Comment résoudre une équation cubique

Une équation du troisième degré est une équation dans laquelle l'inconnue (variable) est à la puissance 3, comme dans $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ , avec $a$ non nul. Une telle équation admet, selon les cas, trois racines réelles, ou une racine réelle et deux racines complexes conjuguées. Résoudre une telle équation n'est pas simple, sauf à être rigoureux(se). Il existe en fait 3 modes de résolution : la factorisation, la liste des facteurs et les discriminants.

Méthode 1

Méthode 1 sur 3:
Résoudre une équation du troisième degré sans constante

1
Repérez la constante ( $d$ ). Les équations du troisième degré sont de la forme : $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ . Une équation du troisième degré contient $x^{3}$ $x^{3}$ , affecté ou non d'un coefficient, les autres termes ( $x^{2}$ $x^{2}$ ou $x$ $x$ ) ne sont pas, dans l'absolu, nécessaires, non plus que la constante $d$ $d$ qui, dans cette méthode, sera égale à 0 ^{[1]
X
Source de recherche}.
- Si l'équation à résoudre présente une constante (valeur numérique seule) non nulle, vous devrez utiliser une des autres méthodes évoquées ici.
- Si $a=0$ , votre équation n'est plus une équation du troisième degré ^{[2]
  X
  Source de recherche}.
2
Mettez $x$ en facteur. Comme il n'y a pas de constante, tous les termes contiennent $x$ $x$ (à des puissances diverses). Partant de ce constat, il est possible de mettre $x$ $x$ en facteur, ce qui vous donnera une équation de la forme :
$x(ax^{2}+bx+c)$ $x(ax^{2}+bx+c)$ ^{[3]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple l'équation du troisième degré
  $3x^{3}-2x^{2}+14x=0$ .
- En factorisant $x$ , votre équation sera la suivante :
  $x(3x^{2}-2x+14)=0$ .
3
Mettez en facteur l'expression du second degré (avec $x^{2}$ ). Ce n'est pas toujours possible, mais il faut s'en assurer. Pour factoriser une équation du second degré, nous vous renvoyons à cet article. Prenons un exemple concret avec $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ $x^{3}+5x^{2}-14x=0$ . Sa résolution peut s'effectuer comme suit ^{[4]
X
Source de recherche} :
- mettez $x$ en facteur : $x(x^{2}+5x-14)=0$ ;
- factorisez l'expression entre parenthèses: $x(x+7)(x-2)=0$ ;
- mettez chacun des termes égal à $0$ , ce qui donne les solutions suivantes :
  $x=0$ , $x+7=0$ et $x-2=0$ . Après calculs, $x=0$ , $x=-7$ et $x=2$ .
4
Utilisez le discriminant. Si l'expression entre parenthèses ne peut être simplifiée au premier coup d'œil, calculez le discriminant ( $\Delta$ $\Delta$ ) avec la formule : $\Delta =b^{2}-4ac$ $\Delta =b^{2}-4ac$ . Quant aux racines du polynôme, si le discriminant est positif, elles sont au nombre de deux et s'obtiennent avec la formule : ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ , dans laquelle $a$ $a$ , $b$ $b$ et $c$ $c$ sont les coefficients des puissances décroissantes ^{[5]
X
Source de recherche}.
- Reprenons l'équation précédente. Remplacez $a$ , $b$ et $c$ par leurs valeurs respectives, à savoir $3$ , $-2$ et $14$ , ce qui donne :
  
  ${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$
  
  ${\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {(4-168)}}}{6}}$
  
  ${\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}$
- Première racine possible :
  
