Cómo resolver sistemas de ecuaciones

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Para resolver un sistema de ecuaciones es necesario que encuentres el valor de más de una variable en más de una ecuación. Puedes resolver un sistema de ecuaciones por medio de la suma, la resta, la multiplicación o por sustitución. Si quieres saber cómo resolver un sistema de ecuaciones, solo sigue estos pasos.

Método 1

Método 1 de 4:
Resolver por resta

1
Escribe una ecuación arriba de la otra. Resolver un sistema de ecuaciones por resta es lo ideal cuando notas que ambas ecuaciones tienen una variable con el mismo coeficiente y signo. Por ejemplo, si ambas ecuaciones tienen la variable positiva 2x, lo mejor es que utilices el método de la resta para encontrar el valor de ambas variables.
- Escribe una ecuación sobre la otra asegurándote de que las variables x y y estén alineadas, al igual que los números enteros. Anota el signo de resta del lado izquierdo de la segunda ecuación.
- Ejemplo: si tus dos ecuaciones son 2x + 4y = 8 y 2x + 2y = 2, deberás escribir la primera sobre la segunda, colocando el signo de resta del lado izquierdo del segundo sistema, indicando que restarás cada uno de los términos de esa ecuación.
  - 2x + 4y = 8
  - -(2x + 2y = 2)
2
Resta los términos semejantes. Ahora que has alineado ambas ecuaciones, todo lo que debes hacer es restar los términos semejantes. Puedes hacerlo uno por uno:
- 2x - 2x = 0
- 4y - 2y = 2y
- 8 - 2 = 6
  - 2x + 4y = 8 -(2x + 2y = 2) = 0 + 2y = 6
3
Resuelve el término faltante. Una vez que hayas eliminado una de las variables teniendo 0 como resultado de restar las dos variables con el mismo coeficiente, solo tendrás que resolver para la variable que queda. Puedes eliminar el 0 de la ecuación ya que no afectará su valor.
- 2y = 6
- Divide 2y y 6 entre 2 para obtener y = 3
4
Sustituye ese término en una de las ecuaciones para obtener la otra variable. Ahora que ya sabes que y = 3, solo tienes que sustituir en una de las ecuaciones originales para resolver para x. No importa cuál elijas porque la respuesta siempre será la misma. Si una de las ecuaciones parece más complicada que la otra, simplemente toma la ecuación más sencilla.
- Inserta y=3 en la ecuación 2x + 2y = 2 y resuelve para x.
- 2x + 2(3) = 2
- 2x + 6 = 2
- 2x = -4
- x = - 2
  - Has resuelto el sistema de ecuaciones por medio de la resta. (x, y) = (-2, 3)
5
Verifica tu respuesta. Para asegurarte de que resolviste el sistema de ecuaciones correctamente, simplemente puedes sustituir tus dos respuestas en ambas ecuaciones para confirmar que el resultado sea correcto. Hazlo de la siguiente manera:
- Inserta (-2, 3) como valores de (x, y) en la ecuación 2x + 4y = 8.
  - 2(-2) + 4(3) = 8
  - -4 + 12 = 8
  - 8 = 8
- Inserta (-2, 3) como valores de (x, y) en la ecuación 2x + 2y = 2.
  - 2(-2) + 2(3) = 2
  - -4 + 6 = 2
  - 2 = 2

Método 2

Método 2 de 4:
Resolver por suma

1
Escribe una ecuación sobre la otra. Resolver un sistema de ecuaciones por medio de la suma es lo ideal cuando ves que ambas ecuaciones tienen una variable con el mismo coeficiente pero con signo opuesto. Por ejemplo, si una ecuación tiene la variable 3x y la otra tiene la variable -3x, querrás resolver ese sistema por suma.^{[1]
X
Fuente de investigación}
- Anota una ecuación sobre la otra asegurándote de alinear las variables x y y y los números enteros. Escribe el signo de suma del lado izquierdo de la segunda ecuación.
- Ejemplo: Si tus dos ecuaciones son 3x + 6y = 8 y x - 6y = 4, deberás escribir la primera ecuación sobre la segunda, con el signo de suma del lado izquierdo para indicar que estarás sumando los términos.
  - 3x + 6y = 8
  - +(x - 6y = 4)
2
Suma los términos semejantes. Ahora que ya has alineado las ecuaciones, todo lo que debes hacer es sumar los términos semejantes. Puedes hacerlo uno por uno:
- 3x + x = 4x
- 6y + -6y = 0
- 8 + 4 = 12
- Cuando combines todo obtendrás tu nueva ecuación:
  - 3x + 6y = 8
  - +(x - 6y = 4)
  - = 4x + 0 = 12
3
Resuelva para el término faltante. Una vez que hayas eliminado una de las variables obteniendo 0 como resultado de sumar las variables con mismo coeficiente pero signo contrario, solo deberás resolver para la variable que queda. Puedes eliminar el 0 de la ecuación ya que no cambiará su valor.
- 4x + 0 = 12
- 4x = 12
- Divide 4x y 12 entre 3 para obtener x = 3
4
Inserta el valor de tu variable en la ecuación para obtener el valor de la otra variable. Ahora que ya conoces el valor de x, solo debes sustituirlo en una de las ecuaciones originales para resolver para y. No importa cuál escojas ya que la respuesta será la misma. Si una de las ecuaciones parece más complicada que la otra, solo escoge la más sencilla.
- Inserta x = 3 en la ecuación x - 6y = 4 para resolver para y.
- 3 - 6y = 4
- -6y = 1
- Divide -6y y 1 entre -6 para obtener y = -1/6
  - Has resuelto el sistema de ecuaciones por suma. (x, y) = (3, -1/6)
5
Verifica tu resultado. Para asegurarte de que resolviste el sistema de ecuaciones correctamente, solo deberás sustituir las variables en ambas ecuaciones por los valores que obtuviste y verificar que el resultado es correcto. Hazlo de la siguiente manera:
- Inserta (3, -1/6) como valores de (x, y) en la ecuación 3x + 6y = 8.
  - 3(3) + 6(-1/6) = 8
  - 9 - 1 = 8
  - 8 = 8
- Inserta (3, -1/6) como valores de (x, y) en la ecuación x - 6y = 4.
  - 3 - (6 * -1/6) =4
  - 3 - - 1 = 4
  - 3 + 1 = 4
  - 4 = 4

