Coordonnées polaires

Un schéma illustrant les formules de conversion.

Les deux coordonnées polaires r et θ peuvent être converties en coordonnées cartésiennes x et y en utilisant les fonctions trigonométriques sinus et cosinus :

${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$

Deux coordonnées cartésiennes x et y permettent de calculer la première coordonnée polaire r par :

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,}$ (par une simple application du théorème de Pythagore).

Pour déterminer la seconde (l’angle θ), on doit distinguer deux cas :

• pour r = 0, l’angle peut prendre n’importe quelle valeur réelle ;
• pour r ≠ 0, pour obtenir une unique valeur de θ, on se restreint à l’intervalle [0, 2 π[ (ou de manière équivalente ]–π, π]).

Pour obtenir θ dans l’intervalle [0, 2π[, on utilise les formules suivantes (arctan désigne la réciproque de la fonction tangente) :

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{si }}x>0{\mbox{ et }}y\geq 0,\\[3pt]\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{si }}x>0{\mbox{ et }}y<0,\\[3pt]\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{si }}x<0,\\[3pt]{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{si }}x=0{\mbox{ et }}y>0,\\[3pt]{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{si }}x=0{\mbox{ et }}y<0.\end{cases}}}$

Pour l’obtenir dans l’intervalle ]–π, π], on utilise les formules[13] :

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{si }}x>0,\\[3pt]\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{si }}x<0{\mbox{ et }}y\geq 0,\\[3pt]\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{si }}x<0{\mbox{ et }}y<0,\\[3pt]{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{si }}x=0{\mbox{ et }}y>0,\\[3pt]-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{si }}x=0{\mbox{ et }}y<0.\end{cases}}}$

Pour obtenir θ dans l’intervalle ]–π, π[, on peut également utiliser la formule suivante, plus concise :

${\displaystyle \theta =2\arctan \left({\frac {y}{x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\right),}$

qui est valable pour tout point du plan à l'exception du demi-axe des abscisses négatives.

On peut aussi utiliser la fonction atan2 :

${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)}$

ou encore la fonction arccos ou arcsin : voir Nombre complexe#Coordonnées polaires.

Un cercle d'équation r(θ) = 1.

L'équation générale d'un cercle de centre (r₀ ; φ) et de rayon a est :

${\displaystyle r^{2}(\theta )-2r(\theta )r_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

Dans de nombreux cas, cette équation est simplifiée[14]. Par exemple,

• pour un cercle centré sur le pôle et de rayon a :

${\displaystyle r(\theta )=a,}$

• pour un cercle passant par le pôle (r₀ = a) :

${\displaystyle r(\theta )=2r_{0}\cos(\theta -\varphi ).}$

Droite radiale (vert) définie par son angle φ ; Droite non radiale (bordeau) et l'illustration de son équation dans le système de coordonnées.

• Une droite radiale (qui passe par le pôle) est représentée par l'équation :

${\displaystyle \theta =\varphi }$

où φ, constant, correspond à l'angle de la droite. On a donc φ = arctan m où m est la pente de la droite en coordonnées cartésiennes.

• Une droite non radiale qui coupe perpendiculairement au point (r₀; φ) la droite radiale définie par son angle constant φ, de façon que la droite non radiale soit tangente d'un cercle hypothétique de rayon r₀, a pour équation :

${\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )}$

ou selon un équivalent de la fonction trigonométrique sécante :

${\displaystyle r(\theta )={r_{0}}{\frac {1}{\cos(\theta -\varphi )}}}$

avec φ, constant, et θ appartenant à ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

La rosace d'équation polaire r(θ) = 2 sin 4θ.

Une rosace est une courbe très connue qui ressemble à des pétales de fleurs, et qui peut être exprimée par une simple équation polaire :

${\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\varphi _{0})}$

pour n'importe quelle constante réelle φ₀. Si k est un entier, cette équation produit une fleur avec 2k pétale(s) si k est pair, et k pétale(s) si k est impair. Si k est un nombre rationnel, l'équation produit une courbe en forme de fleur dont les pétales se chevauchent. Ces équations ne peuvent fournir de courbe en forme de fleur à 2, 6, 10, 14… pétales. La constante réelle a détermine la longueur d'un pétale du centre à son extrémité.

