Cómo calcular la derivada de algunas funciones básicas

Información del autor

Ésta es una guía para ayudar a aquellos que deben calcular derivadas de vez en cuando para cursos no matemáticos como los de economía, mas también pueden utilizarla aquellas personas que están comenzando a aprender cálculo. Para poder seguir estas instrucciones con facilidad, deberás estar bastante familiarizado con el álgebra.

Esta guía está hecha con la intención de proporcionar las herramientas que se necesitan para calcular las derivadas de ciertas funciones básicas (para derivadas más avanzadas y para conocer diferentes técnicas de diferenciación puedes consultar un libro de texto sobre Cálculo).

El símbolo que utilizaré en esta guía para la derivada será el de ', y utilizaré * para la multiplicación y ^ para indicar el uso de un exponente.

Método 1

Método 1 de 6:
Resumen general del concepto de la derivada

La derivada es el cálculo de la tasa de cambio de una función. Por ejemplo, si tienes una función que describe la velocidad a la que un automóvil viaja del punto A al punto B, su derivada te dirá la aceleración de A a B (qué tan rápido o lento cambia la velocidad del carro).

Método 2

Método 2 de 6:
Simplifica la función

1
Aplica el álgebra. Simplifica la función que tienes (la derivada será la misma aunque no simplifiques la función, pero puede ser mucho más difícil de calcular si lo haces.
- Ejemplo:
  - Ecuación a simplificar:
  - (6x + 8x)/2 +17x +4
  - Pasos para simplificar:
    - (14x)/2 + 17x + 4
    - 7x + 17x + 4
  - Resultado final:
    - 24x + 4
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Método 3

Método 3 de 6:
Identifica la forma de la función

1
Conoce las distintas formas.
- Tan solo un número (4, por ejemplo)
- Un número multiplicado por una variable sin exponente (4x)
- Un número multiplicado por una variable con exponente (4x^2)
- Suma (4x + 4)
- Multiplicación de variables (x*x)
- División de variables (x/x)

Método 4

Método 4 de 6:
Un número

La derivada de una función de este tipo siempre es cero.
- Ejemplos:
  - (4)' = 0
  - (-234059)' = 0
  - (pi)' = 0
    - ¿Sabías que...? esto se debe a que no hay un cambio en la función (el valor de la función siempre será el del número dado.

Método 5

Método 5 de 6:
Un número multiplicado por una variable sin exponente

La derivada de una función de esta forma siempre será igual al número.
- Ejemplos:
  - (4x)' = 4
  - (x)' = 1
  - (-23x)' = -23
    - ¿Sabías que…? Si x no tiene exponente, la función crece de manera constante, sin una tasa de cambio. Puedes tomar como ejemplo en la ecuación de la recta y = mx + b.

Método 6

Método 6 de 6:
Un número multiplicado por una variable con exponente

1
Multiplica el número por el valor del exponente.
2
Résta una unidad al exponente.

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Ejemplos:

(4x^3)' = (4*3)(x^(3-1)) = 12x^2

(2x^7)' = 14x^6

(3x^(-1))' = -3x^(-2)

Imagen titulada Calculate a Basic Derivative of a Function Step 4

Suma

Toma la derivada de cada parte de la expresión por separado.

Ejemplos:

(4x + 4)' = 4 + 0 = 4

((x^2) + 7x)' = 2x + 7

Multiplicación de variables

1. Multiplica la primera variable por la derivada de la segunda variable.

2. Multiplica la segunda variable por la derivada de la primera variable.

3. Suma los resultados.

Ejemplo:

((x^2)*x)' = (x^2)*1 + x*2x = (x^2) + 2x*x = 3x^2

División de variables

1. Multiplica la variable inferior por la derivada de la variable superior.

2. Multiplica la variable superior por la derivada de la variable inferior.

3. Al resultado del paso 1 réstale el resultado del paso 2. ¡El orden es importante!

4. Divide el resultado del paso 3 entre el cuadrado de la variable inferior.

Ejemplo:

((x^7)/x)' = (7x^6*x – 1*x^7)/(x^2) = (7x^7 - x^7)/(x^2) = 6x^7/x^2 = 6x^5

Advertencia: Éste tal vez sea uno de los trucos más difíciles, pero vale el esfuerzo. Asegúrate de llevar a cabo los pasos en orden y efectuar la resta también en el orden correcto. Si lo haces así todo saldrá bien.