  $x_{1}={\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}$
  
  $x_{1}={\frac {2+12,8i}{6}}$
- Seconde racine possible :
  $x_{2}={\frac {2-{\sqrt {-164}}}{6}}={\frac {2-12,8i}{6}}$
5
Regroupez vos réponses. Si une équation du second degré peut avoir 2 racines, comme cela vient d'être démontré, une équation du troisième degré peut en avoir 3. La troisième racine de notre équation du troisième provient du $x$ $x$ mis en facteur au tout début de la résolution. Si $x(x^{2}+5x-14)=0$ $x(x^{2}+5x-14)=0$ , alors une des racines est $x=0$ $x=0$ . Chaque fois que vous avez une équation sans constante, une des racines est forcément 0. Ici, une racine réelle et 2 complexes conjuguées ^{[6]
X
Source de recherche}.
- Pour se résumer, l'équation $x(ax^{2}+bx+c)=0$ sera vérifiée si $x$ (première partie du produit, à gauche) est égal à 0, mais aussi pour toute valeur de $x$ qui annule l'expression du second degré (seconde partie du produit, à droite).
- Les racines de l'équation du second degré sont aussi les racines de l'équation de départ et, dans ce cas très particulier d'une équation sans constante, 0 est toujours la troisième racine de l'équation de départ.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 3:
Trouver des racines entières à partir de listes de facteurs

1
Vérifiez que la constante (d) est non nulle. Avec une équation de la forme
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ , avec $d\neq 0$ $d\neq 0$ , vous ne pourrez pas factoriser comme cela a été vu dans la première méthode : vous allez devoir utiliser la méthode qui suit ^{[7]
X
Source de recherche} !
- Prenons l'exemple de l'équation $2x^{3}+9x^{2}+13x=-6$ . Vous devez dans un premier temps regrouper tous les termes significatifs à gauche, ici en ajoutant $6$ aux deux membres de l'égalité.
- L' équation se présente ainsi : $2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0$ . Il y a une constante non nulle ( $d=6$ ), vous ne pouvez donc pas appliquer la première méthode.
2
Déterminez les facteurs de $a$ et de $d$ . C'est la première chose à faire avec ce type d'équations. Dressez la liste de toutes les valeurs qui divisent le coefficient de $x^{3}$ $x^{3}$ (conventionnellement appelé $a$ $a$ ) et celle des diviseurs de la constante (appelée $d$ $d$ ). Pour rappel, un facteur est une valeur qui divise exactement une autre valeur ^{[8]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, 6 est soit le produit de 1 par 6 ( $1\times 6$ ) soit celui de 2 par 3 ( $2\times 3$ ). En conséquence, 1, 2, 3 et 6 sont tous les facteurs de 6.
- Dans notre équation, $a=2$ et $d=6$ , les facteurs de $a$ sont 1 et 2, tandis que, nous venons de le voir, les facteurs de $d$ sont 1, 2, 3 et 6.
3
Divisez chacun des facteurs de $a$ par tous les facteurs de $d$ . Inscrivez la liste de tous ces rapports en veillant à n’en oublier aucun. Vous allez obtenir soit des entiers soit des fractions irréductibles. S'il y en a, les racines entières de votre équation du troisième degré se trouvent dans cette liste ou dans celle des opposées ^{[9]
X
Source de recherche}.
- Dans notre exemple, ramenez les deux facteurs de $a$ ( soit 1 et 2) sur chacun des facteurs de $d$ (soit 1, 2, 3 et 6). Vous obtenez, après élimination des doublons, la liste suivante : $1$ , ${\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{6}}$ , $2$ et ${\frac {2}{3}}$ . Rallongez la liste en y ajoutant les valeurs opposées, ce qui donne :
  $1$ , $-1$ , ${\frac {1}{2}}$ , $-{\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{3}}$ , $-{\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{6}}$ , $-{\frac {1}{6}}$ , $2$ , $-2$ , ${\frac {2}{3}}$ et $-{\frac {2}{3}}$ . S'il y en a, les racines entières de votre équation du troisième degré se trouvent dans cette liste.
4
Testez les entiers de la liste. Certes, c'est un peu long, mais la méthode est efficace. Dans l'équation de départ, remplacez $x$ $x$ par chacune des valeurs entières, positives, comme négatives, de votre liste et voyez quelles valeurs satisfont l'équation. À titre d'exemple, essayez avec $x=1$ $x=1$ ^{[10]
X
Source de recherche}.
- $2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6=0$ , soit $2+9+13+6=0$ , à l'évidence l'égalité n'est pas satisfaite. La valeur 1 n'est pas racine de l'équation : essayez une autre valeur.
- Si vous essayez avec $x=-1$ , vous obtenez
  $(-2)+9+(-13)+6=0$ , l'équation est alors satisfaite. Cette fois, $-1$ est bien une solution entière de l'équation.
5
Pour tester les racines, utilisez la division synthétique. Cette méthode est beaucoup plus rapide que la précédente, surtout si les coefficients sont élevés. Si vous ne connaissez pas la division synthétique, lisez cet article. Pour faire simple, vous allez diviser synthétiquement l'un après l'autre, chacun des entiers de la liste par les coefficients des différents termes de l'équation, soit $a$ $a$ , $b$ $b$ , $c$ $c$ et $d$ $d$ . Si vous avez un reste égal à $0$ $0$ , alors la valeur testée est une racine de l'équation du troisième degré ^{[11]
X
Source de recherche}.
- Le principe de la division synthétique ne sera pas décrit ici, mais à l'aide de l'article mentionné plus haut, vous n'aurez aucun mal à comprendre comment vous obtenez les divisions suivantes pour notre exemple :
  
