Cómo resolver una ecuación diferencial

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Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con uno o más de sus derivadas. En la mayoría de las aplicaciones, las funciones representan cantidades físicas, las derivadas representan sus índices de cambio y la ecuación define una relación entre ellas.

En este artículo, verás las técnicas requeridas para resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias cuyas soluciones pueden escribirse en términos de funciones elementales: polinomios, exponenciales, logaritmos, y funciones trigonométricas y sus inversas. Muchas de estas ecuaciones están presentes en la vida real, pero la mayoría de las otras no pueden resolverse por medio de estas técnicas, por lo que es necesario escribir la respuesta en términos de funciones especiales o series de potencias, o computarla numéricamente.

Este artículo asume que tienes una buena comprensión de los cálculos diferenciales e integrales, así como cierto conocimiento de las derivadas parciales. También es recomendable que tengas algunos conocimientos en álgebra lineal para la teoría detrás de las ecuaciones diferenciales, en especial para la parte que concierne a las ecuaciones diferenciales de segundo orden, aunque para resolverlas solo es necesario saber cálculo.

Preámbulo

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías. En este artículo, trataremos con ecuaciones diferenciales ordinarias (es decir, ecuaciones que describen funciones de una variable y sus derivadas), las cuales son mucho más fáciles de entender y de resolver que las ecuaciones diferenciales parciales (ecuaciones que relacionan funciones de más de una variable). En este artículo, no resolveremos estas últimas, pues sus métodos de resolución generalmente son más específicos de la ecuación.
- A continuación, estos son unos cuantos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=ky$
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+kx=0$
- A continuación, estos son unos cuantos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales.
  - ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0$
  - ${\frac {\partial u}{\partial t}}-\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0$
Identificamos el orden de la ecuación diferencial como el orden de la derivada más alta tomada. La primera ecuación que enumeramos como ejemplo es una de primer orden, mientras que la segunda es de segundo orden. El grado de una ecuación es la potencia a la que se eleva el término de orden más alto.
- Por ejemplo, la siguiente ecuación es de tercer orden y segundo grado.
  - $\left({\frac {\mathrm {d} ^{3}y}{\mathrm {d} x^{3}}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$
Decimos que una ecuación diferencial es una ecuación diferencial lineal si el grado de la función y sus derivadas es 1. De lo contrario, se dice que la ecuación es una ecuación diferencial no lineal, la cual es notable porque tiene soluciones que pueden sumarse en combinaciones lineales con la finalidad de formar soluciones más exactas.
- A continuación, estos son unos cuantos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
  - $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
- Los siguientes son unos cuantos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales. La primera es no lineal debido al término seno.
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {g}{l}}\operatorname {sen} \theta =0$
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+tx^{2}=0$
Las soluciones generales para las ecuaciones diferenciales ordinarias no son únicas, sino que introducen constantes arbitrarias. En la mayoría de los casos, el número de constantes equivale al orden de la ecuación. En aplicaciones, dichas constantes están sujetas a evaluación conforma a las condiciones iniciales: la función y sus derivadas en $x=0.$ $x=0.$ En la mayoría de los casos, el número de condiciones iniciales necesario para hallar una solución particular de una ecuación diferencial también es igual al orden de la ecuación.
- Por ejemplo, la siguiente ecuación es una de las que se tratará de resolver en este artículo. Se trata de una ecuación diferencial lineal de segundo orden cuya solución general contiene dos constantes arbitrarias. Para evaluar dichas constantes, también será necesario conocer las condiciones iniciales en $x(0)$ $x(0)$ y $x'(0)$ $x'(0)$ , las cuales suelen darse en $x=0,$ $x=0,$ aunque no siempre es el caso. También se hablará más adelante sobre la forma de hallar soluciones particulares con base en las condiciones iniciales.
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+k^{2}x=0$
  - $x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\operatorname {sen} kx$

Parte 1

Parte 1 de 2:
Ecuaciones de primer orden

1
Resuelve ecuaciones de primer orden. En esta sección, se hablará sobre los métodos para resolver las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden ya sea en casos generales como específicos donde determinados términos tengan un valor de 0. Se permite que $y=y(x),$ $y=y(x),$ $p(x),$ $p(x),$ y $q(x)$ $q(x)$ sean funciones de $x.$ $x.$

