Comment trouver n’importe quel terme d’une suite arithmétique

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Une suite arithmétique est une suite de chiffres et de nombres dont la différence entre deux termes successifs est toujours identique : c’est la raison de la suite. Ainsi, la suite de nombres pairs $0,2,4,6,8$ … est une suite arithmétique, puisque la différence entre deux termes successifs (la raison) est toujours 2. Au lycée, il est fréquent lors de l’étude des suites d’avoir à trouver le prochain terme d’une suite donnée. Un autre exercice consiste à trouver le terme manquant entre deux termes connus. Enfin, troisième type d’exercice, on vous demande de trouver, sans inscrire les termes intermédiaires, le centième (ou le énième) terme de la suite. Tous ces exercices se ressemblent et ne sont pas vraiment compliqués.

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:
Trouver le prochain terme d’une série arithmétique

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Trouvez la raison de la suite. Quand vous êtes face à une suite de nombres, soit on vous indique qu’il s’agit là d’une suite arithmétique soit vous devez le vérifier par vous-même. Lorsque vous êtes sûr d’avoir affaire à une suite, repérez les deux premiers termes, puis faites la différence entre le deuxième et le premier terme. Le résultat obtenu est la raison de la suite ^{[1]
X
Source de recherche}.
- Ainsi, admettons que vous ayez la suite suivante : $1,4,7,10,13$ … Faites $4-1$ , ce qui donne un résultat de 3 : c’est la raison de cette suite.
- Admettons à présent que vous ayez une suite décroissante, comme $25,21,17,13$ … Vous ne changez rien, vous faites la différence entre le deuxième et le premier terme, ce qui donne : $21-25=-4$ . Certes le résultat est négatif, mais cela veut simplement dire que la suite décroit. Normalement, il n’y a jamais de problème, vous devez juste faire attention au signe de la raison : cette dernière peut être positive ou négative.
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Vérifiez que la raison est valable sur l’ensemble de la suite. Ce n’est pas parce que les deux premiers termes vous donnent une raison que la suite est arithmétique. Pour vous en assurer, vous devez prendre deux autres termes consécutifs, les soustraire et voir si la raison est toujours la même. Si vous testez votre suite à deux ou trois reprises, et que vous obtenez le même résultat, il y a des chances pour que vous ayez affaire à une suite arithmétique.
- Reprenez la suite $1,4,7,10,13$ … Faites la différence entre le troisième et le deuxième terme, ce qui vous donne : 7 - 4, cela se confirme, la raison est toujours 3. Pour être plus sûr, faites la soustraction 13 - 10, le résultat est 3. Apparemment, vous travaillez sur une suite arithmétique, mais c’est à confirmer sur plusieurs autres échantillons.
- Certaines suites semblent être, au vu des premiers termes, des suites arithmétiques, mais elles n’en sont pas. Ainsi, la suite $1,2,3,6,9$ …. Les trois premiers termes semblent distants d’une même raison, à savoir 1, mais les choses changent avec les troisième et quatrième termes : la raison est de 3. Une suite avec une raison variable est certes une suite, mais elle n’est pas arithmétique, elle est autre chose.
3
Ajoutez au dernier terme la raison. Trouver le terme suivant le dernier terme donné d’une suite arithmétique est d’une grande simplicité dès lors que vous connaissez la raison de la suite. Il vous suffit d’ajouter au dernier terme donné la raison et vous obtiendrez le terme suivant.
- Reprenez la suite $1,4,7,10,13$ … déjà utilisée, trouver le terme suivant est un jeu d’enfant maintenant que vous savez que la raison est 3. Le dernier terme donné est 13, le suivant sera 16, car 13 + 3 (raison) = 16. Partant de ce principe, vous pouvez allonger la suite, ce qui va vous donner la suite $1,4,7,10,13,16,19,22,25$ …. Vous pouvez l’allonger autant que nécessaire.
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:
Trouver un terme intermédiaire dans une suite arithmétique

