Comment utiliser la distributivité pour résoudre une équation

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La distributivité est une règle mathématique qui permet d’écrire un produit sous la forme d’une somme, l’inverse de cette opération s’appelant la factorisation. Vous avez peut-être appris qu’il fallait en algèbre d’abord faire les opérations à l’intérieur des parenthèses, mais ce beau principe vole en éclats que, dans les parenthèses, vous avez une inconnue. La distributivité permet alors de multiplier chacun des termes de ces parenthèses par la valeur (le facteur) qui se trouve devant. Ce n’est pas très compliqué, mais il ne faut rien oublier en route, sinon vous ne résoudrez pas l’équation. Cette distributivité est aussi très pratique pour faire disparaitre les fractions, toujours malaisées à manipuler.

Méthode 1

Méthode 1 sur 4:
Se servir de la distributivité (cas simple)

1
Multipliez les termes des parenthèses par le facteur. Vous avez une somme entre parenthèses et un facteur devant : c’est un produit. Pour le transformer en une simple somme, vous devez multiplier le premier terme entre parenthèses par le facteur, puis faire la même chose avec le second terme de la somme. Si la somme est composée de n termes, vous devrez faire cette opération n fois. Conservez bien le signe de la somme, qu’il soit positif ou négatif ^{[1]
X
Source de recherche}.
- $2(x-3)=10$
- $2(x)-(2)(3)=10$
- $2x-6=10$
2
Groupez les termes de même puissance. Avant de tenter de trouver $x$ $x$ , vous devez grouper les termes de même puissance. Groupez et additionnez toutes les constantes, et faites de même avec les termes de puissance 1. Le regroupement consiste à mettre l’inconnue à gauche de l’équation et les constantes, à droite, ce qui donne ^{[2]
X
Source de recherche} :
- $2x-6=10$ ….. (équation de départ),
- $2x-6+6=10+6$ ….. (ajoutez 6 de chaque côté),
- $2x=16$ ….. (l’inconnue est bien à gauche et la constante, à droite).
3
Résolvez l'équation. Pour trouver $x$ $x$ , vous allez devoir diviser la constante par le coefficient de l’inconnue, d'où les calculs qui suivent ^{[3]
X
Source de recherche} :
- $2x=16$ ….. (équation de départ),
- $2x/2=16/2$ ….. (divisez de chaque côté par 2),
- $x=8$ ….. (c’est la solution).
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Méthode 2

Méthode 2 sur 4:
Développer une expression avec un facteur négatif

1
Faites attention avec les facteurs négatifs. Si vous avez une somme entre parenthèses affectée d’un facteur, vous pouvez utiliser la distributivité (on dit aussi « développer l’expression ») en faisant bien attention à conserver le signe négatif ^{[4]
X
Source de recherche}.
- Rappelons ici la règle des signes avec la multiplication :
  - moins (-) par moins (-) donne plus (+),
  - moins (-) par plus (+) (ou l’inverse) donne moins (-).
- Pour mieux comprendre, prenons l’exemple ci-dessous :
  - $-4(9-3x)=48$ ….. (équation de départ),
  - $-4(9)-(-4)(3x)=48$ ….. (multipliez par -4 chacun des termes entre parenthèses),
  - $-36-(-12x)=48$ ….. (faites les calculs),
  - $-36+12x=48$ ….. (notez que -(-12) équivaut à + 12).
2
Groupez les termes de même puissance. Pour trouver $x$ $x$ , vous devez grouper les termes de même puissance. Groupez et additionnez toutes les constantes, et faites de même avec les termes de puissance 1. Le regroupement consiste à mettre l’inconnue à gauche de l’équation et les constantes, à droite, ce qui donne les calculs suivants ^{[5]
X
Source de recherche} :
- $-36+12x=48$ ….. (équation de départ),
- $-36+12x+36=48+36$ ….. (ajoutez 36 de chaque côté),
- $12x=84$ ….. (additionnez les constantes et isolez $12x$ à gauche).
3
Résolvez l’équation. Pour trouver $x$ $x$ , vous allez devoir diviser la constante par le coefficient de l’inconnue. L’opération faite, vous allez avoir votre inconnue à gauche et sa valeur numérique à droite : l’équation sera résolue. Les calculs sont comme suit ^{[6]
X
Source de recherche} :
- $12x=84$ ….. (équation de départ),
- $12x/12=84/12$ ….. (divisez de chaque côté par 12),
- $x=7$ ….. (c'est la solution).
4
Transformez la soustraction en une addition. Pour cela, vous allez factoriser par -1. En algèbre, dès que vous voyez un signe « - », imaginez, même si cela ne vous servira peut-être pas, que c’est + (-1). Partant de là, vous allez pouvoir développer le produit pour avoir une somme. Ensuite, vous pourrez résoudre l’équation normalement ^{[7]
X
Source de recherche}.
- Prenons l’équation suivante : $4x-(x+2)=4$ $4x-(x+2)=4$ . Vous avez le signe « - » que vous allez transformer pour les besoins de la cause en + (-1) :
  - $4x+(-1)(x+2)=4$
- Servez-vous de la distributivité pour développer et résoudre l’équation :
  - $4x+(-1)(x+2)=4$ ….. (équation reformulée),
  - $4x-x-2=4$ ….. (faites $(-1)(x)$ et $(-1)(2)$ ),
  - $3x-2=4$ ….. (groupez les termes de même puissance),
  - $3x-2+2=4+2$ ….. (ajoutez 2 de chaque côté),
  - $3x=6$ ….. (isolez $3x$ ),
  - $3x/3=6/3$ ….. (divisez de chaque côté par 3),
  - $x=2$ ….. (c'est la solution).
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Méthode 3