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)y=q(x)$
$p(x)=0.$ Mediante el teorema fundamental del cálculo, la integral de una derivada de una función es la función misma. Por lo tanto, simplemente se puede integrar dicha función para obtener la respuesta. No olvides que evaluar una integral indefinida introduce una constante arbitraria.
- $y(x)=\int q(x)\mathrm {d} x$
$q(x)=0.$ Se utiliza la técnica de separación de variables. La separación de variables pone de manera intuitiva a cada variable en lados distintos de la ecuación. Por ejemplo, se mueven todos los términos de $y$ hacia un lado y los de $x$ hacia el otro. Se pueden tratar los términos $\mathrm {d} x$ y $\mathrm {d} y$ en la derivada como cantidades que pueden moverse a cualquier parte, pero ten en cuenta que esto simplemente es una abreviación para una manipulación que aprovecha la regla de la cadena. La naturaleza exacta de estos objetos conocidos como diferenciales está fuera del alcance de este artículo.
- En primer lugar, se coloca cada variable en lados opuestos de la ecuación.
  - ${\frac {1}{y}}\mathrm {d} y=-p(x)\mathrm {d} x$
- Integra ambos lados. La integración introduce una constante arbitraria en ambos lados, pero podrías colocarlas en el lado derecho.
  - $\ln y=\int -p(x)\mathrm {d} x$
  - $y(x)=e^{-\int p(x)\mathrm {d} x}$
- Ejemplo 1.1. En el último paso, aprovechas la ley de exponentes $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$ $e^{{a+b}}=e^{{a}}e^{{b}}$ y reemplazas $e^{C}$ $e^{{C}}$ con $C$ $C$ porque, una vez más, es una constante arbitraria.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-2y\operatorname {sen} x=0$
  - ${\begin{aligned}{\frac {1}{2y}}\mathrm {d} y&=\operatorname {sen} x\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}\ln y&=-\cos x+C\\\ln y&=-2\cos x+C\\y(x)&=Ce^{-2\cos x}\end{aligned}}$
$p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.$ Para resolver la ecuación general, introduces un factor de integración $\mu (x),$ una función de $x$ que facilite la resolución de la ecuación al poner el lado derecho bajo una derivada común.
- Multiplica ambos lados por $\mu (x).$ $\mu (x).$
  - $\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py=\mu q$
- Para colocar el lado izquierdo bajo una derivada común, será necesario tener lo siguiente.
  - ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\mu y)={\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}y+\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\mu {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+\mu py$
- Esta última ecuación implica que ${\frac {\mathrm {d} \mu }{\mathrm {d} x}}=\mu p,$ ${\frac {{\mathrm {d}}\mu }{{\mathrm {d}}x}}=\mu p,$ que tiene la siguiente solución. Este es el factor de integración que resuelve todas las ecuaciones lineales de primer orden. Ahora puedes derivar una fórmula que resuelva dicha ecuación en términos de $\mu ,$ $\mu ,$ pero que sea más instructiva para realizar los cálculos.
  - $\mu (x)=e^{\int p(x)\mathrm {d} x}$
- Ejemplo 1.2. Este ejemplo también introduce la noción de hallar una solución particular para la ecuación diferencial con base en las condiciones iniciales.
  - $t{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+2y=t^{2},\quad y(2)=3$
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2}{t}}y=t$
  - $\mu (x)=e^{\int p(t)\mathrm {d} t}=e^{2\ln t}=t^{2}$
  - ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(t^{2}y)&=t^{3}\\t^{2}y&={\frac {1}{4}}t^{4}+C\\y(t)&={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {C}{t^{2}}}\end{aligned}}$
  - $3=y(2)=1+{\frac {C}{4}},\quad C=8$
  - $y(t)={\frac {1}{4}}t^{2}+{\frac {8}{t^{2}}}$
2
Ecuaciones no lineales de primer orden. En esta sección, se habla sobre los métodos para resolver algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden. Ten en cuenta que no existe una solución general en forma cerrada, pero es posible resolver determinadas ecuaciones utilizando las técnicas descritas más adelante.

