عدد حقيقي

العدد الحقيقي قد يكون كسريا أو غير كسري وقد يكون جبريا أو متساميا وقد يكون موجبا أو سالبا أو مساويا للصفر. تستعمل الأعداد الحقيقية من أجل قياس الكميات المتصلة.

وبشكل رسمي، لمجموعة الأعداد الحقيقية خاصيتان أساسيتان اثنتان هما كونها حقلا مرتبا، وكونها مكتملة.

أي رقم حقيقي غير صفري (لا يساوي صفر) هو إما سالب أو موجب.

مجموع وحاصل ضرب عددين حقيقيين غير سالبين هو مرة أخرى رقم حقيقي غير سالب، أي أنهما مغلقان في ظل هذه العمليات، ويشكلان مخروطًا موجبًا، مما يؤدي إلى ظهور ترتيب خطي للأرقام الحقيقية على طول الرقم خط.

تشكل الأعداد الحقيقية مجموعة لا نهائية من الأرقام التي لا يمكن تعيينها عن طريق مجموعة لا نهائية من الأعداد الطبيعية، أي أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الحقيقية، بينما تسمى الأعداد الطبيعية اللانهائية. هذا يثبت أنه بشكل ما، هناك أعداد حقيقية أكثر من العناصر الموجودة في أي مجموعة قابلة للعد.

يمكن استخدام الأعداد الحقيقية للتعبير عن قياسات الكميات المستمرة. يمكن التعبير عنها من خلال التمثيلات العشرية، ومعظمها يحتوي على تسلسل لا نهائي من الأرقام على يمين الفاصلة العشرية ؛ غالبًا ما يتم تمثيل هذه الأرقام مثل ...324.823122147 ، حيث تشير علامة الحذف (ثلاث نقاط) إلى أنه لا يزال هناك المزيد من الأرقام في المستقبل. هذا يلمح إلى حقيقة أنه يمكننا أن نشير بدقة إلى عدد قليل فقط من الأرقام الحقيقية المختارة مع عدد كبير من الرموز.

بشكل أكثر رسمية، تحتوي الأرقام الحقيقية على خاصيتين أساسيتين لكونها حقل مرتب، ولها خاصية الحد الأعلى الأقل. الأول يقول أن الأعداد الحقيقية تشمل حقلاً، بالإضافة إلى الضرب وكذلك القسمة على أرقام غير صفرية، والتي يمكن ترتيبها بالكامل على خط الأعداد بطريقة متوافقة مع الجمع والضرب. الثانية تقول أنه إذا كان لمجموعة غير فارغة من الأعداد الحقيقية حد أعلى، فإن لها حدًا أعلى حقيقيًا. الشرط الثاني يميز الأرقام الحقيقية عن الأرقام المنطقية: على سبيل المثال، مجموعة الأرقام المنطقية التي يكون مربعها أقل من 2 هي مجموعة ذات حد أعلى (على سبيل المثال 1.5) ولكن لا يوجد حد أعلى (منطقي): ومن هنا تأتي الأرقام المنطقية لا تفي بأقل خاصية للحد الأعلى.

في الفيزياء تستعمل الأعداد الحقيقية للتعبير عن المقاييس وذلك لسببين أساسيين:

• نتيجة الحسابات الفيزيائية لا يعبر عنها بأعداد كسرية غالبا، دون أن يأخذها الفيزيائيون بعين الاعتبار في استدلالاتهم وذلك لأنها لا تحمل أي معنى فيزيائي.
• نجد مفاهيم كالسرعة اللحظية والتسارع في الفيزياء. وهذه المفاهيم ناتجة عن نظريات رياضية التي تهتم كثيرا بالأعداد الحقيقية وتعتبرها كحاجة نظرية. بالإضافة إلى أن هاته المفاهيم تكون أكثر دقة وأهمية إذا ما تم التعبير عنها بأعداد حقيقية.

بالمقابل لا يمكن الاكتفاء بأعداد دقتها غير منتهية في المقاييس الفيزيائية. لذلك يتم تقريب هاته الأعداد بحسب الحاجة إلى أعداد عشرية.

لذلك إذا قام الفيزيائيون بحسابات في R، فهم يحتاجون إلى التعبير عن النتائج بالأعداد العشرية.

يتم استخدام الأرقام الحقيقية لقياس معظم الثوابت الفيزيائية مثل ثابت الجاذبية العامة والمتغيرات الفيزيائية مثل الموقع، الكتلة، السرعة والشحنة الكهربائية. في الواقع، يتم وصف النظريات الفيزيائية الأساسية مثل الميكانيكا الكلاسيكية ، والكهرومغناطيسية، وميكانيكا الكم، والنسبية العامة، والنموذج القياسي باستخدام الهياكل الرياضية، وعادة ما تكون الفتحات الملساء أو مساحات هلبرت ، والتي تستند إلى الأرقام الحقيقية، على الرغم من القياسات الفعلية للكميات المادية هي ذات دقة متناهية.

اقترح الفيزيائيون من حين لآخر أن نظرية أكثر جوهرية من شأنها أن تحل محل الأعداد الحقيقية بكميات لا تشكل سلسلة متصلة، لكن مثل هذه المقترحات تظل تخمينية.

لا يمكن لحاسبات الحاسوب أن تعمل على كل الأعداد الحقيقية، بل تعمل على مجموعة جزئية فقط من الأعداد الحقيقية. يحدها في ذلك عدد البتات الموجودة في الحاسوب من أجل خزن ومعالجة الأعداد الحقيقية.

اسعملت الكسور الاعتيادية من طرف المصريين قبل ألف سنة قبل الميلاد. في حوال 500 ق.م، بين علماء الرياضيات الإغريقين بقيادة فيثاغورس الحاجة إلى الأعداد غير الكسرية.

هو اتحاد مجموعة الأعداد الكسرية والأعداد غير الكسرية.

انظر إلى فضاء بير (نظرية المجموعات)

• الاكتمال
• سيمون ستيفين
• الكسور المستمرة
• العدد التخيلي
• نهاية متتالية
• الأعداد المركبة
• التحليل الحقيقي
• معيار المصفوفة
• متطابقات هامة

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد
• بوابة جبر
• بوابة تحليل رياضي