac {12}{96}}$ , la fraction est réductible.
3
Simplifiez la fraction. Il ne reste plus, si c’est possible, qu’à simplifier votre résultat. Pour cela, vous devez trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) du numérateur et du dénominateur, soit le plus grand nombre capable de diviser parfaitement ces deux nombres. Vous avez ici 12 et 96 : le PGCD est 12, car il divise exactement 12 et 96. Simplifiez en haut et en bas par 12, ce qui donne : $12\div 12=1$ $12\div 12=1$ et $96\div 12=8$ $96\div 12=8$ . Votre réponse définitive est : ${\frac {1}{2}}\times {\frac {12}{48}}={\frac {1}{8}}$ ${\frac {1}{2}}\times {\frac {12}{48}}={\frac {1}{8}}$ .
- Avec notre exemple, il était aussi possible de simplifier ${\frac {12}{96}}$ par 2, ce qui donnait : ${\frac {6}{48}}$ . Les deux nombres sont encore pairs, divisez à nouveau par 2 : ${\frac {3}{24}}$ . Les deux valeurs sont aussi divisibles par 3 : ${\frac {1}{8}}$ . Le résultat est fort heureusement le même !
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Méthode 2

Méthode 2 sur 2:
Diviser des fractions

1
Prenez l’inverse de la seconde fraction. L’inverse d’une fraction s’obtient en … inversant le numérateur et le dénominateur de la seconde fraction et en transformant la division en multiplication. Vous avez à diviser ${\frac {1}{2}}$ par ${\frac {18}{20}}$ . L’inverse de ${\frac {18}{20}}$ est ${\frac {20}{18}}$ . L’opération se présente alors ainsi : ${\frac {1}{2}}\times {\frac {20}{18}}$ .
2
Multipliez les numérateurs, puis les dénominateurs. Vous voyez que vous retombez dans le cas évoqué plus haut. Multipliez les deux numérateurs, soit 1 par 20 et le numérateur de la réponse est 20. Faites de même avec les deux dénominateurs, à savoir 2 par 18, soit 36. Le résultat provisoire est donc le suivant :
${\frac {1}{2}}\times {\frac {20}{18}}={\frac {20}{36}}$ . La fraction est réductible, ne serait-ce que par 2, aussi devez-vous trouver le PGCD de 20 et 36, c’est-à-dire 4, ce qui vous donne finalement :
${\frac {1}{2}}\times {\frac {20}{18}}={\frac {5}{9}}$ .

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Conseils

Vérifiez toujours vos opérations.
Quand elle est possible, n’oubliez jamais la simplification.
Tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’une fraction : $2={\frac {2}{1}}$ .
Prenez l’habitude, avant de faire un produit de fractions, de voir si les fractions sont bien irréductibles. Ainsi, avant de faire ${\frac {8}{20}}\times {\frac {6}{12}}$ , vous vous apercevez que les deux fractions peuvent être simplifiées, la première par 4, la seconde par 6, ce qui donne un produit bien plus commode : ${\frac {2}{5}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {2}{10}}={\frac {1}{5}}$ .
Si vous n’y arrivez pas, demandez de l’aide à votre maitre ou votre professeur.
Simplifiez toujours les fractions de départ.

Avertissements

Sauf indication contraire, vous devez toujours présenter une fraction irréductible, c’est-à-dire simplifiée à sa plus simple expression.
Avec certains exercices de mathématiques, il est possible d’avoir à sa disposition deux ou trois méthodes. Ainsi, avec les divisions des fractions, certains préfèrent faire un produit en croix. En haut, c’est le produit du premier numérateur et du second dénominateur et en bas, l’inverse : ${\frac {2}{5}}\div {\frac {1}{2}}={\frac {2\times 2}{5\times 1}}={\frac {4}{5}}$ .
Pour éviter de faire des erreurs, faites les choses les unes après les autres, les calculs, puis les simplifications.