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=f(x,y)$
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=h(x)g(y).$ ${\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}=h(x)g(y).$ Si la función $f(x,y)=h(x)g(y)$ $f(x,y)=h(x)g(y)$ puede separarse en funciones de una variable cada una, de modo que la ecuación se indique como separable. Ahora, realizarás el mismo método de antes.
- $\int {\frac {\mathrm {d} y}{h(y)}}=\int g(x)\mathrm {d} x$
- Ejemplo 1.3.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {x^{3}}{y(1+x^{4})}}$
  - ${\begin{aligned}\int y\mathrm {d} y&=\int {\frac {x^{3}}{1+x^{4}}}\mathrm {d} x\\{\frac {1}{2}}y^{2}&={\frac {1}{4}}\ln(1+x^{4})+C\\y(x)&={\frac {1}{2}}\ln(1+x^{4})+C\end{aligned}}$
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {g(x,y)}{h(x,y)}}.$ Establezce a $g(x,y)$ y $h(x,y)$ como funciones de $x$ and $y.$ Por lo tanto, una ecuación diferencial homogénea es aquella donde $g$ y $h$ son funciones homogéneas del mismo grado. Esto significa que la función cumple la propiedad $g(\alpha x,\alpha y)=\alpha ^{k}g(x,y),$ donde $k$ se conoce como el grado de homogeneidad. Cada ecuación diferencial homogénea puede convertirse en una ecuación separable mediante un cambio de variables suficiente, ya sea $v=y/x$ o $v=x/y.$
- Ejemplo 1.4. La discusión anterior concerniente a la homogeneidad puede ser un tanto arcana. Esta es la forma en que se aplica por medio de un ejemplo.
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y^{3}-x^{3}}{y^{2}x}}$
  - Primero observa que esta es una ecuación no lineal en $y.$ También verás que esta ecuación no puede separarse. No obstante, se trata de una ecuación diferencial homogénea debido a que tanto la que se encuentra arriba como la de abajo son homogéneas de grado 3. Por consiguiente, puedes hacer el cambio de variables $v=y/x.$
  - ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {y}{x}}-{\frac {x^{2}}{y^{2}}}=v-{\frac {1}{v^{2}}}$
  - $y=vx,\quad {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}x+v$
  - ${\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}x=-{\frac {1}{v^{2}}}.$ Ahora esta es una ecuación separable en $v.$
  - $v(x)={\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}$
  - $y(x)=x{\sqrt[{3}]{-3\ln x+C}}$
${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=p(x)y+q(x)y^{n}.$ Esta es la ecuación diferencial de Bernoulli, un ejemplo particular de una ecuación no lineal de primer orden que puede escribirse en términos de funciones elementales.
- Multiplica por $(1-n)y^{-n}.$ $(1-n)y^{{-n}}.$
  - $(1-n)y^{-n}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)$
- Utiliza la regla de la cadena en el lado izquierdo para convertir la ecuación en una ecuación lineal en $y^{1-n},$ $y^{{1-n}},$ la cual pueda resolverse utilizando las técnicas descritas previamente.
  - ${\frac {\mathrm {d} y^{1-n}}{\mathrm {d} x}}=p(x)(1-n)y^{1-n}+(1-n)q(x)$
$M(x,y)+N(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0.$ En este punto, se discutirán las ecuaciones exactas. El objetivo es hallar una función $\varphi (x,y),$ llamada función potencial, como ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=0.$
- Para cumplir esta condición, tienes la siguiente derivada total. la derivada total permite dependencias variables adicionales. Para calcular la derivada total de $\varphi$ $\varphi$ con respecto a $x,$ $x,$ permite la posibilidad de que $y$ $y$ también pueda depender de $x.$ $x.$
  - ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$
- Si comparas términos, tendrás $M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}$ $M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}$ y $N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.$ $N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.$ Es un resultado estándar del cálculo multivariable que las derivadas mixtas para funciones diferenciables sean iguales entre sí. En ocasiones, esto se conoce como el teorema de Clairaut. La ecuación diferencial será exacta si se cumple la siguiente condición:
  - ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$
- El método para resolver ecuaciones exactas es similar a hallar funciones potenciales en un cálculo multivariable, lo que verás un poco más adelante. Primero integras $M$ $M$ con respecto a $x.$ $x.$ Como $M$ $M$ es una función de $x$ $x$ e $y,$ $y,$ la integración solo puede recuperar parcialmente $\varphi ,$ $\varphi ,$ cuyo término ${\tilde {\varphi }}$ ${\tilde {\varphi }}$ debe recordar el lector. También existe una constante de integración que es una función de $y.$ $y.$
  - $\varphi (x,y)=\int M(x,y)\mathrm {d} x={\tilde {\varphi }}(x,y)+c(y)$
- Luego tomas la derivada parcial del resultado con respecto a $y,$ $y,$ comparas los términos con $N(x,y),$ $N(x,y),$ y realizamos la integración para obtener $c(y).$ $c(y).$ También puedes comenzar integrando $N$ $N$ primero y luego tomando la derivada parcial del resultado con respecto a $x$ $x$ para hallar la función arbitraria $d(x).$ $d(x).$ Cualquier método está bien y generalmente se elige la función más fácil de integrar.
