Poliedro esférico

En matemáticas, un poliedro esférico o teselado esférico, es un enlosado de una esfera en el que la superficie está dividida o seccionada por curvas en regiones delimitadas llamadas polígonos esféricos. Gran parte de la teoría de poliedros simétricos se deduce consistentemente de esta manera.

El poliedro esférico más familiar es el balón de fútbol, obtenido a partir de un icosaedro truncado
Este balón de playa sería un hosoedro con 6 caras en forma de lunas esféricas si se quitaran las 2 tapas blancas de los extremos

El poliedro esférico más conocido es el balón de fútbol, considerado un icosaedro truncado esférico. El siguiente poliedro esférico más popular es el balón de playa, considerado como un hosoedro.

Algunos poliedros "impropios", como los hosoedros y sus duales (diedros), existen como poliedros esféricos, pero sus análogos de caras planas son elementos degenerados. La pelota de playa hexagonal de la imagen, {2, 6}, es un hosoedro, y el diedro {6, 2} es su poliedro dual.

Historia

Los primeros poliedros artificiales conocidos son los poliedros esféricos labrados en piedra. Se han encontrado muchos en Escocia y parecen datar del período neolítico.

Durante el siglo X, el erudito islámico Abu'l-Wafa escribió el primer estudio riguroso sobre poliedros esféricos.

A principios del siglo XIX, el matemático francés Louis Poinsot utilizó poliedros esféricos para descubrir los cuatro poliedros estrellados regulares.

A mediados del siglo XX, Coxeter los utilizó para enumerar todos menos uno de los poliedros uniformes, mediante la construcción de caleidoscópica (construcción de Wythoff).

Ejemplos

Todo poliedro regular, poliedro semirregular y sus duales se pueden proyectar sobre la esfera como teselaciones:

Símbolo de
Schläfli		 {p,q} t{p,q} r{p,q} t{q,p} {q,p} rr{p,q} tr{p,q} sr{p,q}
Configuración
de vértices		 pq q.2p.2p p.q.p.q p.2q.2q qp q.4.p.4 4.2q.2p 3.3.q.3.p
Simetría
tetraédrica
(3 3 2)
33
3.6.6
3.3.3.3
3.6.6
33
3.4.3.4
4.6.6
3.3.3.3.3

V3.6.6
V3.3.3.3
V3.6.6
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.3.3.3.3
Simetría
octaédrica
(4 3 2)
43
3.8.8
3.4.3.4
4.6.6
34
3.4.4.4
4.6.8
3.3.3.3.4

V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
Simetría
icosaédrica
(5 3 2)
53
3.10.10
3.5.3.5
5.6.6
35
3.4.5.4
4.6.10
3.3.3.3.5

V3.10.10
V3.5.3.5
V5.6.6
V3.4.5.4
V4.6.10
V3.3.3.3.5
Dihedral
example p=6
(2 2 6)
62
2.12.12
2.6.2.6
6.4.4
26
2.4.6.4
4.4.12
3.3.3.6
Teselado de la esfera mediante triángulos esféricos (icosaedro con algunos de sus triángulos esféricos distorsionados)
n 2 3 4 5 6 7 8 10 ...
n-prisma
(2 2 p)		 ...
n-bipirámide
(2 2 p)		 ...
n-antiprisma ...
n-trapezoedro ...

Casos impropios

Los teselados esféricos permiten casos que los poliedros no, a saber, como los hosoedros (con códigos de Schläfli del tipo {2, n}) y los diedros (con códigos de Schläfli del tipo {n, 2}). Generalmente, se utilizan hosoedros regulares y diedros regulares.

Familia de hosoedros regulares · * n22 mutaciones de simetría de teselados de hosoedros regulares: nn
Espacio EsféricoEuclídeo
Nombre del teselado (Monogonal)
Monógono		 Hosohedro digonal (Triangular)
Hosohedro trigonal		 (Tetragonal)
Hosohedro cuadrado		 Hosohedro pentagonal Hosoedro hexagonal Hosoedro heptagonal Hosoedro octogonal Hosoedro eneagonal Hosoedro decagonal Hosoedro hendecagonal Hosoedro dodecagonal ... Hosoedro apeirogonal
Imagen del teselado ...
Símbolo de Schläfli {2,1}{2,2}{2,3}{2,4}{2,5}{2,6}{2,7}{2,8}{2,9}{2,10}{2,11}{2,12}...{2,∞}
Diagrama de Coxeter-Dynkin ...
Caras y aristas 123456789101112...∞
Vértices 2...2
Configuración de vértices 22.223242526272829210211212...2∞
Familia de diedros regulares · *n22 mutaciones de simetría de teselados diedros regulares: nn
Espacio EsféricoEuclídeo
Nombre del teselado (Hengonal)
Monógono		 Diedro (Triangular)
Diedro		 (Tetragonal)
Diedro cuadrado		 Diedro Diedro ... Diedro apeirogonal
Imagen del teselado ...
Símbolo de Schläfli {1,2}{2,2}{3,2}{4,2}{5,2}{6,2}...{∞,2}
Diagrama de Coxeter-Dynkin ...
Caras 2 {1}2 {2}2 {3}2 {4}2 {5}2 {6}...2 {∞}
Aristas y vértices 123456...∞
Configuración de vértices 1.12.23.34.45.56.6...∞.∞

Relación con las teselaciones del plano proyectivo

Los poliedros esféricos que tienen al menos una simetría inversiva están relacionados con los poliedros proyectivos[1] (teselados del plano proyectivo real) - así como la esfera tiene un espacio recubridor 2 a 1 del plano proyectivo, los poliedros proyectivos corresponden respecto al doble recubrimiento a los poliedros esféricos que son simétricos bajo simetría central.

Los ejemplos más conocidos de estos poliedros son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos con simetría central, así como dos clases infinitas de diedros y hosoedros:[2]

Véase también

Referencias
  1. McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). «6C. Projective Regular Polytopes». Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. pp. 162–5. ISBN 0-521-81496-0.
  2. Coxeter, H.S.M. (1969). «§21.3 Regular maps'». Introduction to Geometry (2nd edición). Wiley. pp. 386–8. ISBN 978-0-471-50458-0. MR 123930.

Lecturas relacionadas
  • Poinsot, L. (1810). «Memoire sur les polygones et polyèdres». J. De l'École Polytechnique 9: 16-48.
  • Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). «Uniform polyhedra». Phil. Trans. 246 A (916): 401-50. JSTOR 91532.
  • Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd edición). Dover. ISBN 0-486-61480-8.

Enlaces externos
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