Méthode 3 sur 4:
Utiliser la distributivité pour simplifier des fractions

1
Repérez toutes les fractions de l’équation. Dans une équation, il n’est pas rare de trouver des fractions, que ce soit en coefficients ou en constantes. Certes, vous pouvez les laisser telles qu’elles et résoudre l’équation. Cependant, parfois il est plus simple de les faire disparaitre en se servant de la propriété distributive de la multiplication : la fraction devient alors un entier ^{[8]
X
Source de recherche}.
- Prenons comme exemple l’équation suivante : $x-3={\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}}$ . Il y ici deux fractions : ${\frac {x}{3}}$ et ${\frac {1}{6}}$ .
2
Trouvez le plus petit commun multiple (PPCM) des dénominateurs. Pour l’instant, vous n’avez à vous concentrer que sur les fractions et à trouver le PPCM de tous les dénominateurs présents. Trouver le PPCM consiste à déterminer le plus petit nombre divisible par les deux dénominateurs. Dans notre exemple, les dénominateurs sont 3 et 6, si bien que le PPCM est 6 ^{[9]
X
Source de recherche}.
3
Multipliez tous les termes de l'équation par le PPCM. Pour rappel, vous pouvez effectuer n’importe quelle opération sur un membre d’une équation à condition de faire la même sur l’autre membre : l’équation reste ainsi inchangée. En multipliant tous les termes de l'équation par le PPCM, vous faites disparaitre toutes les fractions, lesquelles deviennent des entiers. Pour mieux développer et voir ce que vous faites, placez des parenthèses à gauche comme à droite ^{[10]
X
Source de recherche} :
- $x-3={\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}}$ ….. (équation de départ),
- $(x-3)=({\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}})$ ….. (mettez des parenthèses),
- $6(x-3)=6({\frac {x}{3}}+{\frac {1}{6}})$ ….. (multipliez de chaque côté par le PPCM),
- $6x-6(3)=6({\frac {x}{3}})+6({\frac {1}{6}})$ ….. (développez toutes les expressions),
- $6x-18=2x+1$ ….. (faites les calculs).
4
Groupez les termes de même puissance. Le regroupement consiste à mettre l’inconnue à gauche de l’équation et les constantes, à droite. Pour cela, vous devez ajouter ou soustraire les mêmes quantités dans chaque membre de l’équation, ce qui donne ici ^{[11]
X
Source de recherche} :
- $6x-18=2x+1$ ….. (problème simplifié),
- $6x-2x-18=2x-2x+1$ ….. (soustrayez $2x$ de chaque côté),
- $4x-18=1$ ….. (faites les soustractions),
- $4x-18+18=1+18$ ….. (ajoutez 18 de chaque côté),
- $4x=19$ ….. (additionnez les constantes).
5
Résolvez l'équation. Pour trouver $x$ $x$ , vous allez devoir diviser la constante par le coefficient de l’inconnue. L’opération faite, vous allez avoir votre inconnue à gauche et sa valeur numérique à droite : l’équation sera résolue. Les calculs sont comme suit ^{[12]
X
Source de recherche} :
- $4x=19$ ….. (équation reformulée),
- $4x/4=19/4$ ….. (divisez de chaque côté par 4),
- $x={\frac {19}{4}}{\text{ ou }}4{\frac {3}{4}}$ ….. (c'est la solution).
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Méthode 4