  - $N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial y}}+{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}$
- Ejemplo 1.5. Puedes verificar la exactitud de esta ecuación al realizar las comprobar parciales.
  - $3x^{2}+y^{2}+2xy{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=0$
  - ${\begin{aligned}\varphi &=\int (3x^{2}+y^{2})\mathrm {d} x=x^{3}+xy^{2}+c(y)\\{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}&=N(x,y)=2xy+{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}\end{aligned}}$
  - ${\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} y}}=0,\quad c(y)=C$
  - $x^{3}+xy^{2}=C$
- Si la ecuación diferencial es inexacta, existen otras formas de hallar un factor de integración que la haga exacta. No obstante, las aplicaciones para estas ecuaciones son aún más difíciles de hallar en las ciencias. Además, si bien la existencia de los factores de integración está garantizada, no se garantiza que se puedan encontrar fácilmente. Como tal, no los tratarás en este artículo.
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Parte 2

Parte 2 de 2:
Ecuaciones de segundo orden

1
Resuelve ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes. Estas ecuaciones son algunas de las más importantes de resolver debido a su amplia aplicación. En este caso, la homogeneidad no hace referencia a funciones homogéneas, sino al hecho de que la ecuación es igual a 0. En la siguiente sección, verás cómo resolver las ecuaciones diferenciales no homogéneas correspondientes. En la siguiente ecuación, $a$ $a$ y $b$ $b$ son constantes.

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
Ecuación característica. Esta ecuación diferencia es notable debido a que es posible resolverla con facilidad si observas qué propiedades deben tener sus soluciones. Esta ecuación nos indica que $y$ y sus derivadas son proporcionales entre sí. Con base en los ejemplos anteriores sobre ecuaciones de primer orden, sabes que solo la función exponencial posee esta propiedad. Por lo tanto, propondrás un ansatz (una conjetura educada) sobre cuál será la solución.
- Este ansatz es la función exponencial $e^{rx},$ $e^{{rx}},$ donde $r$ $r$ es una constante a determinar. Si reemplazas los valores en la ecuación, obtendrás lo siguiente.
  - $e^{rx}(r^{2}+ar+b)=0$
- Esta ecuación nos indica que una función exponencial multiplicada por un polinomio debe ser igual a 0. Sabes que la función exponencial no puede ser igual a 0 en ninguna parte. El polinomio igualado a 0 se considera la ecuación característica. Haz convertido de manera efectiva un problema con una ecuación diferencial en un problema de ecuación algebraica, algo que es mucho más fácil de resolver.
  - $r^{2}+ar+b=0$
  - $r_{\pm }={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}$
- Se obtienen dos raíces. Debido a que esta ecuación diferencial es una ecuación lineal, la solución general se compone de una combinación lineal de las soluciones individuales. Como se trata de una ecuación de segundo orden, sabes que esta es la solución general y no es necesario buscar otras. Una justificación más rigurosa se encuentra en los teoremas de existencia y unicidad presentes en la literatura.
- Una forma útil de verificar si dos soluciones son linealmente independientes es por medio del wronskiano. El wronskiano $W$ $W$ es el determinante de una matriz cuyas columnas son las funciones y sus derivadas sucesivas descienden por las filas. Un teorema en álgebra lineal es que las funciones en la matriz son dependientes linealmente si el wronskiano desaparece. En este punto, puedes verificar si dos soluciones son independientes linealmente al asegurarnos de que el wronskiano no desaparezca. De esta manera, el wronskiano se volverá importante para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas con coeficientes constantes por medio de la variación de los parámetros.
  - $W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}$
- En términos de álgebra lineal, el conjunto de soluciones de esta ecuación diferencial abarca un espacio vectorial con una dimensión equivalente al orden de dicha ecuación diferencial. Las soluciones forman una base y, por consiguiente, son linealmente independientes entre sí. Esto es posible debido a que la función $y(x)$ actúa como un operador lineal. La derivada es un operador lineal debido a que hace que el espacio de funciones diferenciables se aplique al espacio de todas las funciones. La razón por la que esta es una ecuación homogénea es porque, en el caso de cualquier operador lineal $L,$ buscas soluciones de la ecuación $L[y]=0.$
Ahora procede a ver dos de los tres casos. Las raíces repetidas tendrán que esperar hasta la sección que habla sobre la reducción de orden.