Método 3

Método 3 de 4:
Resolver por Multiplicación

1
Anota una ecuación sobre la otra. Escribe una ecuación sobre la otra alineando las variables x y y y los números enteros. Cuando utilices el método de la multiplicación, ninguna de las variables tendrá el mismo coeficiente aún.^{[2]
X
Fuente de investigación}
- 3x + 2y = 10
- 2x - y = 2
2
Multiplica una o ambas ecuaciones hasta que una de las variables de ambos términos tenga el mismo coeficiente. Ahora, multiplica una o ambas ecuaciones por un número que haga que una de las variables tenga el mismo coeficiente. En este caso, puedes multiplicar toda la segunda ecuación por dos para que la variable -y se convierta en -2y y sea igual al primer coeficiente y. Hazlo de la siguiente manera:
- 2 (2x - y = 2)
- 4x - 2y = 4
3
Suma o resta las ecuaciones. Ahora, utiliza el método de suma o de resta en ambas ecuaciones analizando qué método eliminaría la variable que tiene el mismo coeficiente. Como en este caso vas a trabajar con 2y y con -2y, deberás utilizar el método de la resta porque 2y + -2y es igual a 0. Si estuvieras trabajando con 2y positivo y 2y positivo, entonces tendrías que utilizar el método de la resta. Utiliza el método de la suma de la siguiente manera para eliminar una de las variables:
- 3x + 2y = 10
- + 4x - 2y = 4
- 7x + 0 = 14
- 7x = 14
4
Resuelve para el término faltante. Solo resuelve para encontrar el valor del término que no se eliminó. Si 7x = 14, entonces x = 2.
5
Sustituye por el valor obtenido dentro de la ecuación para encontrar el valor de la otra variable. Inserta el valor de la variable en una de las ecuaciones originales para resolver para el otro término. Elige la ecuación más sencilla para irte más rápido.
- x = 2 ---> 2x - y = 2
- 4 - y = 2
- -y = -2
- y = 2
- Has resuelto el sistema de ecuaciones por multiplicación. (x, y) = (2, 2)
6
Verifica tu resultado. Para verificar tu resultado, solo sustituye los dos valores que encontraste dentro de las ecuaciones originales para asegurarte de que tengas los valores correctos.
- Inserta (2, 2) como valores de (x, y) en la ecuación 3x + 2y = 10.
- 3(2) + 2(2) = 10
- 6 + 4 = 10
- 10 = 10
- Inserta (2, 2) como valores de (x, y) en la ecuación 2x - y = 2.
- 2(2) - 2 = 2
- 4 - 2 = 2
- 2 = 2

Método 4

Método 4 de 4:
Resolver por sustitución

1
Deja sola una variable. El método de sustitución es el ideal cuando uno de los coeficientes en una de las ecuaciones es igual a 1. Todo lo que tienes que hacer es dejar sola dicha variable de un lado de la ecuación para encontrar su valor.
- Si vas a trabajar con las ecuaciones 2x + 3y = 9 y x + 4y = 2, deberás separar x en la segunda ecuación.
- x + 4y = 2
- x = 2 - 4y
2
Sustituye dicha variable en la segunda ecuación, por el valor que obtuviste en la primera. Toma el valor que encontraste al separar la variable y colócalo en lugar de la variable en la segunda ecuación. No podrás resolver nada si colocas ese valor dentro de la ecuación que manipulaste. Esto es lo que debes hacer:
- x = 2 - 4y --> 2x + 3y = 9
- 2(2 - 4y) + 3y = 9
- 4 - 8y + 3y = 9
- 4 - 5y = 9
- -5y = 9 - 4
- -5y = 5
- -y = 1
- y = - 1
3
Resuelve para la variable faltante. Ahora que sabes que y = - 1, solo coloca ese valor en la ecuación más sencilla para encontrar el valor de x. Hazlo de esta manera:
- y = -1 --> x = 2 - 4y
- x = 2 - 4(-1)
- x = 2 - -4
- x = 2 + 4
- x = 6
- Has resuelto el sistema de ecuaciones por sustitución. (x, y) = (6, -1)
4
Verifica tu resultado. Para asegurarte de que resolviste correctamente, solo sustituye tus resultados en ambas ecuaciones para verificar que si queden esos valores. Hazlo de esta manera:
- Inserta (6, -1) como valores de (x, y) en la ecuación 2x + 3y = 9.
  - 2(6) + 3(-1) = 9
  - 12 - 3 = 9
  - 9 = 9
- Inserta (6, -1) como valores de (x, y) en la ecuación x + 4y = 2.
- 6 + 4(-1) = 2
- 6 - 4 = 2
- 2 = 2

Consejos

Debes poder resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales por medio de cualquiera de los cuatro métodos, pero normalmente un método será el más sencillo dependiendo de las ecuaciones.