Cómo resolver ecuaciones exponenciales

Coescrito por David Jia

Las ecuaciones exponenciales pueden parecer difíciles, pero para resolverlas solo es necesario contar con algunas habilidades básicas de álgebra. Las ecuaciones con exponentes que tienen la misma base se pueden resolver rápidamente. Para los demás casos, hay que usar logaritmos. Sin embargo, incluso estos casos son sencillos con la ayuda de una calculadora científica.

Método 1

Método 1 de 3:
Igualar dos exponentes con la misma base

1
Determina si los dos exponentes tienen la misma base. En la expresión exponencial, la base es el número grande.^{[1]
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Fuente de investigación} Solo puedes usar este método cuando tienes que resolver una ecuación con un exponente en cada lado y donde ambos exponentes tienen la misma base.
- Por ejemplo, $6^{5+y}=6^{3}$ , tiene un exponente en ambos lados de la ecuación y cada exponente tiene la misma base (6).
2
Ignora la base. Como los exponentes son iguales y tienen la misma base, sus exponentes deben ser iguales. Por tal motivo, puedes ignorar la base y escribir una ecuación solo para los exponentes.^{[2]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, en la ecuación $6^{5+y}=6^{3}$ , como ambos exponentes tienen la misma base, podrías escribir esta ecuación para los exponentes: $5+y=3$ .
3
Resuelve la ecuación. Para resolverla, deberás aislar la variable. Recuerda que lo que hagas en un lado de la ecuación deberás hacerlo también en el otro lado.
- Por ejemplo:
  $5+y=3$
  $5+y-5=3-5$
  $y=-2$
4
Revisa tu trabajo. Para asegurarte de que tu respuesta sea correcta, reemplaza el valor que encontraste para la variable en la ecuación original y simplifica la expresión. Los dos lados deberán ser iguales.
- Por ejemplo, si la respuesta que te dio fue $y=-2$ , deberás sustituir $-2$ por $y$ en la ecuación original:
  $6^{5+y}=6^{3}$
  $6^{5-2}=6^{3}$
  $6^{3}=6^{3}$

Método 2

Método 2 de 3:
Igualar un exponente a un número entero

1
Aísla la expresión exponencial. Asegúrate de que haya una expresión exponencial en uno de los lados de la ecuación y un número entero en el otro. De lo contrario, deberás trabajar sobre la ecuación de modo que el exponente quede solo en uno de los lados.
- Por ejemplo, si tienes que resolver $3^{x-5}-2=79$ , primero deberás aislar $3^{x-5}$ sumando 2 en ambos lados de la ecuación:
  $3^{x-5}-2=79$
  $3^{x-5}-2+2=79+2$
  $3^{x-5}=81$
2
Reescribe la ecuación. Ahora deberás determinar si el número entero se puede convertir en un exponente con la misma base que el otro exponente.^{[3]
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Fuente de investigación} Si no puedes convertir el número entero de esta forma, no podrás usar este método.
- Por ejemplo, observa la ecuación $3^{x-5}=81$ . Tienes que cambiar 81 por un exponente en base 3 de modo que coincida con la otra expresión exponencial de la ecuación. Si factorizas el 3, verás que $3\times 3\times 3\times 3=81$ , por lo tanto, $3^{4}=81$ . La nueva ecuación entonces quedará así: $3^{x-5}=3^{4}$ .
3
Escribe la ecuación solo con los exponentes. Como convertiste el número entero, ahora tienes dos expresiones exponenciales con la misma base. Dado que las bases son iguales, entonces puedes dejarlas de lado y concentrarte solamente en los exponentes.
- Por ejemplo, como $3^{x-5}=3^{4}$ tiene dos exponentes con una base de 3, puedes ignorar la base y simplemente cambiar la ecuación original por $x-5=4$ .
4
Resuelve para hallar el valor de la variable. Para hacerlo, deberás aislar la variable de uno de los lados de la ecuación. Recuerda que todo lo que hagas de un lado, deberás hacerlo también en el otro lado.
- Por ejemplo:
  $x-5=4$
  $x-5+5=4+5$
  $x=9$
5
Revisa tu trabajo. Para ver si tu respuesta es correcta, reemplaza la solución que hallaste en la ecuación original. Después de simplificar cada expresión, ambos lados de la ecuación deberán ser iguales. Si no lo son, entonces hiciste mal algún cálculo y deberás intentarlo nuevamente.
- Por ejemplo, si te dio como resultado $x=9$ , reemplaza $9$ por $x$ en la ecuación original y simplifica:
  $3^{x-5}=81$
  $3^{9-5}=81$
  $3^{4}=81$
  $81=81$