Dos raíces reales y distintas. Si $r_{\pm }$ son reales y distintas, entonces la solución para la ecuación diferencial será la siguiente:
- $y(x)=c_{1}e^{r_{+}x}+c_{2}e^{r_{-}x}$
Dos raíces complejas. Un corolario del teorema fundamental de álgebra es que las soluciones para las ecuaciones polinomiales con coeficientes reales contienen raíces que son reales o que vienen en pares conjugados. Por lo tanto, si $r=\alpha +i\beta$ es compleja y es una raíces de la ecuación característica, entonces $r^{*}=\alpha -i\beta$ también es una raíz. Puedes escribir la solución como $c_{1}e^{(\alpha +i\beta )x}+c_{2}e^{(\alpha -i\beta )x},$ pero esta es una solución compleja que no se busca como respuesta a una ecuación diferencial real.
- En lugar de eso, puedes utilizar la fórmula de Euler $e^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x$ $e^{{ix}}=\cos x+i\operatorname{sen} x$ para escribir la solución en términos de funciones trigonométricas.
  - $e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+ic_{1}\sin \beta x+c_{2}\cos \beta x-ic_{2}\operatorname {sen} \beta x)$
- Ahora reemplaza las constantes $c_{1}+c_{2}$ $c_{{1}}+c_{{2}}$ con $c_{1}$ $c_{{1}}$ e $i(c_{1}-c_{2})$ $i(c_{{1}}-c_{{2}})$ con $c_{2}.$ $c_{{2}}.$ Esto dará como resultado la siguiente solución.
  - $y(x)=e^{\alpha x}(c_{1}\cos \beta x+c_{2}\operatorname {sen} \beta x)$
- Existe otra forma de representar esta solución en términos de amplitud y fase, lo que generalmente es más útil en aplicaciones físicas. Si quieres obtener más detalles sobre este cálculo, busca en Internet información sobre la forma de resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes.
- Ejemplo 2.1. Halla la solución para la siguiente ecuación diferencial según las condiciones iniciales. Para ello, es necesario utilizar la solución, así como su derivada y reemplazar las condiciones iniciales en ambos resultados para resolver las constantes arbitrarias.
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+3{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+10x=0,\quad x(0)=1,\ x'(0)=-1$
  - $r^{2}+3r+10=0,\quad r_{\pm }={\frac {-3\pm {\sqrt {9-40}}}{2}}=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {\sqrt {31}}{2}}i$
  - $x(t)=e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\operatorname {sen} {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)$
  - $x(0)=1=c_{1}$
  - ${\begin{aligned}x'(t)&=-{\frac {3}{2}}e^{-3t/2}\left(c_{1}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+c_{2}\operatorname {sen} {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\\&+e^{-3t/2}\left(-{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{1}\operatorname {sen} {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2}\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)\end{aligned}}$
  - $x'(0)=-1=-{\frac {3}{2}}c_{1}+{\frac {\sqrt {31}}{2}}c_{2},\quad c_{2}={\frac {1}{\sqrt {31}}}$
  - $x(t)=e^{-3t/2}\left(\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {1}{\sqrt {31}}}\operatorname {sen} {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)$
2
Reducción de orden. La reducción de orden es un método para resolver ecuaciones diferenciales cuando se conoce una solución linealmente independiente. El método funciona reduciendo el orden de la ecuación a uno, permitiendo resolverla por medio de las técnicas descritas en la sección anterior. Supón que $y_{1}(x)$ $y_{{1}}(x)$ es la solución conocida. El objetivo básico de la reducción de orden es buscar una solución de la forma mostrada más adelante, donde $v(x)$ $v(x)$ es una función a determinar, sustituirla en la ecuación diferencial y hallar $v(x).$ $v(x).$ Verás cómo aplicar la reducción de orden al encontrar la solución para la ecuación diferencial con coeficientes constantes que tienen raíces repetidas.

