Cómo encontrar la suma de una secuencia aritmética

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Una secuencia aritmética es una serie de números en la cual cada término se incrementa en un valor fijo. Para encontrar la suma de una secuencia aritmética, puedes sumar manualmente cada uno de los números. Sin embargo, si la secuencia contiene muchos números, este método resulta poco práctico. En vez de eso, puedes encontrar rápidamente la suma de cualquier secuencia aritmética multiplicando el promedio entre el primer y el último término por la cantidad de términos de la secuencia.

Parte 1

Parte 1 de 3:
Evaluar la secuencia

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Asegúrate de que se trate de una secuencia aritmética. Una secuencia aritmética es una serie ordenada de números en la cual el cambio es constante.^{[1]
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Fuente de investigación} Este método solo funcionará si el conjunto de números que vas a usar es una secuencia aritmética.
- Para determinar si una secuencia es aritmética, observa la diferencia entre los primeros números y los últimos. Asegúrate de que la diferencia sea siempre la misma.
- Por ejemplo, la serie 10, 15, 20, 25, 30 es una secuencia aritmética porque la diferencia entre los términos es siempre constante (5).
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Identifica la cantidad de términos de la secuencia. Cada número es un término. Si solo hay unos pocos términos, puedes contarlos. De lo contrario, si conoces el primer término, el último y la diferencia común (la diferencia entre un término de la secuencia y el siguiente) puedes usar una fórmula para encontrar la cantidad de términos. Este número generalmente se representa con la variable $n$ $n$ .
- Por ejemplo, si vas a calcular la suma de la secuencia 10, 15, 20, 25, 30, $n=5$ , ya que en esa secuencia hay 5 términos.
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Identifica el primer y el último término de la secuencia. Para poder calcular la suma de una secuencia aritmética es necesario conocer estos dos valores. A veces, el primer número es 1, pero no siempre es así. Representa al primer término de la secuencia con la variable $a_{1}$ $a_{{1}}$ y al último con la variable $a_{n}$ $a_{{n}}$ .
- Por ejemplo, en la secuencia 10, 15, 20, 25, 30, $a_{1}=10$ y $a_{n}=30$ .

Parte 2

Parte 2 de 3:
Calcular la suma

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Plantea la fórmula para encontrar la suma de una secuencia aritmética. La fórmula es $S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})$ $S_{{n}}=n({\frac {a_{{1}}+a_{{n}}}{2}})$ , donde $S_{n}$ $S_{{n}}$ equivale a la suma de la secuencia.^{[2]
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Fuente de investigación}
- Observa cómo la fórmula indica que la suma de una secuencia aritmética es igual al promedio entre el primer y último término, multiplicado por la cantidad de términos.^{[3]
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  Fuente de investigación}
2
Reemplaza los valores de $n$ , $a_{1}$ y $a_{n}$ en la fórmula. Asegúrate de hacer todas estas sustituciones correctamente.
- Por ejemplo, si la secuencia tiene 5 términos, el primer término es 10 y el último 30, entonces la fórmula deberá quedar así: $S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})$ .
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Calcula el promedio entre el primer término y el último. Para hacerlo, suma los dos números y divídelos entre 2.
- Por ejemplo:
  $S_{n}=5({\frac {40}{2}})$
  $S_{n}=5(20)$
4
Multiplica el promedio por la cantidad de términos de la serie. Obtendrás como resultado la suma de la secuencia aritmética.
- Por ejemplo:
  $S_{n}=5(20)$
  $S_{n}=100$
  Por lo tanto, la suma de la secuencia 10, 15, 20, 25, 30 es 100.

Parte 3

Parte 3 de 3:
Resolver problemas de ejemplo

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Encuentra la suma de todos los números entre 1 y 500. Toma todos los enteros consecutivos.
- Determina la cantidad de términos de la secuencia ( $n$ ). Como vas a tomar todos los enteros consecutivos hasta el 500, entonces $n=500$ .
- Identifica al primer término de la secuencia ( $a_{1}$ ) y al último ( $a_{n}$ ). Como la secuencia va del 1 al 500, entonces $a_{1}=1$ y $a_{n}=500$ .
- Encuentra el promedio entre $a_{1}$ y $a_{n}$ : ${\frac {1+500}{2}}=250,5$ .
- Multiplica el promedio por $n$ : $250,5\times 500=125250$ .
2
Calcula la suma de la secuencia aritmética descripta. El primer término de la secuencia es 3. El último término de la secuencia es 24. La diferencia común es 7.
- Determina la cantidad de términos de la secuencia ( $n$ ). Como la secuencia empieza con 3, termina con 24 y se incrementa de a 7, la serie es 3, 10, 17, 24 (la diferencia común es la diferencia entre un término de la secuencia y el siguiente).^{[4]
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  Fuente de investigación} Esto significa que $n=4$ .
- Identifica al primer término de la secuencia ( $a_{1}$ ) y al último ( $a_{n}$ ). Como la secuencia va del 3 al 24, $a_{1}=3$ y $a_{n}=24$ .
- Encuentra el promedio entre $a_{1}$ y $a_{n}$ : ${\frac {3+24}{2}}=13,5$ .
- Multiplica el promedio por $n$ : $13,5\times 4=54$ .
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Resuelve el siguiente problema. Mara ahorró 5 dólares en la primera semana del año. Durante el resto del año, aumentará sus ahorros en 5 dólares cada semana. ¿Cuánto dinero tendrá Mara al finalizar el año?
- Determina la cantidad de términos de la secuencia ( $n$ ). Como Mara ahorrará durante 52 semanas (1 año), $n=52$ .
- Identifica al primer término de la secuencia ( $a_{1}$ ) y al último ( $a_{n}$ ). Su primer ahorro es de 5 dólares, por lo tanto, $a_{1}=5$ . Para averiguar el monto de lo que habrá ahorrado a fin de año deberás calcular $5\times 52=260$ . Por lo tanto, $a_{n}=260$ .
- Encuentra el promedio entre $a_{1}$ y $a_{n}$ : ${\frac {5+260}{2}}=132,5$ .
- Multiplica el promedio por $n$ : $135,5\times 52=7046$ . A fin de año, Mara habrá ahorrado $7046.