Método 3

Método 3 de 3:
Usar logaritmos para términos con distinta base

1
Asegúrate de que la expresión exponencial se encuentre aislada. Uno de los lados de la ecuación deberá ser un exponente y el otro lado un número entero. Si no es así, modifica la ecuación de modo que el exponente quede solo de un lado.
- Por ejemplo, para aislar la expresión $4^{3+x}$ en la ecuación $4^{3+x}-8=17$ deberás sumar 8 en ambos lados:
  $4^{3+x}-8=17$
  $4^{3+x}-8+8=17+8$
  $4^{3+x}=25$
2
Reescribe la ecuación. Reordena la ecuación de modo que puedas quitar los logaritmos de ambos lados. El logaritmo es la función inversa de la potencia.^{[4]
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Fuente de investigación} Casi todas las calculadoras científicas pueden calcular un logaritmo en base 10. Por ahora, solo reescribe la ecuación de forma tal que puedas quitar los logaritmos de ambos lados.
- Por ejemplo, si quitas los logaritmos en base 10 de ambos lados en la ecuación $4^{3+x}=25$ , podrás reescribirla de la siguiente manera: ${\text{log}}4^{3+x}={\text{log}}25$ .
3
Reescribe el logaritmo del exponente. Hazlo usando la regla ${\text{log}}a^{r}=r{\text{log}}a$ ${\text{log}}a^{{r}}=r{\text{log}}a$ . Al reescribir la expresión exponencial de esta forma podrás simplificar y resolver la ecuación. No calcules los logaritmos todavía.
- Por ejemplo, ${\text{log}}4^{3+x}={\text{log}}25$ se puede reescribir como $(3+x){\text{log}}4={\text{log}}25$
4
Aísla la variable. Para resolver, es necesario reescribir la ecuación de manera tal que uno de los lados contenga la variable y el otro todos los números. Tendrás que dividir cada lado de la ecuación por el logaritmo de la expresión exponencial. También tendrás que sumar o restar las constantes en ambos lados y realizar todas las operaciones que sean necesarias.
- Por ejemplo, para aislar $x$ en $(3+x){\text{log}}4={\text{log}}25$ , primero divide cada lado de la ecuación por ${\text{log}}4$ y luego resta 3 en ambos lados:
  $(3+x){\text{log}}4={\text{log}}25$
  $(3+x){\frac {{\text{log}}4}{{\text{log}}4}}={\frac {{\text{log}}25}{{\text{log}}4}}$
  $3+x={\frac {{\text{log}}25}{{\text{log}}4}}$
  $3+x-3={\frac {{\text{log}}25}{{\text{log}}4}}-3$
  $x={\frac {{\text{log}}25}{{\text{log}}4}}-3$
5
Calcula los logaritmos de la ecuación. Puedes hacerlo usando una calculadora científica. Escribe el número cuyo logaritmo quieras averiguar y luego presiona el botón ${\text{LOG}}$ ${\text{LOG}}$ . Reescribe la ecuación usando estos nuevos valores para los logaritmos.
- Por ejemplo, para encontrar ${\text{log}}25$ , presiona $25$ y luego ${\text{LOG}}$ en la calculadora. Te dará un valor aproximado de 1,3979. Para encontrar ${\text{log}}4$ , presiona $4$ y luego ${\text{LOG}}$ en la calculadora. Te dará un valor aproximado de 0,602. Tu nueva ecuación ahora será $x={\frac {1,3979}{0,602}}-3$ .
6
Haz los cálculos finales. Así te dará el valor de la variable. Tu respuesta será aproximada ya que redondeaste los números cuando calculaste los logaritmos. Recuerda respetar el orden de las operaciones al hacer los cálculos. Si necesitas instrucciones más detalladas sobre cómo hacer cálculos respetando el orden de las operaciones, lee este artículo.
- Por ejemplo, en $x={\frac {1,3979}{0,602}}-3$ , primero deberás dividir y luego restar:
  $x={\frac {1,3979}{0,602}}-3$
  $x=2,322-3$
  $x=-0,678$ .