Un bras d'une spirale d'Archimède d'équation r(θ) = θ pour 0 < θ < 6π.

La spirale d'Archimède est une spirale découverte par Archimède, qui peut être également exprimée à partir d'une équation polaire :

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta }$

Changer le paramètre a fait tourner la spirale autour du pôle, alors que b détermine la distance entre les bras, qui pour une spirale donnée est constante. Une spirale d'Archimède possède deux bras, connectés au pôle : l'un pour θ ≥ 0 et l'autre pour θ ≤ 0, lorsque a = 0, et alors chaque bras est le symétrique de l'autre par rapport à l'axe vertical (90°/270°). Cette courbe est l'une des premières courbe, après les coniques, à être décrite par des termes mathématiques et à être un exemple de courbe simplement exprimée en coordonnées polaires.

Une ellipse, et son paramètre.

Une conique avec un foyer confondu avec le pôle et un autre sur l'axe polaire (0°), le grand axe étant confondu avec l'axe polaire) est donnée par l'équation :

${\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1-e\cos \theta }}}$

où e est l'excentricité et p est appelé paramètre de la conique, et correspond à la longueur du segment perpendiculaire au grand axe joignant le foyer à la courbe. Si e > 1 l'équation définit une hyperbole, si e = 1, une parabole, si e < 1 une ellipse. Enfin pour e = 0 on obtient un cercle de rayon p.

La matrice jacobienne du changement de variable polaire ${\displaystyle (r,\theta )\to (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$ s'écrit

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}}$,

ce qu'on écrit également sous la forme suivante :

${\displaystyle r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}}$.

Les dérivées secondes s'expriment également au travers d'une matrice.

Les opérateurs homogènes

${\displaystyle D_{r}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}},\quad D_{r,\theta }'={1 \over r}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r\partial \theta }}-{1 \over r}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\quad {\rm {et}}\quad {D_{\theta }^{2}}'={1 \over r^{2}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)}$

s'obtiennent matriciellement par :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}D_{r}^{2}\\D_{r,\theta }'\\{D_{\theta }^{2}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\rm {c}}^{2}&2{\rm {s}}{\rm {c}}&s^{2}\\-{\rm {s}}{\rm {c}}&{\rm {c}}^{2}-{\rm {s}}^{2}&{\rm {s}}{\rm {c}}\\{\rm {s}}^{2}&-2{\rm {s}}{\rm {c}}&{\rm {c}}^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}D_{x}^{2}\\D_{x,y}\\{D_{y}^{2}}\end{pmatrix}}}$,

où l'on a noté, pour alléger l'expression, c en lieu et place de cosθ et s pour sinθ.

On dispose d'ailleurs du même type de changement de dérivées successives au travers de matrices pour tous les ordres de dérivation.

Pour trouver la pente cartésienne de la tangente à la courbe polaire r(θ) à un point donné, la courbe doit d'abord être exprimée en un système paramétrique :

${\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta ,\quad y=r(\theta )\sin \theta }$.

Puis on différentie les deux équations :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta ,\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }$.

En divisant la deuxième équation par la première, on obtient la pente cartésienne de la tangente à la courbe polaire au point (r(θ) ; θ) :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}}$.

Ainsi, au point (r(θ) ; θ), l'angle γ entre l'axe Ox et la tangente à la courbe est donné par la relation :

${\displaystyle \gamma =\theta +\arctan \left({\frac {r(\theta )}{r'(\theta )}}\right)}$.

Angle au centre ou formule donnant la tangente à une courbe définie par une équation en coordonnées polaires : deux manières d'obtenir ${\displaystyle \scriptstyle \gamma =2\theta -\alpha +\pi /2}$.

La surface R est délimitée par la courbe r(φ) et les demi-droites φ = a et φ = b.

La surface R est approchée par n sections (ici, n = 5).

Soit R une surface du plan délimitée par la courbe continue r(θ) et les demi-droites θ = a et θ = b, où 0 < b − a < 2π (a et b étant des réels). Alors l'aire S de cette surface est

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r^{2}(\theta )\;\mathrm {d} \theta }$.