$y(x)=v(x)y_{1}(x)$
Halla las raíces repetidas a la ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes. Recuerda que una ecuación de segundo orden debe tener dos soluciones linealmente independientes. Si la ecuación característica presenta una raíz repetida, entonces el conjunto solución no logra abarcar el espacio debido a que las soluciones son linealmente dependientes. Por consiguiente, deberás utilizar la reducción de orden para hallar la segunda solución linealmente independiente.
- Suponiendo que $r$ $r$ representa la raíz repetida de la ecuación característica. Establece la segunda solución como $y(x)=e^{rx}v(x)$ $y(x)=e^{{rx}}v(x)$ y reemplázala en la ecuación diferencial. Descubrirás que la mayoría de los términos, exceptuando el que tiene la segunda derivada de $v,$ $v,$ se cancelan.
  - $v''(x)e^{rx}=0$
- Ejemplo 2.2. Supón que tienes la ecuación mostrada líneas abajo, la cual tiene la raíz repetida $r=-4.$ $r=-4.$ Por suerte, nuestra sustitución cancela la mayoría de los términos.
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+8{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+16y=0$
  - ${\begin{aligned}y&=v(x)e^{-4x}\\y'&=v'(x)e^{-4x}-4v(x)e^{-4x}\\y''&=v''(x)e^{-4x}-8v'(x)e^{-4x}+16v(x)e^{-4x}\end{aligned}}$
  - ${\begin{aligned}v''e^{-4x}&-{\cancel {8v'e^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}\\&+{\cancel {8v'e^{-4x}}}-{\cancel {32ve^{-4x}}}+{\cancel {16ve^{-4x}}}=0\end{aligned}}$
- Al igual que nuestro ansatz para la ecuación diferencial con coeficientes constantes, solo la segunda derivada puede ser 0. Integrar dos veces da lugar a la expresión deseada para $v.$ $v.$
  - $v(x)=c_{1}+c_{2}x$
- Puedes escribir de la misma manera la solución general a la ecuación diferencial con coeficientes constantes según las raíces repetidas en su ecuación característica. Como un método sencillo para recordarlo, simplemente multiplica el segundo término con una $x$ $x$ para lograr la independencia lineal. Como este conjunto es linealmente independiente, significa que haz encontrado todas las posibles soluciones para esta ecuación.
  - $y(x)=(c_{1}+c_{2}x)e^{rx}$
${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+q(x)y=0.$ La reducción de orden se aplica si conoces una solución $y_{1}(x)$ a esta ecuación, ya sea hallada por accidente o dada en un problema.
- Busca una solución de la forma $y(x)=v(x)y_{1}(x)$ $y(x)=v(x)y_{{1}}(x)$ y procede a sustituirla en la ecuación.
  - $v''y_{1}+2v'y_{1}'+p(x)v'y_{1}+v(y_{1}''+p(x)y_{1}'+q(x))=0$
- Debido a que $y_{1}$ $y_{{1}}$ ya es una solución a la ecuación diferencial, todos los términos con $v$ $v$ desaparecen. Lo que queda es una ecuación lineal de primer orden. Para verlo con mayor claridad, haz el cambio de variables $w(x)=v'(x).$ $w(x)=v'(x).$
  - $y_{1}w'+(2y_{1}'+p(x)y_{1})w=0$
  - $w(x)=\exp \left(\int \left({\frac {2y_{1}'(x)}{y_{1}(x)}}+p(x)\right)\mathrm {d} x\right)$
  - $v(x)=\int w(x)\mathrm {d} x$
- Si es posible calcular los integrales, se obtendría la solución general en términos de funciones elementales. De lo contrario, la solución puede dejarse en forma de integral.
3
Ecuación de Euler-Cauchy. La ecuación de Euler-Cauchy es un ejemplo específico de una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables que contienen soluciones exactas. Esta ecuación tiene algunas aplicaciones, como cuando se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.

$x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+ax{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=0$
Ecuación característica. La estructura de esta ecuación diferencial es tal que cada término se multiplica por un término de potencia cuyo grado sea igual al orden de la derivada.
- Esto sugiere que pruebes el ansatz $y(x)=x^{n},$ $y(x)=x^{{n}},$ donde $n$ $n$ debe determinarse, de una manera similar a como pruebas la función exponencial cuando quieres calcular la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Después de diferenciar y sustituir, obtendrás lo siguiente.
  - $x^{n}(n^{2}+(a-1)n+b)=0$
- En este punto, debes asumir que $x\neq 0$ $x\neq 0$ para poder utilizar la ecuación característica. El punto $x=0$ $x=0$ se conoce como punto singular regular de la ecuación diferencial, una propiedad que se vuelve importante al momento de resolver ecuaciones diferenciales utilizando series de potencias. Esta ecuación tiene dos raíces, las cuales podrían ser reales y distintas, repetidas o complejas.
  - $n_{\pm }={\frac {1-a\pm {\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}}{2}}$
Dos raíces reales y distintas. Si $n_{\pm }$ son reales y distintas, entonces la solución para la ecuación diferencial será la siguiente:
- $y(x)=c_{1}x^{n_{+}}+c_{2}x^{n_{-}}$
Dos raíces complejas. Si $n_{\pm }=\alpha \pm \beta i$ son las raíces para la ecuación característica, obtendrás como solución una función compleja.
- Para convertirla en una función real, debes hacer el cambio de variables $x=e^{t},$ $x=e^{{t}},$ insinuando que $t=\ln x,$ $t=\ln x,$ y utilizar la fórmula de Euler. Se realiza un proceso similar al anterior reasignando constantes arbitrarias.
  - $y(t)=e^{\alpha t}(c_{1}e^{\beta it}+c_{2}e^{-\beta it})$
- La solución general puede escribirse de la siguiente manera:
  - $y(x)=x^{\alpha }(c_{1}\cos(\beta \ln x)+c_{2}\operatorname {sen}(\beta \ln x))$
Raíces repetidas. Para obtener la segunda solución linealmente independiente, debes utilizar nuevamente la reducción de orden.
- Hay mucha álgebra involucrada, pero el concepto sigue siendo el mismo: reemplaza $y=v(x)y_{1}$ $y=v(x)y_{{1}}$ en la ecuación, donde $y_{1}$ $y_{{1}}$ es la primera solución. Los términos se cancelarán y nos quedarás con la siguiente ecuación:
  - $v''+{\frac {1}{x}}v'=0$
- Esta es una ecuación lineal de primer orden en $v'(x).$ $v'(x).$ Su solución es $v(x)=c_{1}+c_{2}\ln x.$ $v(x)=c_{{1}}+c_{{2}}\ln x.$ Una forma sencilla de recordar esta solución es que la segunda solución linealmente independiente simplemente necesita un término $\ln x$ $\ln x$ adicional. Por lo tanto, la respuesta puede escribirse de la siguiente manera:
  - $y(x)=x^{n}(c_{1}+c_{2}\ln x)$
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Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. En el caso de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, la fórmula es $L[y(x)]=f(x),$ $L[y(x)]=f(x),$ donde $f(x)$ $f(x)$ se conoce como el término fuente. De acuerdo con la teoría de ecuaciones diferenciales, la solución general para esta ecuación es la superposición de la solución particular $y_{p}(x)$ $y_{{p}}(x)$ y la solución complementaria $y_{c}(x).$ $y_{{c}}(x).$ Pese a lo que se pueda creer, esta solución particular no hace referencia a una solución según condiciones iniciales, sino más bien a la solución que existe como resultado del término no homogéneo. Por su parte, la solución complementaria hace referencia a la solución de la ecuación diferencial homogénea correspondiente al establecer que $f(x)=0.$ $f(x)=0.$ Puedes demostrar que la solución general es una superposición de estas dos soluciones al escribir $L[y_{p}+y_{c}]=L[y_{p}]+L[y_{c}]=f(x)$ $L[y_{{p}}+y_{{c}}]=L[y_{{p}}]+L[y_{{c}}]=f(x)$ e indicar que, debido a que $L[y_{c}]=0,$ $L[y_{{c}}]=0,$ esta superposición viene a ser la solución general.