Méthode 4 sur 4:
Utiliser la distributivité avec une fraction rationnelle

1
Sachez opérer avec une fraction contenant un polynôme. Il vous arrivera surement de devoir traiter des fractions dont le numérateur est un polynôme, c'est-à-dire une somme de termes, et le dénominateur, un entier ou un polynôme. Ce qui semble être une division est en fait un produit avec un facteur (l'inverse du dénominateur) et une somme (le polynôme). Partant de là, il est possible d'utiliser la distributivité. Si vous avez un tel exercice, vous devez décomposer votre fraction. Prenons un exemple :
- ${\frac {4x+8}{2}}=4$ ..... (équation de départ),
- ${\frac {4x}{2}}+{\frac {8}{2}}=4$ ….. (décomposez la fraction en une somme de fractions ayant le même dénominateur).
2
Simplifiez les fractions issues de la décomposition. Après avoir transformé la fraction de départ en deux fractions, voyez si elles ne peuvent pas être simplifiées. Reprenons notre exemple :
- ${\frac {4x}{2}}+{\frac {8}{2}}=4$ ..... (équation reformulée),
- $2x+4=4$ ….. (simplifiez les fractions).
3
Isolez l'inconnue. Comme cela a été vu précédemment, il faut donc ensuite isoler l'inconnue à gauche et regrouper toutes les constantes à droite. Pour cela, il faut appliquer aux deux membres de l'équation les mêmes opérations (additions, soustractions, multiplications, divisions). Reprenons l'exemple précédent :
- $2x+4=4$ ..... (équation reformulée),
- $2x+4-4=4-4$ ..... (soustrayez 4 de chaque côté),
- $2x=0$ ….. (l'inconnue est à présent isolée).
4
Résolvez l'équation. Pour trouver $x$ $x$ , vous allez devoir diviser la constante par le coefficient de l’inconnue. L’opération faite, vous allez avoir votre inconnue à gauche et sa valeur numérique à droite : l’équation sera résolue. Les calculs sont comme suit :
- $2x=0$ ..... (équation reformulée),
- $2x/2=0/2$ ..... (divisez de chaque côté par 2),
- $x=0$ ..... (c'est la solution).
5
Ne commettez pas l'erreur la plus courante. C'est celle qui consiste à diviser une partie seulement du numérateur, celle contenant l'inconnue, par le dénominateur. Fatalement, ayant oublié une opération, vous ne réussiriez pas à résoudre correctement l'équation. Prenons un exemple pour illustrer le propos :
- ${\frac {4x+8}{2}}=4$ ..... (équation de départ),
- $2x+8=4$ ….. (seul $4x$ est divisé par 2, et non pas $4x+8$ ),
- $2x+8-8=4-8$ ,
- $2x=-4$ ,
- $x=-2$ ..... (la solution est fausse).
6
Vérifiez l'exactitude de votre réponse. Pour voir si vous avez la bonne réponse, il suffit de remplacer, dans l'équation de départ, $x$ $x$ par la valeur que vous avez trouvée. Après calculs, vous devez aboutir à une égalité parfaite. Si ce n'est pas le cas, c'est que vous vous êtes trompé, puisque vous n'avez pas correctement divisé le polynôme du numérateur. Pour vous en convaincre, testez les deux racines de cette équation, 0, puis -2.
- Essayez la solution $x=0$ $x=0$ :
  - ${\frac {4x+8}{2}}=4$ ..... (équation de départ),
  - ${\frac {4(0)+8}{2}}=4$ ….. (posez $x=0$ ),
  - ${\frac {0+8}{2}}=4$ ….. (faites la multiplication en numérateur),
  - ${\frac {8}{2}}=4$ ….. (faites l'addition en numérateur),
  - $4=4$ ….. (l’égalité est vérifiée : c’est une bonne solution).
- Essayez la solution $x=-2$ $x=-2$ :
  - ${\frac {4x+8}{2}}=4$ ..... (équation de départ),
  - ${\frac {4(-2)+8}{2}}=4$ ..... (posez $x=-2$ ),
  - ${\frac {-8+8}{2}}=4$ ….. (faites la multiplication en numérateur),
  - ${\frac {0}{2}}=4$ ….. (faites l'addition en numérateur),
  - $0=4$ ….. (l’égalité n’est donc pas vérifiée : l’hypothèse de départ, $x=-2$ , est fausse).
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Conseils

La distributivité de la multiplication n’est pas seulement utile pour résoudre des équations, elle peut aussi servir à faire des multiplications de tête. En ce sens, le but est de décomposer le nombre le plus grand en une somme dont l’un des termes est 10 (ou 20 ou 30). Ainsi, le produit $8\times 16$ peut s’écrire $8(10+6)$ , ce qui développé donne : $8(10)+8(6)=80+48=128$ . Cela marche aussi pour le produit $7\times 24$ qui devient $7(20+4)$ . Le calcul se présente ainsi : $7(20)+7(4)=140+28=168$ . Cette propriété de la multiplication est finalement très intéressante quand il s’agit de faire du calcul mental.