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Vérifiez que vous avez bien affaire à une suite arithmétique. Dans certains exercices, on vous donnera une suite de nombres dont un des termes sera absent. Avant de le trouver, vous devez vous assurer que vous avez bien en face de vous une suite arithmétique. Prenez deux termes consécutifs, faites-en la différence. Prenez les deux termes suivants et faites la même opération dans le même sens. Au besoin, faites un troisième test. Si dans tous les cas, vous trouvez le même résultat, vous pouvez vous dire que votre suite est arithmétique.
- Admettons qu’on vous donne la suite suivante : 0, 4, ___, 12, 16, 20… Faites la soustraction 4 - 0, ce qui vous donne une raison de 4. Prenez deux autres termes consécutifs et soustrayez-les. Prenons 16 - 12. La raison est de nouveau 4. La suite a des chances d’être arithmétique.
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Ajoutez au terme précédant le terme manquant la raison. C’est exactement la même technique que celle consistant à trouver le terme suivant un dernier terme. Repérez le terme qui se trouve juste avant le terme manquant et ajoutez-lui la raison de la suite. Votre résultat est le terme manquant.
- Reprenons la suite 0, 4, __, 12, 16, 20…, le terme précédant le terme manquant est 4 et la raison est aussi de 4. Donc, le terme manquant est la somme du terme précédent et de la raison, soit 8 (4 + 4).
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Soustrayez au terme suivant le terme manquant la raison. Cette opération vise juste à vérifier l’exactitude du calcul précédent. Une vraie suite arithmétique est logique dans un sens comme dans l’autre. Si les nombres d’une suite vont en augmentant de la valeur de la raison de la gauche vers la droite (ici, 4 en plus chaque fois), ils vont en décroissant de la même raison (4 en moins chaque fois) de la droite vers la gauche.
- Dans notre exemple, 0, 4, __, 12, 16, 20…, le terme immédiatement consécutif au terme manquant est 12. Ôtez 4 (la raison) de ce terme, ce qui donne : 12 - 4 = 8. Le résultat (8) est le terme manquant.
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Comparez vos résultats. Si la suite est bien arithmétique, les deux résultats obtenus, celui à partir du terme précédent et celui à partir du terme suivant, sont identiques. Si c’est bien le cas, l’exercice est terminé, sinon vérifiez d’abord vos calculs. Si vous retombez sur une différence, c’est que la suite n’est pas suite arithmétique.
- Dans notre exemple, les deux opérations (4 + 4 et 12 - 4) donnent exactement le même résultat, soit 8. C’est donc la réponse à mettre dans votre suite lacunaire, laquelle est alors la suivante : 0, 4, 8, 12, 16, 20…
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:
Trouver le énième terme d’une suite arithmétique

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Repérez le premier terme de la suite. Toutes les suites ne commencent pas par 0 ou 1. Portez une attention particulière au premier terme de la suite. C’est lui qui va en partie déterminer le calcul final : on l’appelle conventionnellement u₁.
- Certes, vous pouvez appeler ce terme comme vous voulez, mais les conventions mathématiques sont là pour que ceux qui font des mathématiques s’y retrouvent du premier coup d’œil. Si vous l’appelez autrement, vous devrez, pour ne pas faire d’erreurs, rectifier la formule de calcul en fonction de ce choix.
- Ainsi, dans la suite $3,\ 8,\ 13,\ 18$ …, le premier terme est $3$ , que nous désignerons donc sous l’appellation u₁.
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Trouvez la raison que nous appellerons r. Trouvez la raison de votre suite comme cela a été vu précédemment. Ici, il suffit de faire, par exemple, $8-3$ : la raison r est de 5. Par acquit de conscience, vérifiez que vous avez la même raison ailleurs dans la suite. L’appellation r est une convention toujours utilisée en France.
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Utilisez la bonne formule. Il existe en effet une formule qui permet de trouver le énième terme d’une longue suite arithmétique sans avoir à chercher et à écrire tous les termes précédents. Cette formule est la suivante : $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$ $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$ .
- Le terme u_n est le énième terme de la suite, étant entendu que n est la place du terme dans la suite, et u_n, sa valeur. Prenons l’exemple du calcul du centième terme d’une suite. En ce cas, n vaudra 100 (c’est la place, dans la suite, du terme à trouver), mais u₁₀₀ est, pour l’instant inconnu, car il n’a pas été calculé. En tout cas, il ne vaut pas 100.
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Faites l’application numérique. Partant de la formule littérale, il ne vous reste plus qu’à remplacer les inconnues par les valeurs que vous avez. Cela fait, vous ferez les calculs.
- Reprenons l’exemple de la suite $3,\ 8,\ 13,\ 18$ … Dans celle-ci, u₁ (premier terme de la suite) vaut 3, et la raison (r) est 5. Dans l’exercice, on vous demande de calculer la valeur du centième terme de cette suite. Dans ce cas, n = 100, et très logiquement (n - 1) = 99. Vous avez toutes les données pour calculer u₁₀₀, ce qui donne la formule : u₁₀₀ = 3 + (99)(5). Faites les calculs et vous trouvez que u₁₀₀ = 498. Le centième terme de cette suite est 498.
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:
Utiliser une même formule pour trouver diverses inconnues

