Cómo encontrar el determinante de una matriz 3x3

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El determinante de una matriz suele utilizarse con frecuencia en operaciones de cálculo, álgebra lineal y geometría avanzada. Hallar la determinante de una matriz puede ser confuso al principio, pero se volverá más fácil cuando lo hagas un par de veces.

Parte 1

Parte 1 de 2:
Hallar el determinante

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Escribe la matriz de 3x3. Empezarás con una matriz de 3x3 llamada A, y tratarás de hallar su determinante |A|. Aquí tienes la notación general de matrices que se utilizará, y la matriz de ejemplo:
- $M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{pmatrix}}$
2
Elige una sola fila o columna. Esta será tu fila o columna de referencia. Obtendrás la misma respuesta, independientemente de la fila o columna que elijas. Por ahora, elige la primera fila. Más adelante, se ofrecen algunos consejos para elegir la opción más adecuada para facilitar el cálculo.
- Elige la primera fila de la matriz de ejemplo A. Rodea la fila 1 5 3. Utilizando términos generales, rodea la fila a₁₁ a₁₂ a₁₃.
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Tacha la fila y la columna del primer elemento. Observa la fila o la columna que hayas rodeado y localiza el primer elemento. Traza una línea a lo largo de la fila y la columna que incluyan este elemento. Ahora, quedarán cuatro números que podrás tratar como una matriz de 2x2.
- En el ejemplo la fila de referencia es 1 5 3. El primer elemento está en la fila 1 y en la columna 1. Tacha toda la fila 1 y la columna 1. Escribe los demás elementos en forma de matriz de 2x2:
- ~~1 5 3~~
  2 4 7
  4 6 2
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Halla el determinante de la matriz de 2x2. Recuerda que la matriz ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ tiene un determinante de ad - bc.^{[1]
X
Fuente de investigación} Tal vez hayas aprendido a hacerlo trazando una X sobre la matriz de 2x2. Multiplica los dos números unidos por la línea \ de la X. Después, resta el producto de los dos números unidos por la línea /. Utiliza esta forma para calcular el determinante de la matriz que acabas de hallar.
- En el ejemplo, el determinante de la matriz ${\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
- Este determinante es el menor de los elementos que puedes elegir en la matriz original^{[2]
  X
  Fuente de investigación} En este caso, has hallado el menor de a₁₁.
5
Multiplica el resultado por el elemento elegido. Recuerda que podrás elegir un elemento de la fila o la columna de referencia una vez que hayas decidido qué fila y qué columna tachar. Multiplica este elemento por el determinante que acabas de calcular para la matriz de 2x2.
- En el ejemplo, has seleccionado a₁₁, que tiene un valor igual a 1. Multiplica este valor por -34 (el determinante de la matriz de 2x2) para obtener 1*-34 = -34.
6
Define el signo del resultado. A continuación, tendrás que multiplicar la respuesta por 1 o por -1 para hallar el adjunto del elemento elegido. La cifra utilizada dependerá del lugar en el que se encuentre el elemento dentro de la matriz de 3x3. Memoriza esta sencilla lista para saber qué signo le corresponde a cada elemento:
- + - +
- - + -
- + - +
- Dado que se ha elegido el elemento a₁₁, marcado con un signo +, debes multiplicar el número por +1. En otras palabras: déjalo tal como está. El resultado sigue siendo -34.
- Otra opción consiste en hallar el signo con la fórmula (-1)^{i+j, donde i y j son la fila y la columna del elemento elegido.^{[3]
  X
  Fuente de investigación}}
7
Repite este proceso con el segundo elemento de tu fila o columna de referencia. Vuelve a la matriz original de 3x3, con la fila o la columna anteriormente rodeada. Repite el mismo proceso con este elemento:
- Tacha la fila y la columna en las que se encuentre dicho elemento. En este caso, seleccionas el elemento a₁₂ (con un valor igual a 5). Tacha la primera fila (1 5 3) y la segunda columna ${\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}$ .
- Trata los demás elementos como si pertenecieran a una matriz de 2x2. En el ejemplo, la matriz es ${\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}$
- Halla el determinante de esta matriz de 2x2. Utiliza la fórmula de ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
- Multiplica el resultado por el elemento elegido de la matriz de 3x3. -24 * 5 = -120
- Determina si debes multiplicar el resultado por -1. Utiliza la lista de signos o la fórmula de ^ij. Aquí se ha elegido el elemento a₁₂, que coincide con el signo - en la lista. Por lo tanto, se debe cambiar el signo del resultado: (-1)*(-120) = 120.
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Repite el proceso con el tercer elemento. Tienes que hallar un adjunto más. Calcula i para el tercer término de la fila o columna de referencia. Aquí tienes un resumen rápido del procedimiento que debes seguir para calcular el adjunto de a₁₃ en el ejemplo:
- Tacha la fila 1 y la columna 3 para obtener ${\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}$ .
- Su determinante es 2*6 - 4*4 = -4.
- Multiplica el resultado por el elemento a₁₃: -4 * 3 = -12.
- El elemento a₁₃ coincide con el signo + en la lista, por lo que el resultado es -12.
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Suma los tres resultados. Este es el último paso. Ya tienes los tres adjuntos calculados, uno por cada elemento de una fila o columna. Súmalos y hallarás el determinante de la matriz de 3x3.
- En el ejemplo, el determinante es -34 + 120 + -12 = 74.
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Parte 2