Le résultat peut être retrouvé par le raisonnement suivant. Tout d'abord, l'intervalle [a, b] est subdivisé en n sous-intervalles, où n est un entier positif quelconque. Alors Δθ, la longueur de chaque sous-intervalle, est égal à b – a divisé par n, le nombre de sous-intervalles. Pour chaque sous-intervalle i = 1, 2, ..., n, soit θ_i le milieu de chaque sous-intervalle i. On peut alors construire un secteur circulaire où le centre est le pôle, de rayon r(θ_i), d'angle Δθ et de longueur d'arc r(θ_i) Δθ. L'aire S_i de chaque secteur est donc

${\displaystyle S'_{i}={\tfrac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\;\Delta \theta }$

et donc l'aire totale de tous les secteurs est :

${\displaystyle S'_{n}=\sum _{i=1}^{n}S'_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}r(\theta _{i})^{2}\;\Delta \theta }$.

Pour n tendant vers l'infini, l'approximation devient meilleure et cette somme est une somme de Riemann et donc converge vers l'intégrale demandée :

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }S'_{n}={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\theta )^{2}\;\mathrm {d} \theta =S}$.

En utilisant les coordonnées cartésiennes, un élément d'aire infinitésimale peut être calculé comme dA = dx dy. La règle du changement de variable pour des intégrales multiples stipule que, lorsque l'on utilise d'autres systèmes de coordonnées, le Jacobien de la matrice de conversion des coordonnées est:

${\displaystyle J=\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\theta +r\sin ^{2}\theta =r}$.

Un élément d'aire infinitésimale peut donc être vu comme

${\displaystyle \mathrm {d} A=J\;\mathrm {d} r\;\mathrm {d} \theta =r\;\mathrm {d} r\;\mathrm {d} \theta }$.

Maintenant une fonction donnée en coordonnées polaires peut être intégrée comme ceci

${\displaystyle \iint _{R}f(r,\theta )\;\mathrm {d} A=\int _{a}^{b}\int _{0}^{r(\theta )}f(r,\theta )\;r\mathrm {d} r\;\mathrm {d} \theta }$.

Ici R est la même surface que plus haut, c'est-à-dire la surface comprise entre la courbe r(θ) et les demi-droites θ = a et θ = b.

La formule pour l'aire de R mentionnée plus haut est retrouvée en prenant f la fonction constante égale à 1. L'une des applications de ces formules est le calcul de l'intégrale de Gauss ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\rm {e}}^{-x^{2}}\;\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}}$.

L'analyse vectorielle peut être également appliquée aux coordonnées polaires. Soit ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ le vecteur position ${\displaystyle (r\cos \theta ,r\sin \theta )}$, avec r et θ dépendants du temps t, et soit ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}$ un vecteur unitaire de même direction que ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ et ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ un vecteur unitaire orthogonal à ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$. Les dérivées première et seconde du vecteur position sont données par :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}{\boldsymbol {\hat {r}}}+r{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$ ;

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}{\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\boldsymbol {\hat {r}}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$.

Un point repéré en coordonnées cylindriques.

Le système de coordonnées cylindriques est un système de coordonnées qui étend le système de coordonnées polaires à deux dimensions en y ajoutant une troisième dimension qui mesure la hauteur d'un point par rapport au plan repéré par les coordonnées polaires ; de la même manière que l'on étend le système de coordonnées cartésiennes de deux à trois dimensions. La troisième coordonnée est souvent notée h ou z. La notation r étant systématiquement utilisée en coordonnées sphériques (voir ci-dessous), on lui préfère ici la lettre grecque ρ.

Les trois coordonnées cylindriques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta ,\\y&=\rho \sin \theta ,\\z&=h.\end{aligned}}}$

Un point repéré en coordonnées sphériques (mathématiques) ; ici, la latitude est notée d'un ${\displaystyle \delta }$, correspondant à ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}}$.

Les coordonnées polaires peuvent aussi être étendues à l'espace tridimensionnel euclidien, suivant diverses conventions de notation.

En physique, on utilise le plus souvent les coordonnées (r, θ, φ), où r désigne la distance du point au pôle, θ est l'angle depuis l'axe des z (appelé colatitude ou zénith, compris entre 0° et 180°) et φ est l'angle depuis l'axe des x (comme dans les coordonnées polaires, entre 0° et 360°).