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+a{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+by=f(x)$
Método de coeficientes indeterminados. El método de coeficientes indeterminados es un método que funciona cuando el término fuente es una combinación de términos exponenciales, trigonométricos, hiperbólicos o de potencia. Estos son los únicos términos que tengan un número finito de derivadas linealmente independientes. En esta sección, nos centrarás en hallar la solución particular.
- Compara los términos en $f(x)$ $f(x)$ con losde $y_{c},$ $y_{{c}},$ sin tener en cuenta las constantes multiplicativas. Existen tres casos:
  - Ninguno de los términos son iguales. La solución particular $y_{p}$ consistirá de una combinación lineal de los términos en $y_{p}$ y sus derivadas linealmente independientes.
  - $f(x)$ contiene un término $h(x)$ que es $x^{n}$ veces un término en $y_{c},$ donde $n$ es 0 o un integral positivo, pero este término se origina a partir de una raíz distinta de la ecuación característica. En este caso, $y_{p}$ consistirá en una combinación lineal de $x^{n+1}h(x),$ sus derivadas linealmente independientes, así como los demás términos de $f(x)$ y sus derivadas linealmente independientes.
  - $f(x)$ contiene un término $h(x)$ que es $x^{n}$ veces un término en $y_{c},$ donde $n$ es 0 o un integral positivo, pero este término se origina a partir de una raíz repetida de la ecuación característica. En este caso, $y_{p}$ consistirá en una combinación lineal de $x^{n+s}h(x)$ (donde $s$ es la multiplicidad de la raíz) y sus derivadas linealmente independientes, así como los demás términos de $f(x)$ y sus derivadas linealmente independientes.
- Escribe $y_{p}$ como una combinación lineal de los términos mencionados previamente. Los coeficientes en esta combinación lineal hacen referencia al nombre de “coeficientes indeterminados”. Si aparecen los términos que están en $y_{c}$ , es posible descartarlos debido a la presencia de las constantes arbitrarias en $y_{c}.$ Una vez escritos, reemplaza $y_{p}$ en la ecuación y equipara los términos semejantes.
- Halla los coeficientes. En general, en este punto nos encontraremos con un sistema de ecuaciones algebraicas, pero generalmente no es muy difícil de resolver. Una vez encontrado dicho sistema, hallaremos $y_{p}$ y eso será todo.
- Ejemplo 2.3. La siguiente es una ecuación diferencial no homogénea con un término fuente que contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Por lo tanto, podemos utilizar el método de coeficientes indeterminados para hallar su solución particular.
  - ${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}+6y=2e^{3t}-\cos 5t$
  - $y_{c}(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\operatorname {sen} {\sqrt {6}}t$
  - $y_{p}(t)=Ae^{3t}+B\cos 5t+C\operatorname {sen} 5t$
  - ${\begin{aligned}9Ae^{3t}-25B\cos 5t&-25C\operatorname {sen} 5t+6Ae^{3t}\\&+6B\cos 5t+6C\operatorname {sen} 5t=2e^{3t}-\cos 5t\end{aligned}}$
  - ${\begin{cases}9A+6A=2,&A={\dfrac {2}{15}}\\-25B+6B=-1,&B={\dfrac {1}{19}}\\-25C+6C=0,&C=0\end{cases}}$
  - $y(t)=c_{1}\cos {\sqrt {6}}t+c_{2}\sin {\sqrt {6}}t+{\frac {2}{15}}e^{3t}+{\frac {1}{19}}\cos 5t$
Variación de parámetros. La variación de parámetros es un término más general para resolver las ecuaciones diferenciales no homogéneas, en especial cuando el término fuente no contiene un número finito de derivadas linealmente independientes. Los términos fuente $\tan x$ y $x^{-n}$ garantizan el uso de la variación de parámetros para hallar la solución particular. Incluso es posible utilizar dicha variación para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, aunque, con la excepción de la ecuación Euler-Cauchy, es menos común debido a que la solución complementaria generalmente no se escribe en términos de funciones elementales.
- Supongamos una solución con la forma mostrada a continuación. Su derivada se escribe en la segunda línea.
  - $y(x)=v_{1}(x)y_{1}(x)+v_{2}(x)y_{2}(x)$
  - $y'=v_{1}'y_{1}+v_{1}y_{1}'+v_{2}'y_{2}+v_{2}y_{2}'$
- Debido a que la solución supuesta tiene una forma en la que hay dos incógnitas, aunque solo se trate de una ecuación, también debemos imponer una condición auxiliar. La solución auxiliar que escogeremos es la siguiente.
  - $v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}=0$
  - $y'=v_{1}y_{1}'+v_{2}y_{2}'$
  - $y''=v_{1}'y_{1}'+v_{1}y_{1}''+v_{2}'y_{2}'+v_{2}y_{2}''$
- Ahora procedamos a obtener la segunda ecuación. Después de sustituir y reodenar los términos, podemos agrupar los términos que contengan $v_{1}$ $v_{{1}}$ y los que contienen $v_{2}$ $v_{{2}}$ . Todos estos términos se cancelan debido a que $y_{1}$ $y_{{1}}$ y $y_{2}$ $y_{{2}}$ son soluciones para la ecuación homogénea correspondiente. Por consiguiente, terminaremos con el siguiente sistema de ecuaciones.
  - ${\begin{aligned}v_{1}'y_{1}+v_{2}'y_{2}&=0\\v_{1}'y_{1}'+v_{2}'y_{2}'&=f(x)\\\end{aligned}}$
- Es posible reordenar este sistema en una ecuación matricial con la forma $A\mathbf {x} =\mathbf {b} ,$ $A{\mathbf {x}}={\mathbf {b}},$ cuya solución sea $\mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} .$ ${\mathbf {x}}=A^{{-1}}{\mathbf {b}}.$ Para hallar la inversa de una solución $2\times 2$ $2\times 2$ , es necesario dividir entre el determinante, intercambiar los términos diagonales y anular los elementos fuera de la diagonal. De hecho, el determinante de esta matriz es el wronskiano.
  - ${\begin{pmatrix}v_{1}'\\v_{2}'\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}y_{2}'&-y_{2}\\-y_{1}'&y_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}}$
- Las fórmulas para $v_{1}$ $v_{{1}}$ y $v_{2}$ $v_{{2}}$ son las mostradas líneas abajo. Al igual que en la reducción de orden, la integración introduce una constante arbitraria que incorpora la solución complementaria en la solución general de la ecuación diferencial.
  - $v_{1}(x)=-\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{2}(x)\mathrm {d} x$
  - $v_{2}(x)=\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{1}(x)\mathrm {d} x$
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Discusiones