Parte 2 de 2:
Hacer el problema más sencillo

1
Elige como referencia la fila o columna con más ceros. Recuerda que puedes elegir cualquier fila o columna como referencia. Obtendrás el mismo resultado, elijas la fila o columna que elijas. Si eliges una fila o columna con ceros, solo tendrás que calcular el adjunto de las cifras distintas de cero. Aquí tienes el porqué:
- Supón que eliges la segunda fila, con los elementos a₂₁, a₂₂, y a₂₃. Para resolver este problema, tendrás que operar con dos matrices de 2x2 diferentes. Se llamará A₂₁, A₂₂, y A₂₃.
- El determinante de la matriz de 3x3 es a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃|.
- Si los términos a₂₂ y a₂₃ son igual a 0, la fórmula se transforma en a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|. Ahora solo hay que calcular el adjunto de un elemento.
2
Utiliza la suma de filas para simplificar la matriz. Si tienes los valores de una fila y se los sumas a otra fila distinta, el determinante de la matriz no cambiará. Esto mismo es aplicable a las columnas. Puedes repetir este proceso, o multiplicar los valores por una constante antes de sumar las filas o columnas para obtener el mayor número posible de ceros en la matriz. Este método te ahorrará mucho tiempo.
- Por ejemplo, supón que tienes una matriz con tres filas: ${\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$
- Para anular el 9 en la posición a₁₁, se puede multiplicar la segunda fila por -3 y sumarle el resultado a la primera. La primera fila ahora será [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- La nueva matriz está compuesta por las filas ${\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}$ . Intenta utilizar el mismo truco con las columnas para convertir el elemento a₁₂ en 0 también.
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Aprende el método abreviado para las matrices triangulares. En estos casos concretos, el determinante es, sencillamente, el producto de los elementos que se encuentran en la diagonal principal que va desde a₁₁ (arriba a la izquierda) hasta a₃₃ (abajo a la derecha). Aunque también son matrices de 3x3, las triangulares siguen un patrón especial de valores distintos de 0:^{[4]
X
Fuente de investigación}
- Matriz triangular superior. Todos los elementos distintos de cerco se encuentran en la diagonal principal o por encima de ella. Cualquier elemento que haya por debajo será cero.
- Matriz triangular inferior. Todos los elementos distintos de cero están en la diagonal principal o por debajo de ella.
- Matriz diagonal. Todos los elementos distintos de cero se encuentran en la diagonal principal, por lo que pertenece a un subconjunto de los dos tipos de matrices triangulares que se acaban de definir.
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Consejos

Este método es aplicable a cualquier matriz cuadrada, independientemente de su dimensión. Por ejemplo, si tienes una matriz de 4x4, después de tachar quedará una matriz de 3x3 y podrás utilizar el método descrito en este artículo para hallar el determinante. Sin embargo, ten en cuenta que realizar este método a mano puede ser una tarea bastante engorrosa.
Si todos los elementos de una fila o una columna son 0, el determinante de la matriz es 0.

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