  -1 | 2 9 13 6
  
  __| -2-7-6
  
  __| 2 7 6 0
- Le reste étant $0$ , vous en tirez la conclusion que $-1$ est une racine entière de l'équation. Heureusement, cela confirme lé résultat précédent !
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Méthode 3

Méthode 3 sur 3:
Trouver des racines avec les discriminants

1
Notez tous les coefficients et la constante. Ils correspondent aux valeurs théoriques $a$ $a$ , $b$ $b$ , $c$ $c$ et $d$ $d$ . Cette méthode s'appuie en très grande partie sur ces coefficients, il est donc essentiel de pouvoir s'y référer à tout moment. Inscrivez ces quatre valeurs ( $a$ $a$ , $b$ $b$ , $c$ $c$ et $d$ $d$ ) en un lieu où vous pourrez les retrouver.
- Prenons comme exemple l'équation $x^{3}-3x^{2}+3x-1$ . Inscrivez sur votre feuille : $a=1$ , $b=-3$ , $c=3$ et $d=-1$ . Si une des puissances n'a pas de coefficient, comme $x$ ou $x^{2}$ , c'est que le coefficient est en fait 1, mais, par convention, on ne le note pas.
2
Calculez le discriminant de la dérivée de la fonction à résoudre. Cette méthode de résolution, qui, reconnaissons-le, n'est pas très simple, s'appuie sur les coefficients et sur les deux discriminants, celui de la fonction de départ et celui de sa dérivée. Pour calculer ces discriminants, vous pouvez commencer par n'importe lequel. Commençons par le plus simple, celui de la dérivée ( $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ ou $\Delta ^{\prime })$ $\Delta ^{\prime })$ . La formule est la suivante : $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$ .
- Un discriminant est une valeur qui donne des informations sur les racines possibles d'un polynôme, peut-être connaissez-vous déjà la formule du discriminant ( $\Delta$ ) des équations du second degré, à savoir : $\Delta =b^{2}-4ac$ .
- Revenons à notre exemple. Le discriminant de la dérivée se calcule comme suit :
  
  $\Delta _{0}=b^{2}-3ac$
  
  $\Delta _{0}=(-3)^{2}-3(1)(3)$
  
  $\Delta _{0}=9-3(1)(3)$
  
  $\Delta _{0}=9-9=0$
3
Calculez le discriminant de l'équation à résoudre. Appelé $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ , sa formule est la suivante : $\Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ $\Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d$ . Elle est impressionnante par sa longueur, mais son calcul est finalement assez simple, il est plus dur de la retenir. Remplacez les valeurs littérales par leurs valeurs numériques et faites les calculs.
- Avec notre équation de départ, le discriminant de l'équation à résoudre se calcule ainsi :
  