Las ecuaciones diferenciales relacionan una función con una o más de sus derivadas. Debido a que estas relaciones son sumamente comunes, las ecuaciones diferenciales tienen muchas aplicaciones importantes en la vida real y, como vivimos en un mundo en cuatro dimensiones, suelen ser ecuaciones diferenciales parciales. Esta sección tiene como objetivo hablar sobre algunas de las más importantes.

Crecimiento y decaimiento exponencial. Desde la desintegración radioactiva, el interés compuesto, las leyes de índices químicos, la concentración de drogas en el torrente sanguíneo, el crecimiento poblacional ilimitado hasta la ley de enfriamiento de Newton; existe una gran cantidad de sistemas en el mundo real cuyos índices de crecimiento o decaimiento en un determinado momento son proporcionales a la cantidad de ese momento en particular o pueden tener un resultado aproximado por medio de dicho modelo. Es por eso que la función exponencial, la solución a esta ecuación diferencial, es una de las funciones más importantes que se encuentran en las matemáticas y las ciencias. En términos más generales, los sistemas como el crecimiento poblacional controlado contendrían términos adicionales que limitan el crecimiento. En el siguiente ejemplo, $k$ $k$ es una constante que puede ser positiva o negativa:
- ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=kx$
Movimiento armónico. El oscilador armónico, tanto en la mecánica clásica como en la cuántica, es uno de los sistemas más importantes debido a su simplicidad y su vasta aplicación en la aproximación de sistemas más complejos, como el de un péndulo simple. En la mecánica clásica, el movimiento armónico se describe por una ecuación que relaciona la posición de una partícula con su aceleración mediante la ley de Hooke. Las fuerzas de amortiguación y motrices también pueden estar presentes en el análisis. En el ejemplo líneas más abajo, ${\dot {x}}$ ${\dot {x}}$ es la derivada de tiempo de $x,$ $x,$ $\beta$ $\beta$ es un parámetro que describe una fuerza de amortiguación, $\omega _{0}$ $\omega _{{0}}$ es la frecuencia angular del sistema y $F(t)$ $F(t)$ es una fuerza motriz dependiente del tiempo. El oscilador armónico también está presente en los sistemas como el circuito RLC y, de hecho, puede ser más preciso en experimentos que en sistemas mecánicos.
- ${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=F(t)$
Ecuación de Bessel. La ecuación diferencial de Bessel tiene muchas aplicaciones en física, incluyendo la resolución de la ecuación de onda, la ecuación de Laplace y la ecuación de Schrödinger, particularmente en problemas que tengan simetría cilíndrica o esférica. Debido a que esta es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables en lugar de la ecuación de Euler-Cauchy, no tiene soluciones que puedan escribirse en términos de funciones elementales. Sus soluciones son funciones de Bessel y están bien estudiadas debido a su vasta aplicación. En el siguiente ejemplo, $\alpha$ $\alpha$ es una constante que representa el orden de la función de Bessel:
- $x^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$
Ecuaciones de Maxwell. Las ecuaciones de maxwell, junto con la fuerza de Lorentz, comprenden toda la electrodinámica clásica. Se trata de cuatro ecuaciones diferenciales parciales en el campo eléctrico $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ ${\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t)$ y el campo magnético $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t).$ ${\mathbf {B}}({\mathbf {r}},t).$ En el siguiente ejemplo, $\rho =\rho (\mathbf {r} ,t)$ $\rho =\rho ({\mathbf {r}},t)$ es la densidad de carga, $\mathbf {J} =\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$ ${\mathbf {J}}={\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)$ es la densidad actual, y $\epsilon _{0}$ $\epsilon _{{0}}$ y $\mu _{0}$ $\mu _{{0}}$ son las constantes eléctricas y magnéticas respectivamente:
- ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}$
Ecuación de Schrödinger. En la mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger es la ecuación fundamental de movimiento que describe la forma en que las partículas, controladas por una función de onda $\Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t),$ $\Psi =\Psi ({\mathbf {r}},t),$ evolucionan con el tiempo. La ecuación de movimiento se rige por el comportamiento del Hamiltoniano ${\hat {H}},$ ${\hat {H}},$ el cual es un operador que describe la energía del sistema. También podemos escribir la ecuación de Schrödinger de una sola partícula no relativista bajo la influencia de un potencial $V(\mathbf {r} ,t),$ $V({\mathbf {r}},t),$ un ejemplo muy famoso de dicha ecuación en lo que se refiere a los sistemas físicos. Muchos sistemas también incluyen la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, la cual reemplaza el lado izquierdo con $E\Psi ,$ $E\Psi ,$ siendo $E$ $E$ es la energía de la partícula. En el siguiente ejemplo, $\hbar$ $\hbar$ es la constante de Planck reducida:
- $i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi$
- $i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\right)\Psi$
Ecuación de onda. Las ondas son ubicuas en la física y la ingeniería, y están presentes en todos los tipos de sistemas. En general, la ecuación de onda se describe mediante la ecuación mostrada líneas abajo, donde $u=u(\mathbf {r} ,t)$ $u=u({\mathbf {r}},t)$ es la función que se debe hallar y $c$ $c$ es una constante determinada experimentalmente. D'Alembert fue el primero en descubrir que, en una dimensión (espacial), las soluciones para la ecuación de onda son cualquier función arbitraria que admita $x-ct$ $x-ct$ como su argumento, lo que describe una onda de forma arbitraria desplazándose hacia la derecha a lo largo del tiempo. La solución general en una dimensión describe una combinación lineal de esta función con otra que admita $x+ct$ $x+ct$ como su argumento, describiendo un modo de desplazamiento hacia la izquierda. La solución a esta ecuación está escrita en la segunda línea:
- ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}u$
- $u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$
Ecuaciones de Navier-Stokes. Las ecuaciones de Navier-Stokes describen el movimiento de los fluidos. Como los fluidos son ubicuos en prácticamente cualquier rama de la ciencia y la ingeniería, estas ecuaciones son muy importantes en la predicción del tiempo, el diseño de aeronave, las corrientes oceánicas y en muchos más campos. Son ecuaciones diferenciales parciales no lineales y resolverlas suele ser muy complicado debido a que la no linealidad introduce una turbulencia cuya solución estable requiere una resolución tan detallada que las soluciones numéricas que intentan solucionar de forma numéricamente directa las ecuaciones requieren una cantidad impráctica de potencia computacional. La dinámica de los fluidos práctica se basa en técnicas tales como el promedio del tiempo a fin de modelar los flujos turbulentos. Incluso las cuestiones más básicas como la existencia y naturaleza única de las soluciones para las ecuaciones diferenciales no lineales parciales son problemas difíciles, y la resolución de la existencia y singularidad para las ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones espaciales es el centro de uno de los problemas del milenio. En el siguiente ejemplo, escribimos la ecuación del flujo de fluido incomprensible con la ecuación de la continuidad:
- ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

Consejos

Muchas ecuaciones diferenciales simplemente no pueden resolverse por ninguno de los métodos mencionados en este artículo, sobre todos por aquellos indicados en la sección “Discusiones”. Esto se produce cuando la ecuación contiene coeficientes variables y no es la ecuación de Euler-Cauchy, o cuando es una no lineal, con excepción de algunos ejemplos muy especiales. No obstante, los métodos anteriores son suficientes para resolver muchas ecuaciones diferenciales importantes que suelen encontrarse en el campo de las ciencias.
Contrario a la diferenciación, en la cual es posible calcular las derivadas de una determinada expresión, simplemente no se puede hallar la integral de muchas expresiones en términos de funciones elementales. Por lo tanto, no pierdas el tiempo tratando de integrar una expresión no puede ser integrada y revisa una tabla de integrales para cerciorarte. En ocasiones, la solución de una ecuación diferencial que no pueda expresarse en términos de funciones elementales puede escribirse en forma integral, pero en esta situación no es importante si dicha integral puede hallarse de forma analítica.

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Advertencias

Es posible confundirse con la apariencia de una ecuación diferencial y con la facilidad con la que pueden obtenerse sus soluciones. Por ejemplo, líneas más abajo describimos dos ecuaciones dos ecuaciones diferenciales de primer orden. Es posible resolver la primera utilizando los métodos descritos en este artículo. La aparente sustitución simple de la $y$ $y$ por una $y^{2}$ $y^{{2}}$ en la segunda ecuación la convierte en no lineal y, por ende, en una muy difícil de resolver.
- ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=x^{2}+y$
- ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=x^{2}+y^{2}$