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Utilisez la formule du énième terme autrement. Cette formule est une sorte d’équation que vous allez pouvoir modifier pour pouvoir répondre à différentes questions sur telle ou telle suite. Bien entendu, il faut savoir faire passer des termes d’un côté ou de l’autre du signe « = », mais c’est de l’algèbre très simple. La formule vue précédemment était : $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$ $u_{n}=u_{1}+(n-1)r$ , et servait à calculer le énième terme d’une suite de raison r. En la modifiant quelque peu, vous pourrez trouver le premier terme, la raison ou encore le nombre de termes d’une suite.
- Ainsi, supposons que dans un exercice, on vous donne le énième terme d’une suite arithmétique. Une des questions vous demande de définir le premier terme (on vous donne, bien sûr, la raison). Pour résoudre cette question, vous pouvez utiliser la formule déjà vue, mais arrangée. Vous cherchez en fait u₁ que vous allez isoler à partir de la formule, ce qui donne : $u_{1}=(n-1)d-u_{n}$ .
- Admettons que dans un autre exercice, on vous donne le premier et le dernier terme, et la raison. Vous allez pouvoir, toujours avec cette même formule, trouver le nombre de termes (n) de la suite. La formule modifiée est alors la suivante : $n={\frac {u_{n}-u_{1}}{r}}+1$ .
- Si vous avez besoin de vous rafraichir la mémoire en calcul algébrique, nous ne serions trop vous conseiller de lire ces deux articles : réussir en algèbre et simplifier des expressions algébriques.
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Trouvez le premier terme d’une suite. Admettons que le cinquantième terme d’une suite arithmétique soit 300, et que sa raison (différence entre deux termes consécutifs) est de 7. On vous demande de trouver le premier terme de la suite. La formule donnée dans l’étape précédente peut être utilisée, il suffit de la modifier.
- La formule est modifiée de manière à isoler u₁, ce qui donne : $u_{1}=(n-1)r-u_{n}$ . Il ne vous reste plus qu’à faire l’application numérique en remplaçant n par 50 (cinquantième terme), et donc n - 1 par 49, u_n = u₅₀ = 300. Quant à la raison, vous savez qu’elle est de 7 (r = 7). Correctement remplie, la formule devient la suivante : $u_{1}=(49)(7)-300$ . Calcul fait, $u_{1}=343-300=43$ . La suite en question commence donc à 43, et la raison est de 7. Vous pouvez l’écrire sous la forme : 43, 50, 57, 64, 71, 78… 293, 300.
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Trouvez la longueur d’une suite. Une suite peut être finie, c’est-à-dire qu’elle a un premier et un dernier terme. Ce qu’on appelle « longueur » de la suite est en fait le nombre de termes qui la composent. Pour le savoir, vous pouvez utiliser la formule : $n={\frac {u_{n}-u_{1}}{d}}+1$ $n={\frac {u_{n}-u_{1}}{d}}+1$ .
- Admettons que, dans un exercice, on vous donne une suite arithmétique commençant à 100 et dont la raison est 13. On vous précise que le dernier terme est 2 856. Pour trouver le nombre de termes de cette suite, vous savez que a1=100, d=13, et u_n = 2 856. Mettez ces valeurs dans la formule, ce qui donne : $n={\frac {2\ 856-100}{13}}+1$ . Après soustraction, vous avez : $n={\frac {2\ 756}{13}}+1$ , soit n = 212 + 1 ou encore n = 213. Cette suite se compose donc de 213 termes.
- Si vous devez écrire la suite, vous pouvez le faire sous la forme : 100, 113, 126, 139…, 2 843, 2 856.
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Avertissements

Il existe de très nombreuses suites numériques, les unes simples, d’autres extrêmement compliquées. C’est pourquoi, face à une suite, il ne faut pas en déduire trop rapidement que c’est une suite arithmétique. La seule façon de s’en assurer, si cela ne vous est pas dit, est de voir si la raison est constante en faisant trois ou quatre soustractions de termes consécutifs pris, si elle est longue, à des endroits différents de la suite.

Conseils

La raison n’est pas forcément positive, elle peut être négative. En ce cas, la suite arithmétique est décroissante. Si dans un exercice, la raison est négative, pensez toujours à soustraire pour passer d’un terme au suivant.