  $\Delta _{1}=2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)$
  
  $\Delta _{1}=2(-27)-9(-9)+27(-1)$
  
  $\Delta _{1}=-54+81-27$
  
  $\Delta _{1}=81-81=0$
4
Calculez le discriminant final. Sa formule se présente ainsi :
$\Delta ={\frac {(\Delta _{1})^{2}-4(\Delta _{0})^{3}}{-27a^{2}}}$ $\Delta ={\frac {(\Delta _{1})^{2}-4(\Delta _{0})^{3}}{-27a^{2}}}$ . Il est trop long d'en expliquer ici le fondement, mais remarquez qu'il fait intervenir les deux discriminants calculés précédemment, à savoir $\Delta _{0}$ $\Delta _{0}$ et $\Delta _{1}$ $\Delta _{1}$ . Si ce discriminant est positif, alors l'équation admettra trois solutions réelles. S'il est nul, l'équation admettra une ou deux solutions réelles, certaines pouvant être doubles. Enfin, s'il est négatif, l'équation n'admettra qu'une seule solution.
- Une équation du troisième degré admet toujours une solution réelle, car la courbe de la fonction associée au polynôme coupe au moins une fois l'axe des abscisses.
- Dans notre exemple, les calculs seront simples, car les deux discriminants, $\Delta _{0}$ et $\Delta _{1}$ , sont nuls. Les calculs se présentent ainsi :
  
  $\Delta ={\frac {(\Delta _{1})^{2}-4(\Delta _{0})^{3}}{-27a^{2}}}$ ;
  
  $\Delta ={\frac {(0)^{2}-4(0)^{3}}{-27(1)^{2}}}$ ;
  
  $\Delta ={\frac {0-0}{-27}}$ ;
  
  $\Delta =0$ , l'équation admet donc une racine double ou triple.
5
Calculez C. Sa formule est la suivante :
$C={\sqrt[{3}]{\left({\sqrt {(\Delta _{1})^{2}-4(\Delta _{0})^{3}}}+\Delta _{1}\right)}}\div 2$ $C={\sqrt[ {3}]{\left({\sqrt {(\Delta _{1})^{2}-4(\Delta _{0})^{3}}}+\Delta _{1}\right)}}\div 2$ . Cette valeur $C$ $C$ , dont l'explication de l'origine ne tiendrait pas ici, va servir à calculer dans l'étape suivante les racines de l'équation. La formule ne contient que les discriminants précédents. Remplacez leurs valeurs littérales, sans vous tromper, par leurs valeurs réelles.
- Dans notre exemple, $C$ se calcule comme suit :
  
  $C={\sqrt[{3}]{({\sqrt {((\Delta _{1})^{2}-4(\Delta _{0})^{3})}}+\Delta _{1})\div 2}}$
  
  $C={\sqrt[{3}]{({\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})}}+0)\div 2}}$
  
  $C={\sqrt[{3}]{({\sqrt {(0-0)}}+0)\div 2}}={\sqrt[{3}]{0}}$
  
  $C=0$
6
Calculez les trois racines de l'équation. Celles-ci sont données par la formule : ${\frac {-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))}{3a}}$ ${\frac {-(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))}{3a}}$ , avec ces précisions que
$u={\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ $u={\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ et que $n$ $n$ doit prendre, pour déterminer les trois racines ( $x_{1}$ $x_{1}$ , $x_{2}$ $x_{2}$ et $x_{3}$ $x_{3}$ ), les valeurs de 1, 2 et 3. Faites l'application numérique sans vous tromper ni dans les déterminants ni dans les coefficients. La moindre erreur conduira à des résultats faux. Sinon, résolvez l'équation du second degré découlant de la première racine.
- À l'aide de cette formule toute faite, vous allez donc pouvoir calculer chacune des racines en remplaçant successivement $n$ par 1, 2, puis 3. Les trois résultats seront vos racines qu'il faudra vérifier dans l'équation de départ : dans tous les cas, vous devrez trouver 0.
- Si vous calculez avec $n=1$ , vous allez trouver $x_{1}=1$ . Vérifions que 1 est bien une racine : $(1)^{3}-3(1)^{2}+3(1)-1=1-3+3-1=0.$ Nos calculs sont donc exacts. Il ne vous reste plus qu'à trouver les autres racines (racine triple, ici !)
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