En mathématiques, en nommant les coordonnées (ρ, θ, φ), où ρ désigne toujours la distance du point au pôle, alors que θ désigne cette fois la longitude (angle mesuré depuis l'axe des x et compris entre –180° et 180°) et φ la latitude, l'angle depuis le plan équatorial (entre –90° et 90°).

Un système mixte consiste à utiliser dans l'ordre, le rayon, la longitude et ensuite la colatitude, notés toujours (ρ, θ, φ).

Ces trois systèmes de coordonnées sont des exemples de coordonnées sphériques et ils sont similaires au système utilisé pour se repérer sur la surface de la Terre. Ils ont chacun leur utilité propre mais il faut prendre garde qu'en physique, on nomme θ la colatitude alors qu'en mathématiques, on nomme généralement θ la longitude. La latitude (φ en mathématiques) et la colatitude (θ en physique) étant complémentaires l'une de l'autre[18], il est aisé de passer d'un système à un autre.

Un point repéré en coordonnées sphériques (système mixte).

Les trois coordonnées sphériques peuvent être converties en coordonnées cartésiennes par :

${\displaystyle {\begin{cases}x&=r\sin \varphi \cos \theta \\y&=r\sin \varphi \sin \theta \\z&=r\cos \varphi \end{cases}}}$

dans le système rayon-colatitude-longitude (physique), et

${\displaystyle {\begin{cases}x&=\rho \cos \ {\tilde {\theta }}\cos {\tilde {\varphi }}\\y&=\rho \sin {\tilde {\theta }}\cos {\tilde {\varphi }}\\z&=\rho \sin {\tilde {\varphi }}\end{cases}}}$

dans le système rayon-longitude-latitude (mathématiques).

Les coordonnées polaires sont souvent utilisées en navigation. En effet, un voyage peut être défini par une distance et un angle par rapport à la destination. Par exemple, les aéronefs utilisent un système de coordonnées polaires quelque peu modifié pour la navigation.

Les coordonnées polaires conduisent à une simplification du modèle des systèmes naturels dans lequel un point central joue un rôle particulier. C'est notamment le cas des systèmes possédant une symétrie de rotation, c'est-à-dire ceux qui sont invariants par rotation autour d'un point fixe.

C'est le cas des systèmes dits à force centrale, c'est-à-dire soumis à une force qui passe par un point fixe. Les exemples classiques comprennent le problème à deux corps (en gravitation ou en électromagnétisme) et plus généralement dans l'étude du mouvement des planètes[19], ainsi que les systèmes possédant une source ponctuelle (en), comme les antennes radioélectriques.

C'est aussi le cas des mouvements de rotation autour d'un point fixe comme le pendule simple, des surfaces d'équilibres autour d'un puits comme l'équation de flux d'eau du sol ou de la variation d'une grandeur en fonction d'un angle comme les polaires en aéronautique ou la directivité d'un microphone, qui caractérise la sensibilité du microphone en fonction de la provenance du son selon l'axe central du microphone.

Ce phénomène peut être représenté par une courbe polaire. La courbe pour un microphone cardioïde standard, le plus commun des microphones, a pour équation r = (1 + sin θ)/2[20].

Enfin, il existe des cas particuliers où le passage aux coordonnées polaires peut rendre service. Par exemple, la loi de Laplace-Gauss en statistique a une distribution qui n'est intégrable au moyen de fonctions élémentaires. Toutefois, en faisant tourner cette courbe autour de l'axe des y on obtient une cloche infinie qui, exprimée en coordonnées polaires, est intégrable. C'est de cette façon que Gauss a pu normaliser cette loi statistique dont Laplace avait montré l'universalité.

• Harmonique sphérique
• Les angles d'Euler, une généralisation des coordonnées sphériques.

(en) spherical.pdf Une proposition pour unifier les notations polaires 2D et 3D.

• (en) Howard Anton, Irl Bivens et Stephen Davis, Calculus, Single Variable, John Wiley & Sons, 2012, 10^e éd., 880 p. (ISBN 978-0-470-64770-7, lire en ligne), p. 705-719
• (en) Ross Finney, George B. Thomas (en), Franklin Demana et Bert Waits, Calculus : Graphical, Numerical, Algebraic : Single Variable Version, Addison-Wesley, 1994, 1104 p. (ISBN 978-0-201-55478-6)
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.coordonnées polaires, p. 160, col. 2.

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